,4.4.3,不同函数增长的差异,4.4.3不同函数增长的差异,2020_2021学年新教材高中数学4,必备知识,自主学习,三种函数的性质及增长速度比较,导思,1.,指数函数、对数函数、一元一次函数的增长速度哪一个最快？,2.,为什么指数增长叫做呈爆炸性增长？,指数函数,对数函数,一元一次函数,解析式,y=a,x,(a1),y=log,a,x(a1),y=kx(k0),单调性,在,(0,，,+),上单调递增,图象,(,随,x,的增大,),趋向于和,x,轴,_,趋向于和,x,轴,_,呈直线上升,垂直,平行,必备知识自主学习三种函数的性质及增长速度比较导思1.指数函,指数函数,对数函数,一元一次函数,增长速度,(,随,x,的增大,),y,的增长速度越来越,_,y,的增长速度越来越,_,y,的增长速度,_,归 纳,总 结,总会存在一个,x,0,，当,xx,0,时，,_,快,慢,不变,a,x,kxlog,a,x,指数函数对数函数一元一次函数增长速度y的增长速度越来越_,(1),本质：通过数据运算、图象的变化归纳出三种函数的增长特点和增长速度的差异,.,(2),应用：根据现实的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律,.,(1)本质：通过数据运算、图象的变化归纳出三种函数的增长特点,【,思考,】,在三种函数增长关系的结论中，怎样理解“总会存在一个,x,0,”,？,提示：,因为三种函数增长速度不同，当自变量逐渐增大时，三种函数以不同的速度增加,.,使函数值相等的值可视为临界点就是,x,0,，因此可以理解为自变量足够大时一定会出现,x,0,.,当然,x,0,不唯一，比,x,0,大的任意一个实数也可以作为,x,0,.,【思考】提示：因为三种函数增长速度不同，当自变量逐渐增大时，,【,基础小测,】,1.,辨析记忆,(,对的打“”，错的打“,”),(1),函数,y=x,的衰减速度越来越慢,.(,),(2),增长速度不变的函数模型是一次函数模型,.(,),(3),对应任意,x(0,，,+),，总有,2,x,x,2,.(,),【基础小测】,提示：,(1).,由函数,y=x,的图象可知其衰减速度越来越慢,.,(2).,增长速度不变时图象为直线，故是一次函数,.,(3).,当,x=2,时，,2,2,=2,2,.,提示：(1).由函数y=x的图象可知其衰减速度越来,2.,小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶,.,与以上事件吻合得最好的图象是,(,),2.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时,【,解析,】,选,C.,小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除,A.,因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除,D.,后来为了赶时间加快速度行驶，故排除,B.,【解析】选C.小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校,3.(,教材二次开发：练习改编,),有一组实验数据如表所示：,下列所给函数模型较适合的是,(,),A.y=log,a,x(a1),B.y=ax+b(a1),C.y=ax,2,+b(a0),D.y=a +b(a0),x,1,2,3,4,5,y,1.5,5.9,13.4,24.1,37,3.(教材二次开发：练习改编)有一组实验数据如表所示：x12,【,解析,】,选,C.,通过所给数据可知,y,随,x,增大，其增长速度越来越快，而,A,，,D,中的函数增长速度越来越慢，,B,中的函数增长速度保持不变,.,【解析】选C.通过所给数据可知y随x增大，其增长速度越来越快,关键能力,合作学习,类型一函数增长速度的差异,(,数学抽象、直观想象,),【,题组训练,】,1.,下列函数中，增长速度最快的是,(,),A.y=2 020 xB.y=2 020,x,C.y=log,2 020,xD.y=2 020,关键能力合作学习类型一函数增长速度的差异(数学抽象、直观,2.,在某实验中，测得变量,x,和变量,y,之间对应数据，如表,.,则,x,，,y,最合适的函数是,(,),A.y=2,x,B.y=x,2,-1,C.y=2x-2D.y=log,2,x,x,0.50,0.99,2.01,3.98,y,-1.01,0.01,0.98,2.00,2.在某实验中，测得变量x和变量y之间对应数据，如表.x0.,3.,下列各项是四种生意预期的收益,y,关于时间,x,的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意的序号是,_.,y=31.04,x,；,y=20+x,10,；,y=40+lg(x+1),；,y=80.,3.下列各项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长,【,解析,】,1.,选,B.,指数函数的增长速度最快,.,2.,选,D.,根据,x=0.50,，,y=-1.01,，代入计算，可以排除,A,；根据,x=2.01,，,y=0.98,，代入计算，可以排除,B,、,C,；由于随着,x,的增大，,y,的增长比较缓慢，符合,y=log,2,x,模型,.,3.,结合三类函数的增长差异可知的预期收益最大，故填,.,答案：,【解析】1.选B.指数函数的增长速度最快.,【,解题策略,】,常见的函数模型及增长特点,(1),线性函数模型：线性函数模型,y=kx+b(k0),的增长特点是直线上升，其增长速度不变,.,(2),指数函数模型：指数函数模型,y=a,x,(a1),的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”,.,【解题策略】,(3),对数函数模型：对数函数模型,y=log,a,x(a1),的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓,.,(4),幂函数模型：幂函数,y=x,n,(n0),的增长速度介于指数增长和对数增长之间,.,特别提醒：函数值的大小不等同于增长速度快慢，数值大不一定增长速度快，增长速度体现在函数值的变化趋势上,.,(3)对数函数模型：对数函数模型y=logax(a1)的增,类型二函数增长速度的比较,(,数学抽象、逻辑推理,),【,典例,】,1.(,多选题,),如图，能使得不等式,log,2,xx,2,2B.x4,C.0 x2D.2x4,类型二函数增长速度的比较(数学抽象、逻辑推理),2.,已知函数,f(x)=ln x,，,g(x)=0.5x-1,的图象如图所示,.,(1),指出图中曲线,C,1,，,C,2,分别对应哪一个函数,.,(2),借助图象，比较,f(x),和,g(x),的大小,.,2.已知函数f(x)=ln x，g(x)=0.5x-1的图象,【,思路导引,】,根据函数的图象，利用图象的高低判断函数值的大小,.,【,解析,】,1.,选,BC.,由图象可知，当,0 x4,时，符合不等式,log,2,xx,2,f(x),；,当,x(x,1,，,x,2,),时，,g(x)f(x),；,【思路导引】根据函数的图象，利用图象的高低判断函数值的大小.,当,x=x,1,或,x,2,时，,g(x)=f(x).,综上，当,x=x,1,或,x,2,时，,g(x)=f(x),；,当,x(x,1,，,x,2,),时，,g(x)f(x).,当x=x1或x2时，g(x)=f(x).,【,解题策略,】,由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法,根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数,.,【解题策略】,【,跟踪训练,】,在同一坐标系中，画出函数,y=x+5,和,y=2,x,在,(0,，,+),上的图象，并比较,x+5,与,2,x,的大小,.,【,解析,】,函数,y=x+5,与,y=2,x,的图象如图所示：,当,0 x2,x,，当,x=3,时，,x+5=2,x,，,当,x3,时，,x+52,x,.,【跟踪训练】,【,补偿训练,】,函数,f(x)=1.1,x,，,g(x)=ln x+1,，,h(x)=,的图象如图所示，试分别指出各,曲线对应的函数，并比较三者的增长差异,(,以,1,，,a,，,b,，,c,，,d,，,e,为分界点,).,【补偿训练】,【,解析,】,由幂函数增长介于指数爆炸与对数增长之间，可明显得出曲线,C,1,对应,的函数是,f(x)=1.1,x,，曲线,C,2,对应的函数是,h(x)=,，曲线,C,3,对应的函数是,g(x)=ln x+1.,由图象可得：当,xh(x)g(x),；,当,1xg(x)h(x),；当,exf(x)h(x),；,当,axh(x)f(x),；当,bxg(x)f(x),；,当,cxf(x)g(x),；当,xd,时，,f(x)h(x)g(x).,【解析】由幂函数增长介于指数爆炸与对数增长之间，可明显得出曲,类型三函数增长速度的应用,(,数学建模、直观想象,),角度,1,利用曲线描述函数变化规律,【,典例,】,当我们在做化学实验时，常常需要将溶液注入容器中，当溶液注入容器,(,设单位时间内流入的溶液量相同,),时，溶液的高度随着时间的变化而变化，在图中请选择与容器相匹配的图象，,A,对应,_,；,B,对应,_,；,C,对应,_,；,D,对应,_.,类型三函数增长速度的应用(数学建模、直观想象),2020_2021学年新教材高中数学4,【,思路导引,】,由容器的形状，判断溶液高度变化的快慢，从而选择对应的曲线,.,【,解析,】,A,容器下粗上细，溶液高度的变化越来越快，故与,(4),对应；,B,容器为球形，溶液高度变化为快,慢,快，应与,(1),对应；,C,，,D,容器都是柱形的，溶液高度的变化速度都应是直线型，但,C,容器细，,D,容器粗，故溶液高度的变化为,C,容器快，与,(3),对应，,D,容器慢，与,(2),对应,.,答案：,(4),(1),(3),(2),【思路导引】由容器的形状，判断溶液高度变化的快慢，从而选择对,【,变式探究,】,若将溶液注入如图所示的容器，试作出容器内溶液高度的变化曲线,.,【,解析,】,容器内溶液的变化曲线为：,【变式探究】,角度,2,实际问题中的增长模型,【,典例,】,为净化湖水的水质，市环保局于,2019,年年底在管辖区湖水中投入一些水生植物，这些植物在水中的蔓延速度越来越快，,2020,年经两次实地测量得到表中的数据,月份,x/,月,1,2,3,4,5,植物面积,y/m,2,24,36,角度2实际问题中的增长模型月份x/月12345植物面积y,现有两个函数模型,y=ka,x,(k0,，,a1),与,y=mx,2,+n(m0),可供选择,.,(1),分别求出两个函数模型的解析式,.,(2),若市环保局在,2019,年年底投放了,11 m,2,的水生植物，试判断哪个函数模型更合适？并说明理由,.,(3),经过长期实地测量，刚开始植物覆盖面积增长的速度越来越快，基本符合,(2),中所选函数模型的增长特点,.,但是当植物覆盖到一定面积后，其面积的增长速度又变得很慢，最后稳定在一个值左右,.,试用所学的知识解释这些现象的成因,.,你从中得到了什么启示？,现有两个函数模型y=kax(k0，a1)与y=mx2+n,【,思路导引,】,(1),利用表中的数据，待定系数法求系数,.,(2),利用投放的植物面积检验模型,.,(3),利用函数模型增长的特征、生物知识解释成因,.,【思路导引】(1)利用表中的数据，待定系数法求系数.,【,解析,】,(1),由已知得 ,所以,y=,由已知得 ,所以,y=,(2),若用模型,y=,则当,x=0,时，,y,1,=,，,若用模型,y=,，则当,x=0,时，,y,2,=,，,易知，使用模型,y=,更为合适,.,【解析】(1)由已知得 ,(3),刚开始植物覆盖的面积符合所选函数模型的增长特点，因为指数函数模型的增长速度越来越快，因此植物覆盖的面积增长也越来越快,.,当植物覆盖到一定程度后，由于湖水中营养物质、氧气含量等因素限制了植物的生长，因此覆盖面积的增长变慢，直至稳定在一定范围之内,.,从中可