单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,工 程 力 学,单元,8,梁的弯曲,8-1,平面弯曲和梁的类型,8-2,梁的内力,8-3,简捷法画梁的内力图,8-4,叠加法画弯矩图,8-5,练习题,8-1,平面弯曲,和梁的类型,一、弯曲变形与梁,1,、弯曲变形,：杆件受到垂直与杆轴的外力作用或在纵向平面内受到力偶作用，杆轴由直线变成曲线，这种变形成为弯曲变形。,2,、梁,：以弯曲变形为主要变形的杆件。,工程中梁式桥的主梁,F,1,F,2,A,B,F,A,F,B,q,F,M,工程中房屋建筑的楼面梁,工程中房屋建筑阳台挑梁,（,a,）,（,b,）,（,c,）,（,d,）,二、直梁的平面弯曲,1,、平面弯曲（对称弯曲）,：梁具有纵向对称面，若梁上所有外力,（荷载和反力）,都作用在纵向对称面内，梁变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。,受力特点,：,外力垂直与梁轴线。,变形特点,：轴线在纵向对称面变成一条曲线。,三,、,梁的类型,1,、悬臂梁,2,、简支梁,3,、外伸梁,8-2,梁,的内力,剪力和弯矩,一、梁的内力,二,、,截面法求内力,步骤,：,1,、求反力,2,、求,m,面上内力,切断,m,断面（垂直于梁轴）,绘受力图,应用平衡条件求解,三,、,剪力弯矩的正负号规定,1,、,剪力,：,当截面上的剪力使所考虑的分离体有顺时针转动的,趋势时为正。,2,、,弯矩,：,当截面上的弯矩使所考虑的分离体产生向下凸的变,形时（即上部受拉，下部受压）为正。,四,、,简捷方法计算指定截面内力,大小,：在数值上等于截面一侧所有外力在垂直与轴,线上投影的 代数和。,Q=P,。,1,、某指定截面上剪力,Q,正负,：以外力定内力。,截面左侧向上，或界面向下的外力使截面产,生正剪力。,即“,左上右下为正,”。,2,、某指定截面上弯矩,M,大小,：在数值上等于截面一侧所有外力对截面形心,力矩的代数和。,M=m,。,正负,：截面左侧外力矩顺时针，截面右侧外力矩逆,时针使截面产生正弯矩。,即“,左顺右逆为正,”。,例一 求下图所示简支梁,1-1,与,2-2,截面的剪力和弯矩。,2,1,1,2m,2,1.5m,q,=12kN/m,3m,1.5m,1.5m,F,=8kN,A,B,解：,1,、求支反力,2,、计算,1-1,截面的内力,F,=8kN,F,A,3,、计算,2-2,截面的内,F,B,q,=12kN/m,F,A,F,B,8-3,简捷法画梁的内力图,一、弯矩、剪力、荷载集度之间的微分关系,M,F,1,q,(,x,),A,B,d,x,O,x,d,x,y,x,M,(,x,),F,S,(,x,),M,(,x,)+d,M,(,x,),F,S,(,x,)+d,F,S,(,x,),q,(,x,),结论,1,：梁,上任意横截面上的剪力对,X,的一阶导数等于作用在,该,截面上的分布荷载集度。,结论,2,：梁,上任意横截面上的弯矩对,X,的一阶导数等于该截面,上的剪力。,结论,3,：梁,上任意横截面上的弯矩对,X,的二阶导数等于该截面,上的分布荷载集度。,二、剪力图、弯矩图的图形规律,外力情况,q0(,向下,),无荷载段,集中力,F,作用处：,集中力偶,M,作用处：,剪力图上的特征,(,向下斜直线,),水平线,突变,，,突变值为,F,不变,弯矩图上的特征,(,下凸抛物线,),斜直线,有,尖点,有,突变,，,突变值为,M,最大弯矩可 能的截面位置,剪力为零的截面,剪力突变的截面,弯矩突变的某一侧,1,、各种荷载下剪力图与弯矩图的形态表：,2,、其它规律：,|,M,|,max,可能发生在剪力为零处、集中力作用处、集中力偶作用处；,q,突变反向，剪力图有尖点，弯矩图有凸凹性反转拐点；,荷载图关于梁左右对称，则剪力图关于梁中点反对称，弯矩图左右对,称；荷载图关于梁中点反对称，则剪力图左右对称，弯矩图关于梁中,点反对称。,3,、具体诠释：,剪力,=0 Q,图：,0,线,M,图：水平线,剪力,=,常数,Q,图：水平线,M,图：斜直线,剪力,Q,0,弯矩,M,递减,剪力,Q,0,弯矩,M,递增,m,l,l,/2,A,B,m/l,m/l,Q,M,-,m/l,m,p,A,B,l,P,Pl,Q,+,P,M,Pl,当一段梁上荷载集度,q(x)=0,（无荷段）,-,-,当一段梁上有均布荷载,q,（,x,）,=,常数,Q,图：斜直线,M,图：二次抛物线,q Q,图 下斜直线,M,图 下凸抛物线,ql/2,ql/2,q,l,A,B,Q,+,-,ql/8,M,ql/2,ql/2,q,B,A,l,ql,ql/2,Q,ql,-,ql/2,M,-,+,q Q,图 上斜直线,M,图 上凸抛物线,ql/2,ql/2,q,l,A,B,Q,+,-,ql/8,M,ql/2,ql/2,ql,ql/2,Q,ql,ql/2,M,+,q,B,A,l,+,-,M,图的极值,Q,（,x,）,=0,处,M,（,x,）有极值,Q,（,x,）由（,+,）经零到（,-,）,M,图有极大值,Q,（,x,）由（,-,）经零到（,+,）,M,图有极小值,X=Q,端,/q,M,极,=M,端,Q,面积,Q,端,+,-,x,M,端,+,q,Q,M,M,极,集中力作用处,剪力,Q,图有突变,集中力向下,Q,图从左到右下突,集中力向上,Q,图从左到右上突,弯矩值不变 弯矩图折变,500,500,100,100,+,-,-,+,Q,（,N,）,100,400N,200N,1m,1m,1m,100N,同号相减,突变值,=,集中力的值,异号相加,M,（,Nm,）,集中力偶作用处,剪力,Q,图无变化,弯矩,M,图有突变,集中力偶,M,图从左到右上突,集中力偶,M,图从左到右下突,同号相减,突变值,=,集中力偶值,异号相加,+,+,-,200Nm,1m,1m,1m,100Nm,400Nm,200,500,100,100,300,Q,（,N,）,M,（,Nm,）,梁端有集中力、集中力偶,Q,端,=P,（集中力）,M,端,=m,（集中力偶）,500,500,500,100,100,+,-,-,+,Q,（,N,）,100,400N,200N,1m,1m,1m,100N,+,+,-,200Nm,1m,1m,1m,100Nm,400Nm,200,100,100,300,Q,（,N,）,M,（,Nm,）,M,（,Nm,）,三、用微分关系法绘制剪力图和弯矩图,简捷法,1,、简捷法：根据剪力图和弯矩图的图形规律快速绘制 剪力图和弯矩图的方法。,2,、简捷法绘图,步骤,（,1,）求反力（悬臂梁除外）,（,2,）分段 确定控制截面,梁端内侧,Q,图 集中力左、右,分布荷载起终处,梁端,图 集中力,集中力偶左、右,分布荷载起终处,（,3,）判断各段,Q,、,M,图的图形规律（定性分析）,（,4,）求控制截面内力值（定量分析）,（,5,）检查,例：简捷法画图示梁的,Q,、,M,图,Q,（,kN,）,M,（,kNm),75,+,45,-,75,+,15,25,-,1.5m,+,35,50,83.75,-,10,15.625,+,0.75m,A,C,D,E,B,30kN/m,1m,1m,4m,2m,60kN,20kN/m,120kN,80kNm,25kN,75kN,75,练习,:,简捷法画图示梁的,Q,、,M,图,B,A,3m,2m,1m,2kN/m,2kN,3kNm,C,D,2,+,3,-,3,+,1m,2,-,+,4,3,Q,(KN),M,（,kNm,）,练习,:,简捷法画图示梁的,Q,、,M,图,Q,(N),M(Nm),+,100,100,-,-,400,+,200,100,+,400,300,+,400N,300N,3m,1m,1m,200Nm,C,A,B,100N,200N/m,2m,四、总结,五、布置作业,1,、弯矩、剪力、荷载集度间的,微分关系的意义是什么？,思考题,习题：教材,140,页,94,2,、如何确定,弯矩的极值,？,弯矩图上的极值是否,就是梁内的最大弯矩,？,8-4,叠加法画梁的弯矩图,1,、,叠加原理,：当梁在各项荷载作用下某一横截面上的弯矩等于各荷载单独作用下同一横截面上的弯矩的代数和。,2,、,区段叠加法作弯矩图,：,设简支梁同时承受跨间荷载,q,与端部力矩,MA,、,MB,的作用。其弯矩图可由简支梁受端部力矩作用下的直线弯矩图与跨间荷载单独作用下简支梁弯矩图叠加得到。即：,B,M,A,A,q,M,B,l,B,+,M,A,M,B,M,0,+,+,M,A,M,B,M,0,注意,：,这里所说的弯矩叠加，是纵坐标的叠加而不是指图形的拚合。,d,图中的纵坐标如同,M,图的纵坐标一样，也是垂直于杆轴线,AB,。,利用内力图的特性和弯矩图叠加法，将梁弯矩图的一般作法,归纳如下,：,（,1,）选定外力的不连续点,(,如集中力、集中力偶的作用点，分布力的起点和终点等,),为控制截面，求出控制截面的弯矩值。,（,2,）分段画弯矩图。当控制截面之间无荷载时，该段弯矩图是直线图形。当控制截面之间有荷载时，用叠加法作该段的弯矩图。,例,作图示简支梁的弯矩图,。,2F,C,l/2,A,B,F,l/2,l/2,M,8-5,练习题,1,、求图所示各梁中指定截面上的剪力和弯矩。,(a),1,1,A,1m,0.5m,1.2kN,B,2kNm,5m,A,5kN,1,1,(b),2m,1m,1m,2,2,B,6m,(d),3m,1,1,B,A,3kN/m,q,5a,A,1,1,(c),3a,a,a,33,B,2,2,5kN,5m,(e),3m,11,B,A,22,10kNm,2.5m,(f),1m,11,B,A,22,6.6m,(g),3.3m,1.7m,18.5kN,18.5kN,10kN/m,B,1,1,A,1.7m,5a,(h),3a,a,q,B,1,1,A,2,、用简易法作图所示各梁的剪力图和弯矩图,1m,C,1m,D,A,3m,10kN.m,10kN.m,(b),B,C,B,1m,A,2.5m,5kN/m,(c),1m,A,C,B,(d),2m,15kN,10kN.m,C,B,A,D,(e),3,5,q,C,B,A,3,M,0,(f),A,L,B,q,(a),C,B,A,D,E,1m,1m,1m,(h),4m,10kN,10kN,30kN,B,4,(k),q,q,A,B,4,(l),A,p,p,D,20kN.m,4m,B,(g),4kN.m,4kN/m,A,1m,A,C,B,(j),2m,20kN/m,A,C,B,A,D,E,(i),p,p,4a,A,B,5a,m,(m),a,4m,A,10kN/m,(n),B,80kNm,80kNm,3,、用简便方法画下列各梁的剪力图和弯矩图。,A,B,(1),M,e1,=8kN.m,4m,M,e2,=20kN.m,A,B,(3),2m,2m,M,e,=8kN.m,M,e,=8kN.m,F=20kN,A,B,(2),M,e,=8kN.m,4m,2m,C,q=5kN/m,A,B,(4),3m,3m,C,q=4kN/m,F=8kN,A,B,(6),2m,6m,2m,C,D,q=6kN/m,F=9kN,A,B,(5),1m,2m,1m,C,F=2kN,q=4kN/m,D,B,A,C,D,L,0.2L,0.2L,q,(8),5m,B,1m,C,A,30kN.m,20kN,(9),2m,B,20kN.m,20kN.m,10kN/m,(10),A,l,B,q,A,2ql,2,ql,2,(11),3,B,A,q,(12),C,3m,A,6kN/m,1m,2kN,(7),B,A,B,(14),A,C,q,B,(15),A,C,D,q,B,(16),A,C,D,F,M,e,=1/4F,A,B,(13),M,e,C,B,(17),A,q,2,q,2,C,B,A,q,(18),q,A,C,D,B,F,A,F,B,q,2,4,、画出图所示简支梁的剪力图和弯矩图，并在图上标出各段端面的相应位置，并注明,F,S,max,及,M,