单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,数列的概念,收敛数列的性质,数列极限的概念,概念的引入,第二节 数列的极限,第一章 函数与极限,子列及其极限,小结 思考题 作业,1,数列的概念收敛数列的性质数列极限的概念概念的引入第二节 数,一、概念的引入,极限概念是从常量到变量,从有限到无限,即从初等数学过渡到高等数学的关键.,极限的思想源远流长.,庄子(约公元前355275年)在天下篇,“一尺之棰,日取其半,万世不竭”.,意思是:,一尺长的棍子,第一天取其一半,第二,天取其剩下的一半,以后每天都取其剩下的一,半,这样永远也取不完.,数列的极限,中写道:,2,一、概念的引入 极限概念是从常量到变量,从,刘徽(三世纪)的,“割圆术”,中说:,意思是:,设给定半径为1尺的圆,从圆内接正6边,形开始,每次把边数加倍,屡次用勾股定理.,求出,正12边形、,等等正多边形的边长,正24边形.,边数越多,圆内接正多边形越与圆接近,最后与,圆周重合,则正多边形周长与圆周长就没有误,差了.,数列的极限,“割之弥细,所失弥少.割之又割,以至不可割,则与圆周合体,而无所失矣.”,3,刘徽(三世纪)的“割圆术”中说:意思是:设给定半径为1尺的圆,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,数列的极限,4,正六边形的面积正十二边形的面积正 形,简记为,数列的极限,二、整标函数与数列,定义1,定义在正整数集上的函数,称为,整标函数,记为,对应函数值的排列,称为,数列,定义2,当n依次取1,2,3,等一切正整数时,通项(general,term),或者,一般项.,(sequence of number),5,简记为数列的极限二、整标函数与数列定义1定义在正整数集上的函,如,数列的极限,6,如数列的极限6,可看作一动点在数轴上依次取,数列的,(两种),几何表示法:,数列可看作自变量为正整数,n,的函数:,整标函数,或,下标函数,(1)数列对应着,数轴上一个点列.,数列的极限,7,可看作一动点在数轴上依次取数列的(两种)几何表示法:数列可看,(2),在平面上,画出自变量坐标轴和因变量坐标轴,注,不可将这串点连成曲线.,o,n,x,n,1 2 3 4,则数列的几何意义是,数列的极限,平面上,一串分离,的点,.,8,(2)在平面上画出自变量坐标轴和因变量坐标轴,注 不可将,数列是一种特殊的函数,也有有界性和单调性,定义3,则称数列,为,有界数列,否则为,无界数列,.,如,有界,无界,数列的极限,9,数列是一种特殊的函数,也有有界性和单调性定义3则称数列为有界,定义4,则称数列,为,单调增数列,.,如,则称数列,为,单调减数列,.,如,数列的极限,10,定义4则称数列为单调增数列.如则称数列为单调减数列.如数列,注意:,1.凡是讲数列,都有无穷多项.,2.数列是一种特殊的函数.,3.数列与数集是不同的(数集中元素互不相同).,数列的极限,11,注意:1.凡是讲数列,都有无穷多项.2.数列是一种特,三、数列的极限,1.引例,求由抛物线,所围成的图形面积.,(1)分割:n等分,得到n个小区间:,(2)代替:,小矩形面积为,数列的极限,12,三、数列的极限1.引例求由抛物线所围成的图形面积.(1),(3)求和:,问题,当,无限增大,时,是否,无限接近,于某一确定的数值?,如果是,如何确定?,数列的极限,13,(3)求和:问题当 无限增大时,是否无限,问:,?,?,?,数列的极限,14,问:?数列的极限14,定义5,数列极限的,定义,如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),总存在正数,N,则称数列,收敛,极限为,记作,或,如果数列没有极限,就说数列,发散(diverge),.,数列的极限,15,定义5数列极限的定义如果对于任意给定的正数 (不论它多么,注,但是一旦给出之后,它就是确定了;,说明数列从某项开始,后面所有的项均与A,接近到任意给定的程度.,一般地说,数列的极限,16,注但是一旦给出之后,它就是确定了;说明数列从某项开始,后面所,(3),u,n,有没有极限,“前面”的有限项不起作用,主要看“后面”的无穷多项.,定义,采用,逻辑符号,将,的定义可缩写为:,数列的极限,17,(3)u n有没有极限,“前面”的有限项不起作用,主,数列极限的几何意义,数列的极限,即,注,数列极限的定义通常是用来进行推理,和证明极限,而不是用来求极限,因为这里,需要预先知道极限值是多少.,18,数列极限的几何意义数列的极限即注数列极限的定义通常是用来进行,例1,证,虽然是可以任意小的正数,但使用定义证题时,对于给定的 总暂时认为它是固定的,按照这个 找出使不等式成立的,N,.,数列的极限,因为,解不等式,所以,19,例1证 虽然是可以任意小的正数,但使用定义证,例2,证,令,数列的极限,解得,所以,20,例2证令数列的极限解得所以20,例3,数列的极限,例4 证明:,提示:,总结:,21,例3 数列的极限例4 证明:提示:总结:21,定理1(,极限的唯一性,),证,由定义,故收敛数列极限唯一.,数列的极限,才能成立.,使得,四、,收敛数列的性质,22,定理1(极限的唯一性)证由定义,故收敛数列极限唯一.数列的极,定理2(,收敛数列的有界性,),证,由定义,有界性是数列收敛的必要条件,推论,注,收敛,的数列必定有界,.,数列的极限,无界数列必定发散,.,不是充分条件.,23,定理2(收敛数列的有界性)证由定义,有界性是数列收敛的必要条,例5,证,区间长度为1.,不可能同时位于,长度为1,的区间内.,数列的极限,反证法,假设数列,收敛,，,则有唯一极限,a,存在.,但却发散.,24,例5证区间长度为1.不可能同时位于长度为1的区间内.数列的极,数列的极限,定理3(,保号性,),如果,且,证,由定义,对,有,从而,25,数列的极限定理3(保号性)如果且证由定义,对有 从而25,推论1,如果,且,推论2,如果,且,则,当,时,有,推论3,如果,且,则,当,时,有,推论4,如果数列,从某项起有,且,那么,用反证法,问:,数列的极限,26,推论1如果且推论2如果且则当时,有推论3如果且则当时,有推论,在数列 中依次任意抽出,无穷,多项:,所构成的新数列,这里 是原数列中的第 项,在子数列中是,第,k,项,子数列.,叫做数列,数列的极限,?,注意,五、,子列,(subsequence),27,在数列 中依次任意抽出无穷多项:所构成的新数列这,*,证,是数列,的任一子数列.,若,则,成立.,现取正整数,K,使,于是当,时,有,从而有,由此证明,*,*,*,*,*,*,*,*,*,*,*,定理4,设数列,数列的极限,正整数,K,收敛数列的任一子数列,收敛于同一极限.,28,*证是数列的任一子数,由此定理可知,但若已知一个子数列发散,或有两个子数列,敛于,a.,收敛于不同的极限值,可断定原数列是发散的.,数列的极限,一般不能断定原数列的收敛性;,还可以证明:,数列,的奇子数列,和偶子数列,均收敛于同一常数,a,时,则数列,也收,仅从某一个子数列的收敛,(证明留给做作业),29,由此定理可知,但若已知一个子数列发散,或有两,例6,试证数列 不收敛.,证,因为 的奇子数列,数列的极限,收敛于,而偶子数列,收敛于,所以数列,不收敛.,30,例6试证数列 不收敛.证因为,问:,与,是否一回事?,例,证明数列,发散.,数列的极限,31,问:与是否一回事?例证明数列发散.数列的极限31,数列,数列极限,收敛数列的性质,收敛数列与其子数列间的关系.,五、小结,数列的极限,研究其变化规律;,极限思想,精确定义,几何意义;,有界性,唯一性,保号性,32,数列数列极限收敛数列的性质收敛数列与其子数列间的关系.五、小,数列的极限,思考题,“,”,恒有,是数列,收敛于,a,的().,A.,充分但非必要条件,B.,必要但非充分条件,C.,充分必要条件,D.,既非充分也非必要条件,(1),C,(2),D.,不确定,33,数列的极限思考题“”恒有是数列收敛于a的(,