单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,例,1,（价格矩阵）四种商品在三家商店中，单位量的售价,这里的行表示商店，列表示商品,a,i j,表示每生产一万元第,j,类产品需要消耗的第,a,23,=,0.20,就表示每生产一万元,第,3,类产品需要消耗掉,0.20,万元,例,2,（投入,产出矩阵）设某地区有,3,个经济部门，假定每个,（以某种货币单位计）可以用以下矩阵表示：,部门只生产一类产品，每个部门生产的产品与消耗的商品都用,货币来表示,i,类产品的价值,的第,2,类产品的价值,例（通路矩阵）甲省两个城市,s,1,s,2,与乙省三个城市,t,1,t,2,s,1,s,2,t,1,t,2,t,3,4,1,3,2,2,每条线上的数字表示连接该两,s,1,s,2,t,1,t,2,t,3,同型矩阵,.,矩阵,A,与,B,相等,记成,A,=,B,.,零矩阵,记成,0,.,城市的不同通路的总数以由此得到,的通路信息，可用矩阵表示为：,t,3,的交通连接情况如下图所示，,2,矩阵的运算,一 矩阵的加法,定义,2,设,A,=(,a,ij,),B,=(,b,ij,),都是,m,n,矩阵,矩阵,A,与,B,的和,例,1,记成,A,+,B,规定为,矩阵的加法运算满足规律,2.(,A+B,)+,C=A,+(,B+C,)(,结合律,),3.,A+0=A,4.,设,A,=(,a,ij,),记,A,=(,a,ij,),规定,A,B=A,+(,B,),二 数与矩阵的乘法,定义,3,规定为,称,A,为,A,的负矩阵,1.,A+B=B+A,(,交换律,),易知,A,+(,A,)=,0,例,2,若,那么,3A,=,A3,数乘矩阵的运算满足规律：,A,B,为矩阵,.,三 矩阵与矩阵的乘法,定义,4,设,A,=(,a,ij,),是一个,m,s,矩阵,B,=(,b,ij,),是一个,s,n,A,与,B,的乘积记成,AB,，即,C=AB.,规定,A,与,B,的积为一个,m,n,矩阵,C,=(,c,ij,),，,其中,A B =AB,m,s s,n,m,n,矩阵,例,3,例,4,例,5,例,6,一般来说，,AB,BA,若矩阵,A,、,B,满足,AB,=,0,n,阶矩阵,称为,单位矩阵,.,如果,A,为,m,n,矩阵，那么,即矩阵的乘法不满足交换律,.,未必有,A,=,0,或,B,=,0,的结论,.,n,阶矩阵,称为对角矩阵,.,两个对角矩阵的和是对角矩阵，,两个对角矩阵的积也是对角矩阵,.,矩阵的乘法满足下述运算规律,解,1,解,2,矩阵的幂,A,是一个,n,阶矩阵,k,是一个正整数,规定,矩阵的幂满足规律,其中,k,l,为正整数,.,对于两个,n,阶矩阵,A,与,B,，一般说,例,8,解一,解二,例,10,已知线性方程组,如果记,那么上述线性方程组可记成,于是,四 矩阵的转置,定义,5,将矩阵,A,的各行变成同序数的列得到的矩阵称为,A,矩阵的转置满足下述运算规律,记为,A,T,.,的转置矩阵,解一 因为,所以,解二,矩阵,A,称为对称矩阵，,容易知道,A=,(,a,ij,),nn,是对称矩阵的充要条件是,例,13,如果,A,是一个,n,阶矩阵，那么，,A+A,是对称矩阵,i,j=1,2,n.,矩阵,A,称为反对称矩阵，,如果,A,T,=A,.,如果,A,T,=,A,.,矩阵,A=,(,a,ij,),nn,是反对称矩阵的充要条件是,a,ij,=,a,ji,证 因为,A,A,是反对称矩阵,所以,A+A,是对称矩阵,a,ij,=a,ji,i,j=1,2,n.,因为,所以,A,A,是反对称矩阵,例,14,设,A,为,mn,矩阵,证 由矩阵的乘法可知,AA,是,m,阶的,.,所以,AA,是对称矩阵,.,1.,证明,H,为对称矩阵,.,1.,证 因为,所以,H,为对称矩阵,.,因为,2.,计算,H,2,.,=,E.,方阵的行列式运算满足下述规律，,例,16,设,A,是,n,阶矩阵，,称为矩阵,A,的伴随矩阵,.,式,A,ij,所构成的矩阵,五 方阵的行列式,定义,6,由,n,阶矩阵,A,的元素（按原来的位置）构成的行列式，,称为方阵,A,的行列式,证明,由行列式,|,A,|,的各元素的代数余子,那么,于是,2.,设,A,为,3,阶矩阵,那么,于是,先就,3,阶矩阵给出证明,.,证 设,于是有,因此,同理可证，,=,0,=,0,=,0,证 设,A=,(,a,i j,),nn,也就是,于是有,因此,同理可证,，,3,逆矩阵,定义,7,设,A,是,n,阶矩阵，如果有,n,阶矩阵,B,，使,如果矩阵,A,是可逆的，则,A,的逆矩阵是唯一的，记其为,A,-1,.,定理,1,若矩阵,A,是可逆的，,证 因为,A,可逆，,定理,2,若,|,A,|,0,，,则,A,可逆,且,则称,A,是可逆矩阵，,且称,B,为,A,的逆矩阵,.,AB=BA=E,即有,A,-1,使,A A,-1,=E,.,所以,|,A,|,0,.,则,|,A,|,0,.,证 由,2,的,例,16,可知,根据逆矩阵的定义，即有,所以有,因为,|,A,|,0,，,设,A,是,n,阶矩阵，如果,|,A,|,0,那么,A,称为非奇异矩阵,.,A,是可逆矩阵的充分必要条件是,|,A,|,0,A,是可逆矩阵的充分必要条件是,A,为非奇异的,例,1,判断下列矩阵,是否为可逆矩阵？,推论,设,A,B,都为,n,阶矩阵,于是,则,A,为可逆矩阵，,若,AB=E,（或,B A=E,），,所以,|,A,|,0,，,解 因为,所以,A,为可逆矩阵，,B,是不可逆矩阵,证 因为,|,A,|,B,|=|,AB,|=|,E,|=,1,例,2,因为,所以,方阵的逆矩阵满足下述运算规律,：,因为,因为,3.,设,A,B,为同阶可逆矩阵,则,AB,也可逆，且,3.,设,A,B,为同阶可逆矩阵,例,3,求矩阵,的逆矩阵,.,解 由,知,A,的逆矩阵,A,-1,存在,.,4.,设,A,为可逆矩阵,因为,再由,得,例,4,已知,求矩阵,X,满足,AX=C.,解 由例,3,知,A,-1,存在，于是,得,X=A,-1,C,，即,4,矩阵的分块法,子块,用分块法计算矩阵,A,与,B,的乘积,左矩阵,A,的列的分法与右,解 把,A,，,B,分块成,其运算规则与普通矩阵的运算规则类似,.,矩阵,B,的行的分法一致,.,分块矩阵,分块法计算矩阵 的乘积,则,其中,而,所以,分块矩阵的转置,设分块矩阵,那么,分块矩阵,其中,A,i,都是方阵，,则,A,是可逆矩阵，并有,称为分块对角矩阵,解 用分块法,.,令,可得,例,3,设,B,为,n,阶矩阵，若把按,B,列分块为,则,于是,若,A,也是,n,阶矩阵,便有,AB,=,