开始,学案,简单的线性规划问题,学点一,学点二,学点三,学点四,返回目录,1.要求 的函数叫做目标函数.,2.目标函数中的变量所要 称为约束条件.,3.假设约束条件是 ，则称为线性约束条件.,4.一般的，在线性约束条件下求 的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题.,5.使目标函数取得最大值或最小值的 ，叫做这个问题的最优解.,6.满足线性约束条件的 叫做可行解，由全部可行解组成的 叫做可行域.,最大值或最小值,满足的不等式组,关于变量的一次不等式,线性目标函数,可行解,解(,x,y,),集合,返回目录,学点一,求目标函数的最值,【分析】,求目标函数最大值或最小值的步骤：作可行域、画平行线、解方程组、求最值.,设,x,y,满足约束条件,（1）求目标函数,z,=2,x,+3,y,的最小值与最大值；,（2）求目标函数,z,=3,x,-,y,的最小值与最大值；,x,-3,y,-4,-4,x,+3,y,12,4,x,+3,y,36.,图3-4-2,【解析】,作出可行域如图3-4-2.,（1）,z,=2,x,+3,y,变形为,y,=,x,+,，,得到斜率为 ,在,y,轴上的截距,为,随,z,变化的一簇平行直线.由图,可知,当直线经过可行域上的点,D,时,截距,最大，即,z,最大.,解方程组 得,D,点坐标为（3,8）.,z,max,=2,x,+3,y,=30.,当直线经过可行域上的点,B,时，截距,最小，即,z,最小.由已知得,B,（-3，-4）.,z,min,=2,x,+3,y,=2(-3)+3(-4)=-18.,(2)同理可求,z,max,=40,z,min,=-9.,-4,x,+3,y,=12,4,x,+3,y,=36.,返回目录,返回目录,【评析】,（1）,z,并不是直线2,x,+3,y,=,z,在,y,轴的截距，而是截距的3倍，因此，直线过点,B,时，,最小，,z,最小.,（2）中,z,并不是直线3,x,-,y,=,z,在y轴的截距，而是截距的相反数，过,A,（-3，0）截距最大而,z,值最小，注意不要搞反.,图解法是解决线性规划问题的有效方法.其关键在于平移直线,ax,+,by,=0时，看它经过哪个点（或哪些点）时最先接触可行域和最后离开可行域，则这样的点即为最优解，再注意到它的几何意义，从而确定是取得最大值还是最小值.,返回目录,设,z,=2,x,+,y,中,x,y,满足下列条件 求,z,的最大值和,最小值.,x,-4,y,-3，,3,x,+5,y,25,x,1，,解：,作出二元一次不等式组 所表示的平,面区域（如图阴影部分所示）,即可行域.,考虑,z,=2,x,+,y,，将它变形为,y,=-2,x,+,z,，这是斜率为-2,随,z,变,化的一簇平行直线,z,是直线在,x,-4,y,-3,3,x,+5,y,25,x,1.,y,轴上的截距，当直线截距最大时,z,的值最大.当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数,z,=2,x,+,y,取得最大值；当直线截距最小时，,z,的值最小，即在满足约束条件时目标函数,z,=2,x,+,y,取得最小值.,由图可见，当直线,z,=2,x,+,y,经过可行域上的点,A,时，截距最大，即,z,最大.,解方程组 得,A,的坐标为(5,2).,z,max,=25+2=12.,当直线,z,=2,x,+,y,经过可行域上的点,B,时，截距最小，即,z,最小.,解方程组 得,B,的坐标为(1,1).,z,min,=2,x,+,y,=21+1=3.,x,-4,y,+3=0，,3,x,+5,y,-25=0，,x,-4,y,+3=0，,x,=1，,返回目录,返回目录,学点二 简洁的线性规划的实际问题的求解方法,甲、乙两铁矿的年产量分别为200万吨和100万吨.两矿生产的铁需经东、西两个车站运往外地.假设东、西两车站分别最多只能接收160万吨，甲、乙两矿运往东、西两车站的运输价格如下表所示，问如何安排运输方案能使运输费用最低.,甲,20,18,乙,15,10,西站,车站,价,1,元,格,铁 矿,东站,【分析】此题是信息量较大的实际应用问题，需合理选择设元，准确建立目标函数，全面排列条件，借助线性规划问题求解的常用模式解决.,返回目录,【解析】,设甲铁矿运往东站,x,万吨，则运往西站为(200-,x,)万吨；乙铁矿运往东站为,y,万吨，则运往西站为(100-,y,)万吨.设总运输费用为,z,元.,依题意，知,x,+,y,160，,200-,x,+100-,y,160，,x,0，,y,0，,返回目录,图3-4-3,即,且,z,=20,x,+15,y,+18(200-,x,)+10(100-,y,)=4 600+2,x,+5,y,.,令,t,=2,x,+5,y,，作可行域如图3-4-3所示.,作与2,x,+5,y,=0平行的直线,l,:2,x,+5,y,=t,即,，则当,l,过点(140,0)时,t,值最小，即,当,x,=140,y,=0时，,t,min,=2140+5,0=280.,z,min,=4 600+280=4 880元，,当甲铁矿运往东站140万吨,西站60万吨；乙铁矿全部运往西站100万吨时，总运输费用最低.,x,+,y,160，,x,+,y,140，,x,0，,y,0.,【评析】解决实际问题要深入其境，既要考虑涉及数学方面的约束条件，又要留意约束条件的实际意义.解答线性规划应用问题的常用步骤是：,1依据实际问题的约束条件列出不等式组；2作出可行域，写出目标函数；3借图确定目标函数的最优解.,返回目录,返回目录,某工厂生产甲、乙两种产品，生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力、获得利润及每天资源限额最大供给量如下表所示：,求该工厂合理安排生产后，每天可获得的最大利润.,甲产品,（每吨）,乙产品,（每吨）,资源限额,（每天）,煤(t),9,4,360,电力(kWh),4,5,200,劳动力(个),3,10,300,利润(万元),6,12,产品,消,耗,量,资源,解:此工厂应分别生产甲、乙两种产品,x,吨、,y,吨，获得利润,z,万元.,依题意知约束条件：作出可行域如图所示,利润目标函数,z,=6,x,+12,y,.由几何,意义知当直线,l,:,z=6x+12y,经过可行,域上的点,M,时，,z,=6,x,+12,y,取最大值，,解方程组 ,得,M,（20，24）,即生产甲种产品,20吨，乙种产品24吨，才能使此工厂获得最大利润,z,=6,20+1224=408万元.,9,x,+4,y,360，,4,x,+5,y,200，,3,x,+10,y,300，,x,0，,y,0，,3,x,+10,y,=300,4,x,+5,y,=200,返回目录,返回目录,学点三查找整点最优解的方法,【分析】依据题意，布列约束条件与目标函数.,要将两种大小不同的钢板截成,A,，,B,，,C,三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：,今需要,A,，,B,，,C,三种规格的成品分别为15，18，27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格的成品，且使所用的钢板张数最少.,A,规格,B,规格,C,规格,第一种钢板,2,1,2,第二种钢板,1,2,3,规格类型,钢板类型,返回目录,【解析】,解法一：建模：设需截第一种钢板,x,张，第二种钢板,y,张.,可得 且,x,y,都是整数，,求目标函数,z,=,x,+,y,取最小值时的,x,y,.,作可行域，如图3-4-4所示，平移,直线,z,=,x,+,y,可知直线经过点,时,z,取最小值.此时,x,+,y,=,但,与,都不是整数，所以可行域内点,不是最优解.如何求整点最优解呢？,首先在可行域内打网格，其次找出,A,附近的所有整点，接着平移直线,l,:,x,+,y,=0，会发现当移至,B,（3,9），,C,2,x,+,y,15，,x,+2,y,18，,2,x,+3,y,27，,x,0,y,0，,图3-4-4,返回目录,（4，8）时，直线与原点的距离最近，即,z,的最小值为12.,解法二：特值验证法,由解法一知，目标函数取得最小值的整点应分布在可行域的左下侧靠近边界的整点，依次取满足条件的整点,A,0,(0,15),A,1,(1,13),A,2,(2,11),A,3,(3,9),A,4,(4,8),A,5,(5,8),A,6,(6,7),A,7,(7,7),A,8,(8,7),A,9,(9,6),A,10,(10,6),，,A,27,(27,0).,将这些点的坐标分别代入,z,=,x,+,y,，求出各个对应值，经验证可知，在整点,A,3,（3,9）和,A,4,（4,8）处z取得最小值.,解法三：调整优值法,由非整点最优解 知，,z,=.,z,12，令,x,+,y,=12,则,y,=12-,x,，代入约束条件整理，3,x,.,x,=3,x,=4，这时最优整点为（3，9）和（4，8）.,【评析】查找整点的方法：,1平移找解法：先打网格，做整点，平移直线l，最先经过或最终经过的整点便是最优整点解，这种方法应充分利用非整数最优解的信息，结合准确的作图才行，当可行域是有限区域且整点个数又较小时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解.,2调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程的学问调整最优值，最终筛选出整点最优解.,3由于作图有误差，有时仅由图形不愿定就能准确而快速地找出最优解，此时可将可能的数逐一检验即可分晓.,返回目录,返回目录,假设你要开一家卖T恤和运动鞋的小商店，由于店面和资金有限，在你经营时会受到如下限制：你最多能进50件T恤；你最多能进30双运动鞋；你至少需要T恤和运动鞋共40件才能维持经营；进货价：T恤每件36元，运动鞋每双48元.现在你有2 400元资金，假设每件T恤的利润是18元，每双运动鞋的利润是20元，问：如何进货可以使你获利最大？,解：,设进T 恤,x,件，运动鞋,y,双，则有,x,50,y,30,x,y,N,*,，,x,+,y,40，,36,x,+48,y,2 400，,其目标函数为z=18x+20y.,作出它的可行域如以以下图，由图可知：,当x=50且y=12.5时，z取得,最大值1 150.,但x,yN*,(50,12.5)不是最优解.,则在可行域内，假设调整纵,坐标，与它最接近的整点为,(50,12)，则z=1850+2012=1 140；假设横坐标和纵坐标都调整，即(49,13)，则z=1 142；再调整得(48,14),则z=1 144；再调整，则整点(47,15)不在可行域内.,故T恤进48件，运动鞋进14双，其利润最大.,返回目录,返回目录,学点四与解析几何中斜率、距离的联系,【分析】由于此题的目标函数不是一次函数，所以它不是线性规划问题，但可以利用z的几何意义，用类似于线性规划的图解法解问题.,变量,x,y,满足 设,z,=,求,z,的最大值与最小值.,x,-4,y,+30,3,x,+5,y,-250,x,1,【解析】,由约束条件,x,-4,y,+30,3,x,+5,y,-250,作出点（,x,y,）,x,1,的可行域（如图3-4-5）.,图3-4-5,返回目录,z,=,z,的值即是可行域中的点与,O,（0,0）点连线的斜率，观察图形可知：,z,max,=,k,AO,z,min,=,k,BO,.,由,解得,A,，,k,AO,=,.,由,解得,B,（5，2），,k,BO,=,.,故,z,max,=,z,min,=,.,x,=1,3,x,+5,y,-25=0,x,-4,y,+3=0,3,x,+5,y,-25=0，,【评析】,直接求 的最值无从下手，解决这类问题的关键是利用图形的直观性，这就需要：第一，要准确作出可行域；第二，要抓住目标函数,z,=,f,(,x,y,)中,z,的几何意义.,如,z,=,中的,z,的几何意义就是点,A,（,x,y,）与原点连线的斜率，当求与之相关的最值问题时，就要观察图中斜率的变化情况.,z,=,中,z,的几何意义为：点,A,（,x,y,）与点,B,（,x,1,y,