单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,有限元方法与应用构造动力学问题有限元,构造动力学：争论构造在动力荷载作用下的动力反响。,地震荷载,风荷载：,Tacoma,大桥风毁录像,动力荷载：荷载的,大小、方向、作用位置,随时间而变化。,输入,input,输出,Output,结构体系,静力响应,静荷载,位移,内力,应力,刚度、约束杆件尺寸,截面特性,大小,方向,作用点,结构体系,动力响应,输入,input,输出,Output,动荷载,动位移,加速度,速度,动应力,动力系数,随时间变化,质量、刚度阻尼、约束频率、振型,大小,方向,作用点,时间变化,数值,时间函数,构造动力体系,动载荷又称动力分析,固有特性分析,响应分析,固,有,频,率,振,型,位,移,响,应,速,度,响,应,加,速,度,响,应,动,应,变,动,应,力,固有特性：是一组模态参数构成，它由构造本身质量与刚度分布准备，而与外部载荷无关，但准备了构造对动载荷的响应；,响应分析：是计算构造对给定动载荷的各种响应特性。,模态分析是争论构造动力特性一种近代方法，是系统区分方法在工程振动领域中的应用。模态是机械构造的固有振动特性，每一个模态具有特定的固有频率、阻尼比和模态振型。这些模态参数可以由计算或试验分析取得，这样一个计算或试验分析过程称为模态分析。,固有特性分析就是对模态参数进展计算，其目的一是避开构造消逝共振和有害的振型，二是为响应分析供给必要依据。,构造动力学问题的有限元法的实质就是将一个弹性连续体的振动问题，离散为一个以有限个节点位移为广义坐标的多自由度系统的振动问题。其根本原理和分析方法类同静力学的有限元法，按杆梁、薄板等不同构造进展分析。不同的是，应用振动理论建立动力学方程时，在单元分析中除需形成刚度矩阵外，还需形成质量矩阵，阻尼矩阵；在整体分析中，不仅求动力响应，还有求解特征值问题构造振动的固有频率及相应的振动型或模态,从以上步骤可以看出，和静力分析相比，在动力分析中，由于惯性力和阻尼力消逝在平衡方程中，因此引入了质量矩阵和阻尼矩,阵，最终得到求解方程不是代数方程组，而是常微分方程组。其,它的计算步骤和静力分析是完全一样的。,关于二阶常微分方程组的解法有两类：直接积分法和振型叠加法。,直接积分法是直接对运动方程积分。而振型叠加法是首先求解一无阻尼的自由振动方程，然后用解得的特征向量，即固有振型对,运动方程式进展变换。,动力学有限元法的特点,一、载荷特点,构造所受的载荷是随时间变化的动载荷。这是与静力分析的一个根本区分。,二、位移特点,1、节点位移q不仅是坐标的函数，而且也是时间的函数。仍以节点位移q作为根本未知量。,2、节点具有速度 加速度。,3、利用节点位移插值表示单元内任一点的位移,一般仍承受与静力分析一样的形函数 N。当单元数量较多时，上述插值可以得到较好的插值精度。,4、在线弹性条件下，单元内的应变和应力与节点位移的关系仍为,但这时的位移、应变和应力都是某一时刻的瞬时值，它们都是随时间t变化的函数。,5、由于节点具有速度和加速度，构造将受到阻尼和惯性力的作用。依据达朗伯原理，引入惯性力和阻尼力之后构造仍处于平衡状态，因此动态分析中仍可承受虚位移原理来建立单元特性方程，然后再集成。整个构造的平衡方程为：,式又称运动方程，它不再是静力问题那样的线性方程，而是一个二阶常微分方程组。,动态分析有限元法的一般步骤,1.构造离散：该步骤与静力分析根本一样,2.单元分析：单元分析的任务仍是建立单元特性矩阵刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵，形成单元特性方程。,在动载荷作用下，对于任一瞬时，设单元节点发生虚位移 ，则单元,内也产生相应的虚位移 和虚应变 。单元内产生的虚应变能为,:,单元除受动载荷外，还有加速度和速度引起的惯性力 和阻尼力,，其中,为材料密度，,v,是线性阻尼系数。外力所做的虚功为：,式中，,P,v,、,P,s,、,P,c,分别为作用于单元上的动态体力、动态面力和动态,集中力；,V,为单元面积；,A,为单元面积。,由于,且形函数仅为坐标,x,、,y,、,z,的函数，与时间无关，因此有,依据虚位移原理，有,代入经整理，可得单元运动方程为,式中,分别称为单元的刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵，它们就是准备单元动态性能的,特性矩阵。,称为单元节点动载荷列阵，它是作用在单元上的体力、面力和集中力向单元节,点移置的结果。,在动态分析和静力分析中，单元的刚度矩阵是一样的，外部载荷的移置原理也一样。,四、固有特性分析,构造的固有特性由构造本身准备，与外部载荷无关，它由一组模态参数,定量描述。包括：固有频率、模态振型、模态质量、模态刚度和模态阻尼比等。,固有特性分析就是对模态参数进展计算，其目的一是避开构造消逝共振和有害的振型，二是为响应分析供给必要依据。,由于固有特性与外载荷无关，且阻尼对固有频率和振型影响不大，因此可通过无阻尼自由振动方程计算固有特性。,式中，,为简谐振动圆频率；,为节点振幅列向量。,由于自由振动可分解为一系列简谐振动的叠加，因此上式的解可设为,将解代入振动方程中，同时消去因子,e,j,t,，可得,振型i是构造按频率i振动时各自由度方向振幅间的相比按例关系，,它反映了构造振动的形式，并不是振幅确实定大小。,上式为一广义特征问题。依据线性代数可知，求解该问题可以求出n个特,征值 和相对应的n个特征向量 。其中特,征值i(i=1,2,.,n)就是构造的i阶固有频率，特征向量i i(i=1,2,.,n)就是构造,的i阶模态振型。,无阻尼自由振动方程为：,是一个常系数齐次线性常微分方程组，其解的形式为：,带入自由振动方程得：,上式是齐次线性方程组，有非零解的条件是：,如果,K,和,M,的阶数是,n,，则,是 的,n,次方程，,称其为,自由振动特征方程,，通过它可解出,n,个特征值，将这些特征值,再带入,可解出,n,个特征向量,第 i 个 、合称第i个特征对，为构造的第i个固有频率,为构造的第i个振型,将 按从小到大的挨次排列：,其中 称作根本频率，相应的振型 称作根本振型。,对于上式可以承受广义雅克比法，拟迭代法、子空间迭代法等数值方法直接求出特征值和相应的特征向量。,式,在数学上称为广义特征值问题，常记作：,1当K和M是实系数对称矩阵时，其特征值确定是实数，且特征向量也是实向量。,2假设K为正定矩阵，则特征值确定是正实数，假设K为半正定，则特征值为非负实数，且特征值为零的个数等于构造刚体位移自由度的个数。假设集中质量矩阵为半正定，其对角线上有r个零元素，则n个特征值的最终r个为无穷大。,3振型的规格化三种方法：,a以第一个元素为1规格化；,b以振型中的最大元素为1规格化；,2,、特征值和特征向量的性质,3振型的规格化三种方法：,a以第一个元素为1规格化；,b以振型中的最大元素为1规格化；,c以矩阵M、K进展规格化，使振型满足：,这时振型向量的各个元素应除以,2,、特征值和特征向量的性质,4振型的正交性广义特征方程的不同特征值所对应的特征向量具有正交性。,对于按第三种方法规格化了的特征向量，其关于质量矩阵和刚度矩阵的正交性，可表达为：,2,、特征值和特征向量的性质,4振型的正交性,设,则特征向量的正交性也可表示为：,五、响应分析,响应分析的目的是计算构造在动载荷作用下，节点位移、速度和加速度,的变化规律。因此响应分析的任务就是求解二阶常微分方程组，,求解主要有1、振型叠加法,依据构造振动理论，在动载荷作用下，构造动态响应可以表示为其各阶,主模态振型的线性叠加，即,2、直接积分法,是一种纯粹的数值方法。,连续时间区域 离散 为n1离散点 时间间隔T/n 每个时间间隔上的状态向量,瞬态分析,-,术语和概念,求解方法,求解运动方程,直接积分法,模态叠加法,隐式积分,显式积分,完整矩阵法,缩减矩阵法,完整矩阵法,缩减矩阵法,系统的动力响应振型叠加法,振型叠加法是在积分运动方程之前，利用系统自由振动的固有振型将方程组转换为n个互不耦合的方程，对这种方程进展解析或者进展数值积分。当承受数值积分时，对于每个方程可以实行各自不同的时间步长，即对于低阶振型可以实行较大的时间步长。当实际分析的自然时间较长，同时只需要少数较低阶的振型结果时，承受这种方法具有很大的优势。此时，求解分为两个步骤(1)求解系统的固有频率和固有振型；(2)求解系统的动力响应。,这样的固有振型称为正则振型,系统的动力响应振型叠加法,1.,位移基向量的变换,引入变换,a,(,t,),看作,f,i,的线性组合，,f,i,可以看作是广义的位移基向量，,x,i,是广义位移。从数学上看，是将位移向量从以有限元系统的节点位移为基向量,的,n,维空间转换到以,f,i,为基向量的,n,维空间,。,此时，代入运动方程并左乘FT，留意正交性，可转为新的基向量下的运动方程，,系统的动力响应振型叠加法,阻尼比,系统的动力响应振型叠加法,2.,求解单自由度系统振动方程,可以承受直接积分方法，稍后提到。,3.,振型叠加得到系统响应,系统的动力响应振型叠加法,在振型叠加法中，将系统位移转换到以固有振型为基向量的空间，这对系统的性质并无影响，而是以求解广义特征值为代价，得到n个单自由度的运动方程。,振型叠加法中对于n个自由度系统运动方程的积分，比对联立方程组的直接积分节省计算时间。需要留意的是(1)有限元高频成分对于系统的实际影响较小，所以通常求前p个特征解的响应；(2)有限元高阶特征解与实际状况相差较大，因此，用有限元求高阶特征解的意义不大，此时，需要承受其它方法。,对于非线性系统通常承受直接积分法，此时，无法承受振型叠加法。,对于一般的n个自由度系统，假设只积分p个单自由度系统的运动方程，即使积分是准确的，最终得到的系统响应也会由于无视高阶振型而引入误差。,系统的动力响应,中心差分法,中心差分法,系统的动力响应(cont.),中心差分法是显式算法；,中心差分法是条件稳定算法；,中心差分法比较适合冲击、爆炸等载荷引起的波传播问题；,不适合构造动力学问题。构造的动力响应通常低频成分是主要的，从计算精度考虑，允许承受较大的时间步长。此时需要承受无条件稳定的隐式算法，如Newmark算法。,系统的动力响应(cont.),Newmark,方法,Newmark,方法求解步骤,Newmark,方法是隐式算法。,当,d,0.5,a,0.25(0.54+,d,),2,时，算法是无条件稳定的。,例题：,(1),中心差分法,解：,中心差分计算结果,(2)Newmark,方法,Newmark,计算结果,Guyan,减缩,通过Guyan减缩，自由度会分散到所定义的主自由度节点上，通过将节点分为主从节点，同时销去从节点自由度，可以得到刚度和质量超单元矩阵为,分散之后有,这个方程可以通过,Cholesky,分解转换为标准形式。,求解之后的从节点位移可以从主节点得到，,