大,小,24.1.2,垂直于弦的直径,O,A,A,C,D,M,一、复习旧知,1,、圆是,对称图形，,都,是圆的对称轴（圆有,条对称轴）,任何一条直径所在直线,轴,无数,O,A,A,C,D,M,一、复习旧知,2,、垂径定理：垂直于弦的直径,弦，并且,弦所对的两条弧,.,如图,CD,是,O,的直径,CDAA,AM=MA,AC=AC.,AD=AD,O,A,A,C,D,M,O,A,A,D,M,O,A,A,M,平分,平分,解：AB表示主桥拱，设AB所在的圆的圆心为O，半径为R.,解：AB表示主桥拱，设AB所在的圆的圆心为O，半径为R.,23m,求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位).,个量，可以求出其余两个量.,证明：连接OA，OB,1、结合勾股定理构造直角三角形：如图所示，弦长,2、巧求面积：如图中阴影面积的求算.,由垂径定理，AD=BD,AC=BC.,根据垂径定理，D是AB的中点，,正确的有 .,垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分,2、垂径定理：垂直于弦的直径 弦，并且 弦所对的两条弧.,1、是圆的轴对称性的体现；,个量，可以求出其余两个量.,个量，可以求出其余两个量.,它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.,C是AB的中点,OC就是拱高.,6、说一说，你发现的结论.,1、结合勾股定理构造直角三角形：如图所示，弦长,由垂径定理，AD=BD,AC=BC.,它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.,例1、赵州桥是我国隋朝建造的石拱桥，距今约1400年的历史,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.,（1）、（2）、（4）、（5）、（6）,2、O中，直径CDAB，垂足为M，下列结论：,1、圆是 对称图形，都,条件,过圆心,垂直于弦,平分优弧,平分弦,平分劣弧,结论,一、复习旧知,2,、垂径定理：,垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧,.,O,A,A,C,D,M,O,A,A,D,M,O,A,A,M,二、动手实践,O,C,D,2,、在,O,上画弦,AB,，,B,A,M,.,3,、画弦,AB,的中点,M,，,1,、尝试通过折叠，把圆心,O,画出来，,4,、过点,O,M,画,O,的直径,CD,5,、把图形沿,CD,折叠,观察重合的点、线、弧，,6,、说一说，你发现的结论,.,三、探索新知,O,A,B,C,D,A,B,A,M,.,已知：,CD,是,O,的直径,CD,与,AB,交于点,M,，,点,M,是,AB,的中点，,求证：,CD,AB,于,M,，,AD=BD,AC=BC.,证明：连接,OA,，,OB,OA=OB,AM=BM,OMAB,于,M,即,CDAB,于,M,CD,是,O,的直径,CDAB,于,M,，,求证：,CD,AB,于,M,，,AD=BD,AC=BC.,由垂径定理，,AD=BD,AC=BC.,只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.,2、解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.,2、巧求面积：如图中阴影面积的求算.,2、垂径定理：垂直于弦的直径 弦，并且 弦所对的两条弧.,CD是O的直径,CDAB于M，,它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.,解：AB表示主桥拱，设AB所在的圆的圆心为O，半径为R.,2、解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.,23m,求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位).,6、说一说，你发现的结论.,3、如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（），,在RtOAD中，由勾股定理，得OA2=OD2+AD2,它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.,即 r2=1502+（r-45）2,1、课本P124第10题：往直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图所示，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度.,已知：CD是O的直径,CD与AB交于点M，,垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧,6、说一说，你发现的结论.,平分弦 的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.,例1、赵州桥是我国隋朝建造的石拱桥，距今约1400年的历史,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.,由垂径定理，AD=BD,AC=BC.,2、垂径定理：垂直于弦的直径 弦，并且 弦所对的两条弧.,由垂径定理，AD=BD,AC=BC.,弦所对的两条弧.,个量，可以求出其余两个量.,上例归结为：已知a、h，求r.,1、是圆的轴对称性的体现；,它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.,2、垂径定理：垂直于弦的直径 弦，并且 弦所对的两条弧.,3、如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（），,23m,求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位).,1、课本P124第10题：往直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图所示，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度.,6、说一说，你发现的结论.,23m,求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位).,结合勾股定理构造直角三角形：如图所示，弦长,3、画弦AB的中点M，,（1）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.,它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.,垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧,（1）、（2）、（4）、（5）、（6）,（或半弦长 ）、弦心距d、半径r、弓形高h.,2、课本P91第16题：如图，铁路MN和公路PQ在点O处交会，QON=30，在点A处有一栋居民楼，AO=200m.,2、垂径定理：垂直于弦的直径 弦，并且 弦所对的两条弧.,（6）ACD=BCD；,1、课本P124第10题：往直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图所示，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度.,CD=300m，E为 上,OC=.,根据垂径定理，D是AB的中点，,OA=OB,AM=BM,23m,求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位).,三、探索新知,O,A,B,C,D,A,B,A,M,.,条件,过圆心,平分弦,平分优弧,垂直于弦,平分劣弧,结论,平分弦 的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧,.,（,不是直径,）,只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论,.,过圆心,平分弦,垂直于弦,平分劣弧,平分优弧,.,四、举一反三,O,A,B,C,D,A,B,A,M,.,垂径定理的推论：,平分弦（,不是直径,）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧,四、举一反三,垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分,弦所对的两条弧,.,命题,1,：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧,.,命题,2:,平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦 所对的另一条弧,.,（,2,）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧,.,（）,（,1,）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧,.,（）,辨析：,A,B,C,D,O,反例：,反例：,O,A,B,C,D,M,例,1,、赵州桥是我国隋朝建造的石拱桥，距今约,1400,年的历史,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶,.,它的主桥拱是圆弧形,它的跨度,(,弧所对是弦的长,),为,37m,拱高,(,弧的中点到弦的距离,),为,7.23m,求赵州桥主桥拱的半径,(,结果保留小数点后一位,).,五、例题精讲,五、例题精讲,例,1,、赵州桥是我国隋朝建造的石拱桥，距今约,1400,年的历史,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶,.,它的主桥拱是圆弧形,它的跨度,(,弧所对是弦的长,),为,37m,拱高,(,弧的中点到弦的距离,),为,7.23m,求赵州桥主桥拱的半径,(,结果保留小数点后一位,).,A,B,O,C,D,R,OD=OC-DC=R-7.23.,在,RtOAD,中，由勾股定理，得,OA,2,=OD,2,+AD,2,即,R,2,=18.5,2,+(R-7.23),2,.,解得,R27.3.,答,:,赵州桥的主桥拱半径约为,27.3m.,C,是,AB,的中点,OC,就是拱高,.,解：,AB,表示主桥拱，设,AB,所在的圆的圆心为,O,，半径为,R.,经过圆心,O,作弦,AB,的垂线,OC,，,D,为垂足，,OC,与,AB,相交于点,C,，连接,OA.,根据垂径定理，,D,是,AB,的中点，,由题设可知,AB=37,，,CD=7.23,，,AD=AB=37=18.5,O,C,D,五、例题精讲,五、例题精讲,结合勾股定理构造直角三角形：如图所示，弦长,（或半弦长 ）、弦心距,d,、半径,r,、弓形高,h,.,由勾股定理得,上例归结为：已知,a,、,h,，求,r.,解题方法为：设半径,r,为未知数，则,d=r-h,通过垂径定理构造直角三角形，由勾股定理，列方程得,其中，,r,h+d,=,它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.,2、巧求面积：如图中阴影面积的求算.,在RtOFC中，根据勾股定理，,23m,求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位).,3、用于几何作图：如求作弧的中点、后续学习的过不在同一直线上的三点作圆.,1、结合勾股定理构造直角三角形：如图所示，弦长,3、画弦AB的中点M，,2、垂径定理：垂直于弦的直径 弦，并且 弦所对的两条弧.,如图,CD是O的直径,它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.,垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分,命题1：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.,（或半弦长 ）、弦心距d、半径r、弓形高h,知道其中两,（或半弦长 ）、弦心距d、半径r、弓形高h.,1、圆是 对称图形，都,求证：CDAB于M，AD=BD,AC=BC.,2、解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.,OA=OB,AM=BM,OMAB于M,即CDAB于M,求证：CDAB于M，AD=BD,AC=BC.,只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.,根据垂径定理，D是AB的中点，,个量，可以求出其余两个量.,平分弦 的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.,个量，可以求出其余两个量.,1,、在,O,中，,OC,平分弦,AB,，,AB=16,，,OA=10,，则,OCA=,，,OC=,.,16,10,90,6,六、巩固练习,O,A,B,C,D,A,B,A,M,.,2,、,O,中，直径,CD,AB,，垂足为,M,，下列结论：,（,1,）,AM=BM,；（,2,）,AC=BC,；（,3,）,MO=MD,；,（,4,）,AD=BD,；（,5,）,AC=BC,；（,6,）,ACD=BCD,；,正确的有,.,（,1,）、（,2,）、（,4,）、（,5,）、（,6,）,六、巩固练习,3,、如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（），,点,O,是这段弧所在圆的圆心,.CD=300m,，,E,为 上,一点，,OECD,，垂足为,F,，,EF=45m.,求这段弯路,的半径,CD,CD,解：如图，,设这段圆弧的半径为,r,，则,OF=,（,r-45,）,m,OECD,CF=CD=300=150m,在,RtOFC,中，根据勾股定理，,得,OC,2,=CF,2,+OF,2,即,r,2,=150,2,+,（,r-45,）,2,解得,r=272.5,这段弯路的半径为,272.5m,七、总结提升,2,、巧求面积：如图中阴影面积的求算,.,垂径定理及其推论的应用举例：,1,、结合勾股定理构造直角三角形：如图所示，弦长,（或半弦长 ）、弦心距,d,、半径,r,、弓形高,h,知道其中两,个量，可以求出其余两个量,.,七、总结提升