单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,不定积分,第四节,基本积分法:直接积分法;,换元积分法;,分部积分法,初等函数,求导,初等函数,积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、有理函数的积分,二、可化为有理函数的积分举例,有理函数的积分,本节内容:,第,四,章,不定积分第四节 基本积分法:直接积分法;换元积分法,1,一、有理函数的积分,有理函数:,时,为假分式;,时,为真分式,有理函数,相除,多项式+真分 式,分解,其中部分分式的形式为,若干部分分式之和,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、有理函数的积分有理函数:时,为假分式;时,为真分式有理,2,例1.,将下列真分式分解为部分分式:,解:,(1)用拼凑法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.将下列真分式分解为部分分式:解:(1)用拼凑法机,3,(2)用赋值法,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2)用赋值法故机动 目录 上页 下页 返,4,(3)混合法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,原式=,(3)混合法机动 目录 上页 下页 返回,5,四种典型部分分式的积分:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,变分子为,再分项积分,四种典型部分分式的积分:机动 目录 上页 下页,6,例2.,求,解:,已知,例1(3)目录 上页 下页 返回 结束,例2.求解:已知例1(3)目录 上页 下,7,例3.,求,解:,原式,思考:,如何求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,提示:,变形方法同例3,并利用 P209 例9.,例3.求解:原式思考:如何求机动 目录 上,8,例4.,求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求,简便的方法.,例4.求解:机动 目录 上页 下页 返回,9,例5.,求,解:,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.求解:原式机动 目录 上页 下页,10,常规 目录 上页 下页 返回 结束,例6.,求,解:,原式,(见P348公式21),注意本题技巧,按常规方法较繁,常规 目录 上页 下页 返回 结束 例6,11,按常规方法解:,第一步 令,比较系数定,a,b,c,d.,得,第二步 化为部分分式.即令,比较系数定,A,B,C,D,.,第三步 分项积分.,此解法较繁!,机动 目录 上页 下页 返回 结束,按常规方法解:第一步 令比较系数定 a,b,c,12,二、可化为有理函数的积分举例,设,表示三角函数有理式,令,万能代换,t,的有理函数的积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.三角函数有理式的积分,则,二、可化为有理函数的积分举例设表示三角函数有理式,令万能,13,例7.,求,解:,令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7.求解:令则机动 目录 上页 下页,14,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,15,例8.,求,解:,说明:,通常求含,的积分时,往往更方便.,的有理式,用代换,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8.求解:说明:通常求含的积分时,往往更方便.的有,16,例9.,求,解法 1,令,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9.求解法 1 令原式机动 目录 上页 下页,17,例9.,求,解法 2,令,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9.求解法 2 令原式机动 目录 上页 下页,18,例10.,求,解:,因被积函数关于,cos,x,为奇函数,可令,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例10.求解:因被积函数关于 cos x 为奇函数,可,19,2.简单无理函数的积分,令,令,被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换,化为有理函数的积分.,例如:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令,2.简单无理函数的积分令令被积函数为简单根式的有理式,20,例11.,求,解:,令,则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例11.求解:令则原式机动 目录 上页 下,21,例12.,求,解:,为去掉被积函数分母中的根式,取根指数 2,3 的,最小公倍数 6,则有,原式,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例12.求解:为去掉被积函数分母中的根式,取根指数,22,例13.,求,解:,令,则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例13.求解:令则原式机动 目录 上页 下页,23,内容小结,1.,可积函数的特殊类型,有理函数,分解,多项式及部分分式之和,三角函数有理式,万能代换,简单无理函数,三角代换,根式代换,2.,特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定,要注意综合使用基本积分法,简便计算.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,简便,内容小结1.可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式,24,思考与练习,如何求下列积分更简便?,解:,1.,2.原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习如何求下列积分更简便?解:1.2.原式机动,25,作业,P218 3,6,8,9,13,15,17,18,20,21,第五节 目录 上页 下页 返回 结束,作业P218 3,6,8,9,26,备用题,1.,求不定积分,解：,令,则,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,分母次数较高,宜使用,倒代换.,备用题 1.求不定积分解：令则,故机动 目录 上页,27,2.,求不定积分,解：,原式=,前式令,;后式配元,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.求不定积分解：原式=前式令;后式配元机动 目录,28,