大,小,圆的有关性质,圆的有关性质,31.1.1,圆,31.1.2,垂直于弦的直径,31.1.3,弧、弦、圆心角,31.1.4,圆周角,31.1.1 圆31.1.2 垂直于弦的直径31.1,我国古代，半坡人就已经会造圆形的房顶了大约在同一时代，美索不达米亚人做出了世界上第一个轮子,圆的木轮很早之前，人们将圆的木轮固定在木架上，这样就成了最初的车子,2000,多年前,，墨子给,出圆的定义,“,一中同长也,”，,意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等这个定义比古希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早很多年,31.1.1,圆,我国古代，半坡人就已经会造圆形的房顶了大约在同一时代,圆的有关性质-ppt课件,如图，在一个平面内，线段,OA,绕它固定的一个端点,O,旋转一周，另一个端点,A,所形成的图形叫做,圆,r,O,A,固定的端点,O,叫做,圆心,；,线段,OA,叫做,半径,；,以点,O,为圆心的圆，记作,O,，读作“圆,O,”,圆的概念,如图，在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O,同心圆,等圆,圆心相同，半径不同,确定一个圆的两个,要素：,一是,圆心,，,二是,半径,半径相同，圆心不同,O,同心圆等圆圆心相同，半径不同确定一个圆的两个要素：一,动态,：在一个平面内，线段,OA,绕它固定的一个端,点,O,旋转一周，另一个端点,A,所形成的图形叫做,圆,静态,：圆心为,O,、半径为,r,的圆可以看成是所有到,定点,O,的距离等于定长,r,的,点的集合,动态：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O,经过圆心的弦叫做,直径,，,如图中的,AB,连接圆上任意两点的线段叫做,弦,，如图,中的,AC,与,圆有关的概念,弦,C,O,A,B,经过圆心的弦叫做直径，如图中的 AB连接圆上任意两,圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做,半圆,C,O,A,B,弧,圆上任意两点间的部分叫做,圆弧,，简称,弧,以,A,、,B,为端点的弧记作 ，读作,“圆弧,AB,”或“弧,AB,”,AB,与,圆有关的概念,圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做,劣弧与优弧,小于半圆的弧（如图中的,）叫做,劣弧,A,C,大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的）叫做,优弧,AB,C,C,O,A,B,与,圆有关的概念,在同圆或等圆中，能重合的弧叫等弧,等弧,劣弧与优弧小于半圆的弧（如图中的 ）叫做劣弧A,1,.,判断,下列说法的正误：,（,1,）弦是直径；,（,2,）半圆是弧；,（,3,）过圆心的线段是直径；,（,5,）圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆；,（,4,）半圆是最长的弧；,（,6,）半径相等的两个半圆是等弧,1.判断下列说法的正误：（1）弦是直径；（2）半圆是弧；,如图，,1 400,多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是,37 m,，拱高（弧的中点到弦的距离）为,7.23 m,，求赵州桥主桥拱的半径（精确到,0.1 m,）,31.1.2,垂直于弦的直径,如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥主桥,垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条,弧,D,O,C,A,E,B,知二推三,垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧,下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？,D,O,C,A,E,B,D,O,C,A,E,B,图,1,图,2,图,3,图,4,O,A,E,B,D,O,C,A,E,B,下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？DOCAEB,A,C,D,B,O,ACDBO,如图，已知在两同心圆,O,中，大圆弦,AB,交小圆于,C,，,D,，则,AC,与,BD,间可能存在什么关系？,D,O,C,A,B,如图，已知在两同心圆O 中，大圆弦 AB 交小圆于,变式,1,如图，若将,AB,向下平移，当移到过圆心时，结论,AC,=,BD,还成立吗？,D,O,C,A,B,变式1 DOCAB,变式,2,如图，连接,OA,，,OB,，设,AO,=,BO,，,求证：,AC,=,BD,D,O,C,A,B,变式2 DOCAB,变式,3,连接,OC,，,OD,，设,OC,=,OD,，,求证：,AC,=,BD,D,O,C,A,B,变式3 DOCAB,内容：,垂径定理,：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧,构造直角三角形，垂径定理和勾股定理有机结合是计算弦长、半径和弦心距等问题的方法,技巧：重要辅助线是过圆心作弦的垂线,重要思路：（由）垂径定理,构造直角三角形,（结合）勾股定理,建立方程,归纳,小结,内容：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的,教学目标,：,1,.,了解,圆心角的概念；,2,.,掌握,在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两 条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的 其余各组量也相等,教学重点,：同圆或等圆中弧、弦、圆心角之间的关系,31.1.3,弧、弦、圆心角,教学目标：1.了解圆心角的概念；2.掌握在同圆或等圆中，,思考,圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？,圆是中心对称图形，,它的对称中心是圆心，,它具有旋转,不变性,思考圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？圆是中心对,N,把圆,O,的半径,ON,绕圆心,O,旋转任意一个角度,15,O,性质,N把圆 O 的半径 ON 绕圆心 O 旋转任意一个角度,把圆,O,的半径,ON,绕圆心,O,旋转任意一个角度,N,O,15,N,30,性质,把圆 O 的半径 ON 绕圆心 O 旋转任意一个角度N,把圆,O,的半径,ON,绕圆心,O,旋转任意一个角度,N,O,30,N,60,性质,把圆 O 的半径 ON 绕圆心 O 旋转任意一个角度N,把圆,O,的半径,ON,绕圆心,O,旋转任意一个角度,N,O,60,N,n,性质,把圆 O 的半径 ON 绕圆心 O 旋转任意一个角度N,把圆,O,的半径,ON,绕圆心,O,旋转任意一个角度,N,O,n,N,由此可以看出，,点,N,仍落在圆上,性质,把圆 O 的半径 ON 绕圆心 O 旋转任意一个角度N,把圆,O,的半径,ON,绕圆心,O,旋转任意一个角度,性质,N,O,n,N,性质：,把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来的圆重合,把圆 O 的半径 ON 绕圆心 O 旋转任意一个角度性,把圆,O,的半径,ON,绕圆心,O,旋转任意一个角度,性质,N,O,n,N,我们把顶点在圆心的角叫做,圆心角,如,NON,是圆,O,的一个圆心角,把圆 O 的半径 ON 绕圆心 O 旋转任意一个角度性,把圆心角等分成,360,份，则每一份的圆心角是,1,，同时整个圆也被分成了,360,份,则每一份这样的弧叫做,1,的弧,1,的圆心角对着,1,的弧，,1,的弧对着,1,的,圆心角,n,的圆心角对着,n,的弧，,n,的弧对着,n,的,圆心角,性质：,弧的度数和它所对圆心角的度数,相等,性质,这样，,1,的弧,1,n,的弧,n,把圆心角等分成 360 份，则每一份的圆心角是 1，,探究,如图，将圆心角,AOB,绕圆心,O,旋转到,A OB,的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？,AOB,=,A OB,A,B,O,B,A,AB,=,A,B,AB,=,A B,探究如图，将圆心角AOB 绕圆心 O 旋转到A O,同样，还可以得到：,在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角,_,，,所对的弦,_,；,在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角,_,，所对的弧,_,这样，我们就得到下面的定理：,在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等,相等,相等,相等,相等,定理,同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，,它们所对应的其,余各组量也相等,同样，还可以得到：这样，我们就得到下面的定理：,因为,AB,=,CD,，所以,AOB=,COD,又因为,AO=CO,，,BO=DO,，,所以,AOB,COD,又因为,OE,、,OF,是,AB,与,CD,对应边上的高，,所以,OE,=,OF,巩固,AOB=,COD,AB=,CD,如图，,AB,、,CD,是,O,的两条弦：,（,1,）如果,AB=CD,，那么,_,，,_,；,（,2,）如果,=,，那么,_,，,_,；,（,3,）如果,AOB=,COD,，那么,_,，,_,；,（,4,）如果,AB=CD,，,OE,AB,于,E,，,OF,CD,于,F,，,OE,与,OF,相等吗？为什么？,AB,CD,AB=,CD,AB=CD,AOB=,COD,AB=CD,相等,A,B,C,D,E,F,O,因为 AB=CD，所以AOB=COD巩固AOB=,AB,=,AC,，,ABC,等腰三角形,又,ACB,=60,，,ABC,是等边三角形，,AB=BC=CA,AOB,=,BOC,=,AOC,例题,例,1,如图，在,O,中，,=,，,ACB,=60,求证：,AOB,=,BOC,=,AOC,AB,AC,证明：,AB,AC,=,A,B,C,O,AB=AC，ABC 等腰三角形又AC,例,2,如图，,AB,是,O,的直径，,=,=,，,COD=,35,，求,AOE,的度数,A,O,B,C,D,E,解：,CD,BC,DE,BOC,=,COD,=,DOE,=35,AOE,=180,-,335=75,CD,BC,DE,=,=,例题,例2 如图，AB 是O 的直径，=,（,1,）本节课学习了哪些内容？,（,2,）圆心角、弧、弦之间有哪些关系？,课堂,小结,（1）本节课学习了哪些内容？课堂小结,教学目标,：,1,.,了解,并证明圆周角定理及其推论；,2,.,经历,探究同弧（或等弧）所对圆周角与圆心角之 间的关系的过程，进一步体会分类讨论、转化的 思想方法,教学重点,：圆周角定理,31.1.4,圆周角,教学目标：1.了解并证明圆周角定理及其推论；2.经历探究,思考,和练习,图中,ACB,的顶点和边有哪些特点？,A,O,B,C,顶点,在圆上，并且,两边,都和圆相交的角叫圆周角,如：,ACB,思考和练习图中ACB 的顶点和边有哪些特点？A,图中,ACB,和,AOB,有怎样的关系？,探究,B,C,O,A,图中ACB 和AOB 有怎样的关系？探究BCOA,探究,B,C,O,A,B,C,O,A,（,1,）在圆上任取,，画出圆心角,BOC,和圆周角,BAC,，圆心角与圆周角有几种位置关系？,BC,B,C,O,A,探究BCOABCOA（1）在圆上任取 ，画出圆心角,（,2,）如图，如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？,证明,猜想,B,C,O,A,OA,=,OC,，,A,=,C,又,BOC,=,A,+,C,，,我们来分析上页的前两种情况，第三种情况请同学们完成证明,（2）如图，如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心,（,3,）如图，如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？,D,证明,猜想,B,C,O,A,证明：如图，连接,AO,并延长交,O,于点,D,OA,=,OB,，,BAD,=,B,又,BOD,=,BAD,+,B,，,同理，,（3）如图，如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心,证明,猜想,圆周角定理：,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半,证明猜想 圆周角定理：,思考：,一条弧所对的圆周角之间有什么关系？同弧或等弧所对的圆周角之间有什么关系？,同弧或等弧所对的圆周角相等,探究,A,D,B,C,O,思考：同弧或等弧所对的圆周角相等探究ADBCO,思考：,半圆（或直径）所对的圆周角有什么特殊性？,半圆（或直径）所对的圆周角是直角，,90,的圆周角所对的弦是直径,探究,C,1,A,O,B,C,2,C,3,思考：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周,如图，,O,的直径,AB,为,10 cm,，弦,AC,为,6 cm,，,ACB,的平分线交,O,于点,D,，求,BC,，,AD,，,BD,的长,应用,解：连接,OD,，,AD,，,BD,，,A,C,B,D,O,AB,是,O,的直径，,ACB=,ADB=