单击此处编辑母版标题样式,编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,授,课老师：敬利华,27.2,与圆有关的位置关系,切线第四课时)预习三角形的内切圆,目录,1,2,3,CONTENT,预习目标,了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念,.,掌握三角形内心的性质并利用性质解题。,学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想.难点,小,明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？,情景导入,三角形的内切圆及作法,问题,1,如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎样的位置关系？,O,O,O,O,最大的圆与三角形三边都相切,新课讲解,三角形角平分线的这个性质，你还记得吗？,问题2 如何求作一个圆，使它与三角形的三边都相切？,(1),如果半径为,r,的,I,与,ABC,的三边都相切，那么圆心,I,应满足什么条件？,(2),在,ABC,的内部，如何找到满足条件的圆心,I,呢？,圆心,I,到三角形三边的距离相等，都等于,r.,三角形三条角平分线交于一点，这一点与三角形的三边距离相等,.,圆心,I,应是三角形的三条角平分线的交点,.,为什么呢？,新课讲解,：ABC.,求作：和ABC的各边都相切的圆.,M,N,D,作法：,1.,作,B,和,C,的平分线,BM,和,CN,，,交点为,O,.,2.,过点,O,作,OD,BC,.,垂足为,D,.,3.,以,O,为圆心,，,OD,为半径作圆,O,.,O,就是所求的圆,.,1.,与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的,内切圆,.,2.,三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的,内心,.,3.,这个三角形叫做这个圆的,外切三角形,.,4.,三角形的内心就是三角形三条,角平分线的交点,.,B,A,C,I,D,E,F,三角形的,内心,到三角形的三边的距离相等,.,O,是,ABC,的内切圆，点,O,是,ABC,的内心，,ABC,是,O,的外切三角形,.,知识归纳,三角形内心的性质,三角形的内心在三角形的,角平分线上,.,三角形的内心到三角形的三边距离相等,.,B,A,C,I,E,F,G,IA,，,IB,，,IC,是,ABC,的角平分线，,IE=IF=IG,.,新课讲解,2,三角形的外接圆与内切圆及外心与内心的性质,图形,O,的名称,ABC,的名称,圆心,O,的确定,“,心,”,的性质,“,心,”,的位置,ABC,的外接圆,O,的内接三角形,三角形三边垂直平分线的交点,到三角形的三个顶点的距离相等,锐角三角形在三角形内部；直角三角形在斜边中点处；钝角三角形在三角形外部,ABC,的内切圆,O,的外切三角形,三角形三条角平分线的交点,到三角形的三条边的距离相等,一定在三角形内部,注意：,(1),任意一个三角形都只有一个内切圆、一个外接圆；,(2),一个圆有无数个外切三角形、内接三角形,1、以下说法错误的选项是(),A三角形的内切圆与三角形的三边都相切,B一个三角形一定有唯一一个内切圆,C一个圆一定有唯一一个外切三角形,D等边三角形的内切圆与外接圆是同心圆,及时练习,2、以下说法：,三角形的内心不一定在三角形的内部；,假设点I是ABC的内心，那么AI平分BAC；,三角形有唯一的内切圆，圆有唯一的外切三角形其中正确的有(),A0个 B1个 C2个 D3个,及时练习,3、如图，ABC的内切圆O与各边相切于点D、,E、F，那么点O是DEF的(),A外心,B内心,C重心,D垂心(三条高的交点),及时练习,如图，,ABC,中，,B,=43,，,C,=61,，点,I,是,ABC,的内心，求,BIC,的度数,.,解：,连结,IB,，,IC,.,A,B,C,I,点,I,是,ABC,的内心，,IB,，,IC,分别,是,B,，,C,的平分线，,在,IBC,中，,例题讲解,例,1,例,2.,如图，,ABC,中，,I,是内心，,A,I,的延长线交,BC,于点,E,，交,ABC,的外接圆于点,D,.,求证：,D,I,DB,.,证,明：,连结,BI,.,I,是,ABC,的内心，,1=2，3=4，,5=2，,1=5，,BID=1+3，IBD=5+4，,BID=IBD，,BD=ID,1,2,4,3,5,例,3,ABC,的内切圆,O,与,BC,、,CA,、,AB,分别相切于点,D,、,E,、,F,，,且,AB,=13cm,，,BC,=14cm,，,CA,=9cm,，,求,AF,、,BD,、,CE,的长,.,想一想：,图中你能找出哪些相等的线段？理由是什么？,B,A,C,E,D,F,O,解,:,设AF=xcm，那么AE=xcm.,CE=CD=AC-AE,=9-,x,(cm),，,BF=BD=AB-AF,=13-,x,(cm),.,由,BD+CD=BC,，,可得,(13-,x,)+(9-,x,)=14,，,解得,x=,4.,AF,=4(cm),，,BD,=9(cm),，,CE,=5(cm).,方法小结：,关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程,.,x,x,13-,x,13-,x,9-,x,9-,x,A,C,E,D,F,O,B,解法二：,设,AE=x,，,CE=y,，,BD=z,由切线长定理知：,AE=AF=x,，,CE=CD=y,，,BD=BF=z.,x+z=13,x+y=9,y+z=14,+,+,，得,2x+2y+2z=36,x+y+z=18,，得：,z=9,，得：,x=4,，得：,y=5,x=4,y=5,z=9,AF,=4(cm),，,BD,=9(cm),，,CE,=5(cm).,x,x,z,z,y,y,如下图，O是RtABC的内切圆，切点分别为D，,E，F，C90，AC3，BC4，求O的半径r.,例,4,连结OA，OB，OC，OD，OE，OF，利,用SABCSCOBSBOASAOC求解,还可以发现四边形OECD为正方形，那么,可利用切线长定理，用含r的代数式表示,AB的长，再求解,导引：,方法一：如图，连结OA，OB，OC，OD，OE，OF，,那么ODOEOFr，ODBC，OEAC，OFAB，,垂足分别为D，E，F.,在RtABC中，AB 5.,SABCSCOBSBOASAOC，,ACBC BCr ABr ACr (BCABAC)r.,r 1.,解：,方法二：如图，连结OD，OE，那么OEAC，ODBC，,又ECCD，且OEODr，,四边形OECD是正方形,ECCDr.,ABAFBFAEBD(ACEC)(BCCD),3r4r72r.,又易知AB 5，,72r5，即r1.,A,B,C,O,c,D,E,r,变式练习1.如图，直角三角形的两直角边分别是a、b,斜边 为c，,那么其内切圆的半径r为_以含a、b、c的,代数式表示r.,解析：过点,O,分别作,AC,，,BC,，,AB,的垂线，垂足分别为,D,，,E,，,F,.,F,那么AD=AC-DC=b-r,BF=BC,-,CE=a,-,r,因为,AF=AD,，,BF=BE,，,AF+BF=c,所以,a,-,r+b,-,r=c,所以,直角三角形内切圆的半径,r,(,直角边长,a,直角边长,b,斜边长,c,),A,B,C,D,E,F,O,变式练习2.设ABC的面积为S，周长为L，ABC内切圆,的半径为r，那么S，L与r之间存在怎样的数量关系？,S,ABC,S,COB,S,BOA,S,AOC,拓展：三角形的面积为S，周长为l，内切圆半径为r，那么 S lr；,20,4,110,A,1.,如图，,PA,、,PB,是,O,的两条切线，切点分别是,A,、,B,，如果,AP,=4,APB,=40 ,则,APO,=,PB,=,.,B,P,O,A,第,1,题,2.,如图，已知点,O,是,ABC,的内心，且,ABC,=60,ACB,=80,则,BOC,=,.,B,C,O,第,2,题,随堂练习,4.如图，PA、PB是O的两条切线，切点为A、B,P=50，点C是O上异于A、B的点，那么ACB=.,65,或,115,B,P,O,A,第,4,题,3.ABC的内切圆O与三边分别切于D、E、F三点，如图，AF=3,BD+CE=12,那么ABC的周长是 .,A,B,C,F,E,D,O,第,3,题,30,三角形内切圆,运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程,.,有关概念,内心概念及性质,应用,小结,