单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,单击此处编辑母版标题样式,解含,m,个参数 的,m,个方程组,得,以 作为参数 的估计量,.,第三步,:,第四步,:,解含m个参数 的m个方程组,得 以 作,1,最大似然估计,(MLE),的步骤,:,第一步,:,第二步,:,最大似然估计(MLE)的步骤:第一步:第二步:,2,第三步,:,第四步,:,第三步:第四步:,3,第二节 判别估计量好坏的标准,基本内容：,一、无偏性,二、有效性,三、一致性,第二节 判别估计量好坏的标准基本内容：一、无偏性二、有效性,4,估计量是样本的函数,是随机变量,.,故一个好的估计,应在多次试验中体现出优良性,.,由不同的样本观测值,就得到不同的参数估计值,.,所以,估计量的评价准则,在介绍估计量好坏的准则前,必须强调指出,:,评价一个估计量的好坏,不能仅仅依据一次试,验的结果,而必须由多次试验结果来衡量,.,估计量是样本的函数,是随机变量.故一个好的估计,应在多次试,5,一、无偏性,定义：,若,其对应的估计量,的期望等于未知参数,的真值,.,一、无偏性定义：若其对应的估计量 的期望等于未知参数,6,例,1.,已知正态分布的未知参数,2,的,矩估计量,最大似然估计量相同，即,解：,由,由于,例1.已知正态分布的未知参数,2的矩估计量最大似然估,7,(1),样本均值,X,是,总体均值,E,(,X,),的无偏估计量；,(3),样本,k,阶原点矩,一般地，,(,例,1 P156),是总体,k,阶原点矩,E,(,X,k,),的无偏估计量；,(2),样本方差,是总体方差,D,(,X,),的无偏估计量；,证明,:,(3),由样本的定义知，,X,i,与,X,有相同分布,(1)样本均值 X 是总体均值E(X)的无偏估计量；(3),8,集中,设,1,和,2,都是参数,的无偏估计量,二、有效性,即,D,(,1,),D,(,2,).,未知参数,的无偏估计量不是唯一的,.,蓝色是采用估计量,1,用,14,个样本值得到的,14,个估计值,.,紫色是采用估计量,2,用,14,个样本值得到的,14,个估计值,.,分散,集中 ,9,D,(,1,),D,(,2,),则称,1,较,2,有效,.,都是未知参数,的,无偏估计量,.,当样本容量,n,一定时,若在,的所有无偏估计量中,若,10,解：,故,X,比,X,i,(,i,=1,2,n,),有效,.,当,n,2,时，,无偏估计量，问哪一个更有效？,例,2.,易知,解：当n2时，无偏估计量，问哪一个更,11,例,3.,设,X,1,，,X,2,，,X,3,是来自总体,X,的样本,且,统计量中哪个更有效？,(),总体均值,E,(,X,)=,未知,则下列,4,个关于,的,C,分析：利用,P181,的,7,题结论，可选,C.,例3.设X1，X2，X3是来自总体X的样本,且 统计量中哪,12,三、一致性,定义：,证明一致估计的方法：,三、一致性定义：证明一致估计的方法：,13,回顾例子,.,设总体,X,的概率密度为,X,1,X,2,X,n,是取自总体,X,的简单随机样本,解：,回顾例子.设总体X的概率密度为 X1,X2,Xn 是,14,内容小结,1.,无偏性,样本,k,阶原点矩是,总体,k,阶原点矩 的无偏估计量,;,样本方差,S,2,是总体方差,2,的无偏估计量,;,2.,有效性,方差更小的无偏估计量,.,在,的所有线性无偏估计量中,样本均值,X,是最有效的,.,3.,一致性,而区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷,.,为了使估计的结论更可信,需要引入区间估计,.,参数的点估计是用样本算得的一个值去估计未知参数,.,使用起来把握不大,.,点估计值仅仅是未知参数的一个近似值,它没有反映出这个近似值的误差范围,.,估计量的期望等于未知参数的真值,.,内容小结1.无偏性 样本 k 阶原点矩是总体 k 阶原点矩,15,第三节 正态总体参数的区间估计,基本内容：,一、区间估计的概念,二、正态总体均值的区间估计,三、正态总体方差的区间估计,第三节 正态总体参数的区间估计基本内容：一、区间估计的概念,16,给定的概率,1-,(,0,1),定义,设总体,X,的分布中含有未知参数,，,若存在两个统计量,一、区间估计的概念,对于,使得,的,置信区间,给定的概率 1-(0 1),定义,17,注：,注：,18,若进行,n,次独立重复抽样，得到,n,个样本观测值,根据,伯努利大数定理,在这,n,个随机区间中,由,伯努利大数定理,的解释：,若进行n次独立重复抽样，得到n个样本观测值,根据伯努利大,19,例如,？,例如？,20,二、正态总体均值,的区间估计,1.,已知方差,2,=,0,2,的,正态总体,X,求未知参数,1-,的,置信区间,解,：,设总体,X,N,(,2,),有,二、正态总体均值 的区间估计1.已知方差 2=02,21,其置信区间的长度为,标准正态分布中对称于原点的置信区间是最短的,故,其置信区间的长度为标准正态分布中对称于原点的置信区间是最短的,22,若滚珠直径服从正态分布,X,N,(,2,),并且已知,例,1.,滚珠的直径（单位：,mm,）如下,:,14.6,15.0,14.7,15.1,14.9,14.8,15.0,15.1,15.2,14.8,=,0.16(,mm,),求滚珠直径均值,的置信水平为,95%,的置信区间,.,解：,由上面求解,的置信水平为,1-,的置信区间,从某厂生产的滚珠中随机抽取,10,个，测得,若滚珠直径服从正态分布X N(,2),并且已,23,(14.821,15.019),由,分位点,的定义,经查表,由此得,代入公式,(14.821,15.019)由分位点的定义经查表,24,2.,未知方差,2,的,正态总体,X,求未知参数,的,1-,的,置信区间,解,：,设总体,X,N,(,2,),有,由,t,分布的概率密度曲线关于,y,轴对称，,对称于原点,的置信区间是最短的,.,2.未知方差2 的正态总体 X,求未知参数的1-,25,其置信区间的长度为,故,其置信区间的长度为故,26,并且方差,2,未知,求滚珠直径均值,的置信水平为,例,2.,从某厂生产的滚珠,直径,X,N,(,2,),滚珠的直径（单位：,mm,）如下,:,14.6,15.0,14.7,15.1,14.9,14.8,15.0,15.1,15.2,14.8,95%,的置信区间,.,抽取,10,个,解：,由,的置信水平为,1-,的置信区间,并且方差2未知,求滚珠直径均值的置信水平为例2.从某厂,27,由此得,得到,的,95%,的置信区间为,代入公式,(14.92-0.138,14.92+0.138),即,(14.782,15.058)(,mm,),由此得得到的95%的置信区间为代入公式(14.92-0.1,28,由,2,分布的概率密度曲线是不对称的，,三、正态总体方差,2,的区间估计,1-,的,置信区间,解,：,设总体,X,N,(,2,),有,仿照前述,的置信区间取法：,1.,已知均值,=,0,的,正态总体,X,求未知参数,2,由 2分布的概率密度曲线是不对称的，三、正态总体方差 2,29,故,故,30,并且,=14.9(,mm,),求滚珠直径,方差,2,的置信水平为,例,3.,从某厂生产的滚珠,直径,X,N,(,2,),滚珠的直径（单位：,mm,）如下,:,14.6,15.0,14.7,15.1,14.9,14.8,15.0,15.1,15.2,14.8,95%,的置信区间,.,抽取,10,个,解：,由,2,的置信水平为,1-,的置信区间,并且=14.9(mm),求滚珠直径方差2的置信水平为例,31,查表得,2,分布的分位点,得到,2,的,95%,的置信区间为,代入公式,即,(0.0166,0.1046)(,mm,2,),查表得 2分布的分位点得到2的95%的置信区间为代入公式,32,2.,未知均值,的,正态总体,X,求未知参数,2,的,1-,的,置信区间,解,：,设总体,X,N,(,2,),有,仿照前面的置信区间取法：,2.未知均值的正态总体 X,求未知参数 2 的1-,33,故,故,34,并且,未知，求滚珠直径,方差,2,的置信水平为,例,4.,从某厂生产的滚珠,直径,X,N,(,2,),滚珠的直径（单位：,mm,）如下,:,14.6,15.0,14.7,15.1,14.9,14.8,15.0,15.1,15.2,14.8,95%,的置信区间,.,抽取,10,个,解：,由,2,的置信水平为,1-,的置信区间,并且未知，求滚珠直径方差2的置信水平为例4.从某厂生产的,35,查表得,2,分布的分位点,得到,2,的,95%,的置信区间为,代入公式,即,(0.0177,0.1243)(,mm,2,),查表得 2分布的分位点得到2的95%的置信区间为代入公式,36,内容小结,1.,了解估计量的无偏性、有效性、一致性，,2.,了解正态总体下参数的区间估计。,并会验证估计量的无偏性和有效性；,内容小结1.了解估计量的无偏性、有效性、一致性，2.了解,37,作业,习题六（,P180,）,:4,、,6,、,9,、,12,作业习题六（P180）:4、6、9、12,38,