单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二节,正项级数及其审敛法,常数项级数的审敛法,(,一,),机动 目录 上页 下页 返回 结束,第,8,章,一、正项级数及其审敛法,若,定理,1,.,正项级数,收敛,部分和,序列,有界,.,若,收敛,部分和数列,有界,故,从而,又已知,故有界,.,则称,为,正项级数,.,单调递增,收敛,也收敛,.,证,:,“”,“”,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理,2,(,比较审敛法,),证明,即部分和数列有界,小发大发,大收小收,机动 目录 上页 下页 返回 结束,不是有界数列,定理证毕,.,比较审敛法的不便,:,须有参考级数,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,由图可知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,重要参考级数,:,几何级数,P-,级数,调和级数,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证明,小发则大发,定理,3.,比较审敛法的极限形式,:,设,=,1,n,n,u,与,=,1,n,n,v,都是正项级数,如果,则,(1),当,时,二级数有相同的敛散性,;,(2),当,时，若,收敛,则,收敛,;,(3),当,时,若,=,1,n,n,v,发散,则,=,1,n,n,u,发散,;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证明,由比较审敛法的推论,得证,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的敛散性,.,例,3.,判别级数,的敛散性,.,解,:,根据比较审敛法的极限形式知,例,4.,判别级数,解,:,根据比较审敛法的极限形式知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,故原级数收敛.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证明,机动 目录 上页 下页 返回 结束,收敛,发散,机动 目录 上页 下页 返回 结束,比值审敛法的优点,:,不必找参考级数,.,两点注意,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,5.,讨论级数,的敛散性,.,解,:,根据定理,4,可知,:,级数收敛,;,级数发散,;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,比值审敛法失效,改用比较审敛法,对任意给定的正数,定理,5.,根值审敛法,(Cauchy,判别法,),设,为正项级,则,证明提示,:,即,分别利用上述不等式的左,右部分,可推出结论正确,.,数,且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,时,级数可能收敛也可能发散,.,例如,p,级数,说明,:,但,级数收敛,;,级数发散,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,6.,证明级数,收敛于,S,似代替和,S,时所产生的误差,.,解,:,由定理,5,可知该级数收敛,.,令,则所求误差为,并估计以部分和,S,n,近,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1.,利用部分和数列的极限判别级数的敛散性,2.,利用正项级数审敛法,必要条件,不满足,发 散,满足,比值审敛法,根值审敛法,收 敛,发 散,不定,比较审敛法,用它法判别,积分判别法,部分和极限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,设正项级数,收敛,能否推出,收敛,?,提示,:,由比较判敛法可知,收敛,.,注意,:,反之不成立,.,例如,收敛,发散,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,