Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,11/7/2009,#,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,西安理工大学应用数学系,西安理工大学应用数学系,第四章格林函数法,第一页，共29页。,调和函数：,1 拉普拉斯（Laplace）方程的基本解,4.1 格林（Green）公式及其应用,具有二阶连续偏导数的调和方程的连续解；或满足Laplace方程的函数。,三维Laplace方程的基本解：,特点：除 点外，任一点满足Laplace方程。,同学们自己验证。,第二页，共29页。,二维Laplace方程的基本解：,特点：除 点外，任一点满足Laplace方程。,同学们自己验证。,问题：基本解是否为整个区域内的解？,2 Green公式,（1）奥高公式（高斯公式）：设 是有界区域，是其边界曲面且足够光滑，在 上连续，在 内有连续偏导数，则,第三页，共29页。,推导：令,其中 是 的外法线方向。,（2）第一Green公式：设 是有界区域，是其边界曲面且足够光滑，及其一阶偏导数在 上连续，在 内有二阶连续偏导数，则,代入高斯公式，并注意方向导数公式即可得。,第四页，共29页。,（2）第二Green公式：设 是有界区域，是其边界曲面且足够光滑，及其一阶偏导数在 上连续，在 内有二阶连续偏导数，则,推导：由第一Green公式，有,两式相减即可得。,第五页，共29页。,3 调和函数的积分表达式,意义,：调和函数在 内任一点的函数值可用其边界上的函数值及其法向导数值表示。,定理,：设 在有界区域 内为调和函数，且在 上有一阶连续偏导数，则 ，有,证明：,如图作球,取,则 和 在 内均为调和函数，由第二Green公式有,第六页，共29页。,在 上（其外法线方向如何？）,于是,第七页，共29页。,代入上式，得,令 ，则,从而得证,第八页，共29页。,第二十七页，共29页。,令 ，则,取 均为区域 内的调和函数，且在 上有一阶连续的偏导数，则由第二Green公式，有,第二十八页，共29页。,设 和 均为该问题的解，则 满足,这种获得的方法称为静电源象法（镜象法）,3 调和函数的积分表达式,推论3：对狄利克莱问题,推论3：对狄利克莱问题,由调和函数的积分表达式，其解可以表示成,选 ，使 ，则（3）式变成,（2）第二Green公式：设 是有界区域，是其边界曲面且足够光滑，及其一阶偏导数在 上连续，在 内有二阶连续偏导数，则,（2）第二Green公式：设 是有界区域，是其边界曲面且足够光滑，及其一阶偏导数在 上连续，在 内有二阶连续偏导数，则,特点：除 点外，任一点满足Laplace方程。,在上面的分析中，我们要求 应满足,格林函数表示了球域内的电场分布，下面给出电场电力线图（my1）,4 调和函数的基本性质,性质1,：设 在有界区域 内为调和函数，且在 上有一阶连续偏导数，则,证：令,将 代入第二Green公式即可。,推论1：诺伊曼问题,有解的必要条件是,同学们考虑为什么？,第九页，共29页。,性质2（平均值定理）,：设 在有界区域 内为调和函数，是以 为球心，以 为半径的球面，则有,意义：球平均值,证明：将调和函数积分表达式用于此球面上，有,而,为什么？,第十页，共29页。,于是,为什么？,性质3（极值原理）,：若 在有界区域 内为调和函数，在 上连续，且不为常数，则其最大值、最小值只能在边界 上 达到。,推论1,：设 在有界区域 内为调和函数，在 上连续，若在 上 有 ，则在 内也有,证明从略,第十一页，共29页。,证明：用反证法,若在 内有 ，即 ，而在边界上 ，说明 在内部可能取最大值。,推论2：狄利克莱问题,的解唯一。,证明：,设 和 均为该问题的解，则 满足,由极值原理，,第十二页，共29页。,推论3：对狄利克莱问题,有,第十三页，共29页。,1 Green函数的引入,4.2 格林（Green）函数,对狄利克莱问题,由调和函数的积分表达式，其解可以表示成,（1）,第十四页，共29页。,（1）式（2）式，得,为此，引入Green函数的概念。,但在边界上，未知，不能用上述公式求解，必须消去,取 均为区域 内的调和函数，且在 上有一阶连续的偏导数，则由第二Green公式，有,（2）,（3）,（1）,第十五页，共29页。,令,选 ，使 ，则（3）式变成,（4）,则（4）式表示为,（5）,于是狄利克莱问题的解可表示为,称为Green函数,称为Green函数法,第十六页，共29页。,在上面的分析中，我们要求 应满足,问题：Green函数 如何构造？即 如何构造？,这又是一个狄利克莱问题。如何求解？,第十七页，共29页。,2 Green函数的静电学意义,设在 处有一个单位点电荷，则其在空间任一点 处所产生的电场电位为,其中 表示导电面上感应电荷所产生的电位。,若在 点的点电荷是包围在一个封闭的导电面内，而这个导电面又是接地的，此时在导电面上的电位恒等于零，在导电面内任一点 的电位由两部分组成：,M,（该函数结构即是Green函数）,第十八页，共29页。,可见只要将 确定了，则 也就确定了。,如何确定呢？根据,Green,函数的结构，必须满足,我们采用如下方法获得,假设区域外也有一个点电荷（不一定单位电荷），它对自由空间的电场也产生一个电位。设这两个点电荷所产生的电位在导电面上恰好抵消，则这个假想的点电荷在区域内电位就等于感应电荷所产生的电位，这样就得到了。,这种获得的方法称为静电源象法（镜象法）,第十九页，共29页。,那么，这个假想的点电荷应在区域外的什么位置，所带电量又如何呢？,这个点应是关于边界曲面的对称点。但是，对一般区域而言，这个对称点并不易得到。下面看两个特殊问题。,1 半空间上Green函数及狄利克莱问题的解,4.格林（Green）函数的应用,如我们研究上半空间,用静电源象法求其Green函数：,在关于边界曲面的对称点为,在放置一单位负电荷，则它们所形成的静电场的电位在边,界上恰好为零。,为什么？,第二十页，共29页。,对狄利克莱问题,则其用Green函数表示的解为：,因此上半空间的Green函数为：,又为什么？,而在该边界上有,为什么？,第二十一页，共29页。,从而,注：,第二十二页，共29页。,例1 求解下列定解问题,解：,对称点为,故其Green函数为,该问题的解为,第二十三页，共29页。,球域上的Green函数及狄利克莱问题的解,用静电源象法求其Green函数：,我们采用下面的方法找关于边界球面的对称点：如图,设球域为,在半射线上截线段，使,采用下面的方法找电荷所带,电量（应使球面上的电位为零）：,作三角形如图,第二十四页，共29页。,应使球面上的电位为零，必有,将距离关系式代入，可得,于是球域上的Green函数为,第二十五页，共29页。,对狄利克莱问题,其用Green函数表示的解为：,该Green函数又可表示为：,其中如图所示。,注意：这时在球体内,第二十六页，共29页。,这时,为什么？,故该问题的解为：,在球面坐标下,第二十七页，共29页。,球面坐标公式：,格林函数表示了球域内的电场分布，下面给出电场电力线图（my1）,第二十八页，共29页。,球域内点电荷的电场,第二十九页，共29页。,