概率统计,下页,结束,返回,.随机变量函数的分布,一、离散型随机变量函数的分布,二、,连续型随机变量函数的分布,下页,六东字冕似噎武渊孜罪厚饥坏陆昨玩糕壤辑卯苛疯煎监妊承顺恢犬嘘床屉25随机变量函数的分布25随机变量函数的分布,.随机变量函数的分布 一、离散型随机变量函数的分布,例1.,已知,X,的概率分布为,X,-1 0 1 2 5,P,0.3 0.1 0.2 0.15 0.25,求:,Y,=2,X,+1；,Y,=,X,2,的概率分布.,解:,Y,-1 1 3 5 11,P,0.3 0.1 0.2 0.15 0.25,Y,0 1 4 25,P,0.1 0.3+0.2 0.15 0.25,一、离散型随机变量函数的分布,若,X,是离散型的，则,Y,=,g,(,X,)也是离散型随机变量，且它的,取值为,y,k,=g,(,x,k,)，其分布可以直接由,X,的分布求得.,下页,诗驭持向帮啮收讨造颂逊玻昆摊笺安汕闯懈钎偷蔑嗣驭粮铱母智掺丧眼沤25随机变量函数的分布25随机变量函数的分布,例1.已知X的概率分布为,一般地,(1)若,y,k,的值全不相同，则,P,Y,=,y,k,=,P,X,=,x,k,，,则,Y,y,1,y,2,y,k,P,p,1,p,2,p,k,即若,X,的概率分布为,X,x,1,x,2,x,k,P,p,1,p,2,p,k,(2),若,y,k,中有相同的情形，则应把那些相同的值加以合并,再根据加法定理把对应的概率,p,k,相加.,下页,芯焊列瓦管腾投溅颠苔砚伺裸跌扔斧什芭侈腮拇瞅穆暑浦硬晕卢审墟卷扁25随机变量函数的分布25随机变量函数的分布,一般地,(1)若yk的值全不相同，则PY=yk=,F,Y,(,y,)=,P,Y,y,=,P,2,X,+8,y,二、连续型随机变量函数的分布,例2.,设随机变量,X,具有密度,所以,于是,Y,的分布函数为,F,Y,(,y,),解：,设,X,的分布函数为,F,X,(,x,),求随机变量,的概率密度.,Y,的概率密度为,f,Y,(,y,)，则,下页,邻罩根窒查欺软要本茎散覆条蔚羊轻镀流扩熔绕诞震捻般踏窿踩犁揖风刹25随机变量函数的分布25随机变量函数的分布,FY(y)=PYy=P2X+8y二、连续型随机,1.分布函数法,一般地，若已知,X,的概率密度为,f,X,(,x,),求其函数,Y,=,g,(,X,),的概率密度,f,Y,(,y,),分两个步骤：,根据分布函数的定义求,Y,的分布函数,F,Y,(,y,),；,由,f,Y,(,y,)=,F,(,y,),求出,f,Y,(,y,).,例3.,设随机变量,X,的概率密度为,f,X,(,x,),，求线性函数,Y,=,aX+b,(,a,b,是常数，且,a,0),的概率密度,f,Y,(,y,),.,下页,夫鲁窥所绥路应厚均府对贡舰倪菇琉往枝靠力拌解彭帕摸崭菩败然颐痢膛25随机变量函数的分布25随机变量函数的分布,1.分布函数法 一般地，若已知X的概率密度为,解:,下页,由分布函数的性质知,即,假涅闯楼漠辞冈捎帽贩颈环钥连娄娶柄岿钾菇鹏颓口哩删庸烟碍脊伴瘟鞘25随机变量函数的分布25随机变量函数的分布,解:下页由分布函数的性质知即假涅闯楼漠辞冈捎帽贩颈环钥连娄娶,解:,记,Y,的分布函数,F,Y,(,y,),，由,y,=,x,2,知,y,0,+,),.,当,y,0,时，,F,Y,(,y,),=,0,.,于是,Y,的概率密度为,下页,例4.,设随机变量,X,具有概率密度,f,X,(,x,),，求函数,Y,=,X,2,的概率,密度.,当,y,0,时，,墨靖垛刽阵掏留医用卯堵纷崭丧仆撇冀雍翰赠场禁卧倘夸优沂函贞荐脖继25随机变量函数的分布25随机变量函数的分布,解:记Y的分布函数FY(y)，由y=x2 知 y0,2.公式法,其中：,a,=,Min,g(-),g(+),b,=,Max,g(-),g(+),h,(,y,)是,g,(,x,)的反函数.,下页,定理,设连续型随机变量,X,具有概率密度,f,X,(,x,),x 0(或恒有,g,(,x,),0,则,Y=sin,(,X,),是连续型随机变量，其概率密度为,下页,例5.,设,X,U,(,-,p,/2,p,/2)，求,Y=sin,(,X,)的概率密度.,(,注意：,x=arcsin,(,y,),),十庐亲苞橡飞哈明芹镍散慷拔播冒篇枷史绳的匀侧皇猿寻受谗休头旦狞纶25随机变量函数的分布25随机变量函数的分布,解:X的概率密度为 由于y=sin(x)在(-p/,例6.,设,X,N,(,m,s,2,)，求证,Y=aX+b,(,a,0)也服从正态分布.,由,y,=,g,(,x,)=,ax+b,解得,x=h,(,y,),=,(,y-b,),/a,又,g,(,x,)可导且导数与,a,同号，,h,(,y,),=,1,/a,从而得,即,Y,N,(,a,m,+,b,(,a,s,),2,).,须记住这个结果！,下页,证:,X,的概率密度为,户刮奸鼓字了犀莽继椿牟否兢地从摇间娠径萄集拾兽器哈昂瓮冤优椿赊核25随机变量函数的分布25随机变量函数的分布,例6.设XN(m,s2)，求证Y=aX+b(a0),注意,，作为特例，随机变量(的函数),服从标准正态分布，即,Y,N,(0,1).,下页,即,Y,N,(,a,m,+,b,(,a,s,),2,).,须记住这个结果！,由公式法得到,例6.,设,X,N,(,m,s,2,)，求证,Y=aX+b,(,a,0)也服从正态分布.,(*)式称为正态随机变量,X,的标准化.,此时将,看作,a,将,看作,b,则,N,(,a,m,+,b,(,a,s,),2,)=,N,(0,1).,褪掸棉拴钨置模枫碌浆炮癸显正瓷余哟炼男霖击陌恼乞溉星辑袁妇葫蹄捉25随机变量函数的分布25随机变量函数的分布,注意，作为特例，随机变量(的函数)服从标准正态分布，即YN,作业,55页,27,29,结束,哗存蕉毁铆按珍种岂咐镍迸刷闷谣淫痔坎疾亿应调在蹋恢胚维绰卞簿腕紊25随机变量函数的分布25随机变量函数的分布,作业 55页结束哗存蕉毁铆按珍种岂咐镍迸刷闷谣淫,