单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,前面讨论了数列,x,n,=,f,(,n,),的极限,它是函数极限中的特殊情形,特殊性在于:,n,只取自然数,且,n,趋于无穷大.,现在讨论,y,=,f,(,x,),的极限,自变量,x,大致有两种变化形式.(1),x,(2),x,x,0,(,有限数).,并且,x,不是离散变化的,而是连续变化的.,第二节 函数的极限,1,、,x,时,f,(,x,),的极限.,讨论,f,(,x,)=1/x,在,x,+,时的变化情况,y,x,0,1),、,x,+,时,f,(,x,),的极限.,定义,1.,设,f,(,x,),在(,a,+,),内有定义,也可记为,f,(,x,),A,(,x,+),若,0,M,0,当,x,M,时,相应的函数值,f,(,x,),满足,|,f,(,x,),A,|0”.,但是,数列极限中,n,是离散变化的,而这里,x,是连续变化的.,若,0,M,0,当,x,M,时,有|,f,(,x,),A,|0,自然数,N,使得当,n,N,时,都有,|,x,n,a,|,例,1.,证明,其中,0,a,1.,证,:,0,1,要使,|,a,x,0|=,a,x,0,M,0,当,x,M,时,有|,f,(,x,),A,|0,M,0,当,x,-,M,时,相应的函数值,f,(,x,),满足,|,f,(,x,),A,|0,M,0,当|,x,|,M,时,相应的函数值满足,|,f,(,x,),A,|,则称,A,为,f,(,x,),当,x,时的极限,记作,由定义,1,2,可知,几何意义,例,2,用定义证明,2,、当,x,x,0,时,f,(,x,),的极限,若当,x,x,0,时,对应的函数值,f,(,x,),A,则称,A,是,f,(,x,),当,x,x,0,时的极限,f,(,x,),A,可用,|,f,(,x,),A,|,刻划,如何用精确的数学,而,x,x,0,则,可用|,x,x,0,|0,0,当0|,x,x,0,|,时,相应的函数值,f,(,x,),满足,|,f,(,x,),A,|0”,将“,n,N,”,换成“,0|,x,x,0,|0,自然数,N,使得当,n,N,时,都有,|,x,n,a,|0,0,当0|,x,x,0,|,时,|,f,(,x,),A,|,则记,而现在,x,x,0,“,0|,x,x,0,|,N,”,表示了,n,充分大这一意思.,1,）,2,）即使函数,f,(,x,),在,x,0,点无定义，仍可考虑,的存在问题,:,3,）,意味,如果函数,f,(,x,),在,x,0,有定义，,4,）由定义知：,是否必存在极限,注意,x,x,0,意为从,x,0,两侧无限接近,x,0,；,是否必有,例,证明,证,欲使,只要,几何意义,任意给定,0,因为,例,证明,对于任意给定的正数,，,因为,所以要使,只要,证,y,x,0,1,2,x,x,x,y,y,y=f,(,x,),x,1,1/2,例,4.,证明,证,:,0,要使,|,f,(,x,)2|,只须|,2,x,1|,.,(,本例说明,f,(,x,),在,x,0,无定义,但其极限可能存在,),取,=,.,则当,0|,2,x,1|,时,有,|,f,(,x,)2|0,0,当0|,x,x,0,|,时,有,|,f,(,x,),a,|0,要使,|sin,x,sin,x,0,|,只须,|,x,x,0,|0,0,当0|,x,x,0,|,时,有,|,f,(,x,),a,|0,0.当0,xx,0,(,或0,x,0,x,),时，有,则称,a,为,f,(,x,),当,x,x,0,的右极限(或左极限),记作,左、右极限,例：,设,f,(,x,)=,1,当,x,0,时,x,当,x,0,时,解：,f,(,x,),是一个分段函数，,x,=0,是这个分段函数的分段点.,由于当,x,0,0,当0|,x,x,0,|,时,|,f,(,x,),a,|0,0.当0,xx,0,(,或0,x,0,x,0,时,解：,f,(,x,),是一个分段函数，,x,=0,是这个分段函数的分段点.,由于当,x,0,时,对应的函数值,f,(,x,)=-,x.,由于当,x,0,时,对应的函数值,f,(,x,)=,x.,对一个分段函数来说，其分段点处的极限要分左、右极限讨论.,例,6,：,设,f,(,x,)=,x,当,x,0,时,sin,x,当,x,0,时,解：,f,(,x,),是一个分段函数，,x,=0,是这个分段函数的分段点.,由于当,x,0,时,对应的函数值,f,(,x,)=,x.,由于当,x,0,时,对应的函数值,f,(,x,)=sin,x.,对一个分段函数来说，其分段点处的极限要分左、右极限讨论.,例,7,：,设,f,(,x,)=,x,当,x,0,时,cos,x,当,x,0,时,左、右极限存在,但不相等,=0,以后,常用下列记号表示函数的左,右极限,看图,x,0,+,cos,x,x,y,x,0,1,y,y,三、函数极限性质,.,定理,2.,定理,3.,推论,:,定义,5:,若存在,x,0,的某去心邻域,(,x,0,),，,使得,f,(,x,),在,(,x,0,),内有界，则称,f,(,x,),是,x,x,o,时的有界量.,若,0,，使得,f,(,x,),在(,X,),(,X,+),内有界,则称,f,(,x,),是,x,时的有界量.,比如,y=x,2,在定义域,(,+,),内是无界的,但在,x,=0,的某个小邻域内是有界的.,因此,y=x,2,是,x,0,时的有界量.,y,=,x,2,0,x,y,M,0,y,x,比如,:,y,=sin,x,在,(,+,),内有界，是,x,时的有界量,.,但,定理,4.,定理,4,的逆命题不成立,.,y,x,1,1,y,=sin,x,0,