单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第九章 空间向量专题复习,第九章 空间向量专题复习,一复习回顾,1,平行六面体法则,2.,共线向量,:,(1),定义,:,如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量,(,或平行向量,),记作,一复习回顾1 平行六面体法则2.共线向量:,(2),共线向量定理,:,对于空间任意两个向量,a,、,b,(,b,=0),a,/,b,的充要条件是存在实数,使,a,=,b,.,(3),推论,：,如果,l,为经过已知点,A,且平行于已知非零向量,a,的直线，那么对任一点,O,，点,P,在直线,l,上的充要条件是存在实数,t,，满足等式,OP=OA+t,a,.(1),其中向量,a,叫做直线,l,的方向向量,.,a,P,B,OP=(1-t)OA+t OB.(2),说明,:,(1),(2),都叫做空间直线的向量参数表示式,.,OP,、,OA,、,OB.,的终点共线的充要条件是存在实数,m,、,n,，且,m+n=1,，使得,OP =mOA+nOB.(3),(2)共线向量定理:(3)推论：如果l为经过已知点A且平行于,3,共面向量定理：,推论,:,空间一点,P,位于平面,MAB,内的充分必要条件是存在有序,实数对,x,、,y,，使,MP=xMA+yMB 1,或对空间任一定点,O,，有,OP =OM+xMA+yMB.2,对空间任意一点,O,和不共线的三点,A,、,B,、,C,，,OP=xOA+yOB+zOC,（其中,x+y+z=1,）,四点,P,、,A,、,B,、,C,共面,。,3,一复习回顾,3 共面向量定理：推论:空间一点P位于平面MAB内的充分必要,4,空间向量基本定理：,如果三个向量,a,、,b,、,c,不共面，那么对空间任一向量,p,，存在一个唯一的有序实数组,x,，,y,，,z,，使,p,xa,yb,zc,。,任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底，零向量的表示唯一。,C,O,A,B,B,1,A,1,P,1,P,一复习回顾,4空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空,（,1,）,（,2,）,（,3,）,5,空间两个向量的数量积,（1）（2）（3）5 空间两个向量的数量积,数量积的运算律,（,1,）,（,2,）,（,3,）,数量积的运算律（1）（2）（3）,6,、向量的直角坐标运算,.,设,则,6、向量的直角坐标运算.设则,(1),夹角、,7,空间向量的夹角和距离公式,(1)夹角、7空间向量的夹角和距离公式,(2),空间两点间的距离公式、,(2)空间两点间的距离公式、,学习目标,：,1,掌握空间向量有关概念、运算及定理、推论。,2,掌握计算向量的长度、有关角，正确求两点间的距离,3,学会判断两直线（向量）的位置关系（平行、垂直）,学习目标：,A,B,C,D,A,1,B,1,C,1,D,1,E,1,F,1,X,Y,Z,解析：,不妨设正方体的棱长为,1,；以,D,为原点,O,建立空间直角坐标系,O-XYZ,O,例,1,：在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，,B,1,E,1,=D,1,F,1,=,求,BE,1,与,DF,1,所成的角的余弦值,二知识运用与研究,ABCDA1B1C1D1E1F1XYZ解析：不妨设正方体的棱,解：不妨设正方体的边长为,1,，建立空间直角坐标系,O,xyz,，则,A,B,C,D,A,1,B,1,C,1,D,1,E,1,F,1,X,Y,Z,B(1,，,1,，,0),，,E,1,(1,，,3,4,，,1),，,D(0,，,0,，,0),，,F,1,(0,，,1/4,，,1),BE,1,=(0,，,-1,4,，,1),，,DF,1,=(0,，,1/4,，,1),BE,1,=17,4,DF,1,=17,4,BE,1,DF,1,=15,16,cos,BE,1,，,DF,1,=,BE,1,DF,1,BE,1,DF,1,=15,17,解：不妨设正方体的边长为1，建立空间直角坐标系Oxyz，则,A,B,C,D,2,已知在一个二面角,的,棱,l,上有两个点,A,B,，,线段,AC BD,分 别在这个二面角的两个面内,，,且,AC,l,，,BD,l,AB=4cm,，,AC,=,6cm,，,BD,=,8cm,CD,=2,17,求异面直线,AC,、,BD,所成角,(217),2,=6,2,+4,2,+8,2,+26 8cos,CA,，,BD,cos,CA,，,BD,=120,0,所求角为,60,0,ABCD2已知在一个二面角的棱l上有两个点A,B，线段AC,例,4.,已知在平行六面体,ABCD-ABCD,中,AB=4,AD=3,AA=5,A,B,C,D,A,B,C,D,解 ,AC,=AB+AD+AA,AC,2,=(AB+AD+AA,),2,=AB,2,+AD,2,+AA,2,+2(AB,AD+AB,AA,+ADAA),=4,2,+3,2,+5,2,+2(0+10+7.5),=85,AC=85,例4.已知在平行六面体ABCD-ABCD中,AB=4,A,B,C,D,A,1,B,1,C,1,D,1,例,3,已知 正方形,ABCD,求证,CA,1,平面,AB,1,D,1,证明 连结,A,1,C,1,CC,1,平面,A,1,B,1,C,1,D,1,B,1,D,1,A,1,C,1,A,1,CB,1,D,1,同理可证,A,1,CAD,1,B,1,D,1,AD,1,=D,1,CA,1,平面,AB,1,D,1,X,y,Z,ABCDA1B1C1D1例3 已知 正方形ABCD证明 连结,A,B,C,D,D,1,已知线段,AB,在平面,内，线段,AC,，,线段,BDAB,，,线段,DD,，,DBD,1,=30,0,如果,AB=a,，,AC=BD=b,求,C,、,D,间的距离,解 由已知有,ACAB =120,0,CD,2,=CD,CD=(CA+AB+BD),2,=CA,2,+AB,2,+BD,2,+2CA,AB+2CA,BD+2AB,BD,=b,2,+a,2,+b,2,+2b,2,cos120,0,=a,2,+b,2,CD=,a,2,+b,2,三 练习反馈,ABCDD1 已知线段AB在平面内，线段AC，,2,已知平行六面体,ABCDA,1,B,1,C,1,D,1,中，,底面,ABCD,是边长为,a,的正方形，,侧棱,AA,1,的长为,b,，,A,1,AB=A,1,AD=120,0,求,(1),BD,1,(2),直线,BD,1,和,AC,夹角的余弦值,A,B,C,D,A,1,B,1,C,1,D,1,2 已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，ABCDA1,利用向量解几何题的一般方法,1,把线段或角度转化为向量表示,并用已知,向量表示未知向量,然后通过向量运算去,计算或证明,!,2,解决途径,坐标式和向量式,知识方法总结,利用向量解几何题的一般方法知识方法总结,棱锥、圆锥的体积,棱锥、圆锥的体积,复习：,1,、等底面积等高的两个柱体体积相等。,2,、,V,柱体,Sh,V,圆柱,r,2,h,3,、柱体体积公式的推导：,复习：1、等底面积等高的两个柱体体积相等。,柱体体积公式的推导：,等底面积等高的几个柱体,被平行于平面,的平面所截,截面面积始终相等,体积相等,V,长方体,abc,V,柱体,Sh,V,圆柱,r,2,h,柱体体积公式的推导：等底面积等高的几个柱体被平行于平面的平,问题：对比柱体体积公式的推导及结论，猜想一下,锥体体积是否具有相似的结论？,问题：对比柱体体积公式的推导及结论，猜想一下,定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。,h,1,S,1,h,1,S,1,h,S,h,S,取任意两个锥体，它们,的底面积为,S,，高都是,h,平行于平面,的任一平面去截,截面面积始终相等,两个锥体体积相等,定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。h1S1h1S1h,定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。,h,1,S,1,h,1,S,1,h,S,h,S,证明：取任意两个锥体，设它们的底面积为,S,，高都是,h,。,把这两个锥体,放在同一个平面,上，这是它们的顶点都在和平面,平行的同一个平,面内，,用平行于平面,的任一平面去截它们，,截面分别与底面相似，,设截面和顶点的距离是,h,1,，截面面积分别是,S,1,、,S,2,，,那么,根据祖搄原理，这两个锥体的体积相等。,定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。h1S1h1S1h,与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。,A,B,C,A,C,B,与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。ABCACB,与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。,A,B,C,A,C,B,与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。ABCACB,B,C,A,B,C,A,C,B,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,C,B,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,C,B,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,C,B,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,C,B,A,B,C,A,与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。,B,C,A,B,C,A,C,B,A,B,C,A,BCABCACBABCABCABCACB,与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。,与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。,定理二：如果三棱锥的底面积是,S,，高是,h,，那么 它的体积是,V,三棱锥,Sh,A,B,C,A,C,B,把三棱锥,1,以,ABC,为底面、,AA,1,为侧棱补成,一个三棱柱。,定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么,定理二：如果三棱锥的底面积是,S,，高是,h,，那么 它的体积是,V,三棱锥,Sh,A,B,C,A,C,B,连接,B,C,然后,把这个三棱柱,分割成三个三,棱锥。,就是三棱锥,1,和另两个三棱,锥,2,、,3,。,2,3,定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么,定理二：如果三棱锥的底面积是,S,，高是,h,，那么 它的体积是,V,三棱锥,Sh,就是三棱锥,1,和另两个三棱,锥,2,、,3,。,B,C,A,B,C,A,C,B,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,C,B,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,C,B,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,C,B,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,C,B,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,C,B,A,B,C,A,2,3,定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么,定理二：如果三棱锥的底面积是,S,，高是,h,，那么 它的体积是,V,三棱锥,Sh,B,C,A,B,2,C,A,C,B,3,A,B,C,A,1,三棱锥,1,、,2,的底,ABA,、,B,A,B,的面积相等。,定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么,定理二：如果三棱锥的底面积是,S,，高是,h,，那么 它的体积是,V,三棱锥,Sh,C,A,C,B,3,A,B,C,A,1,B,C,A,B,2,B,C,A,B,2,A,B,C,A,1,B,C,A,B,2,A,B,C,A,1,三棱锥,1,、,2,的底,ABA,、,B,A,B,的面积相等，,高也相等（顶点都是,C,）。,A,1,B,C,A,B,2,B,C,A,B,2,A,B,C,A,1,B,C,A,B,2,A,B,C,A,1,高,定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么,定理二：如果三棱锥的底面积是,S,，高是,h,，那么 它的体积是,V,三棱锥,Sh,A,B,C,A,1,C,A,C,B,3,B,C,A,B,2,三棱锥,2,、,3,的底,BCB,、,C,B,C,的面积相等。,定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么,定理二：如果三棱锥的底面积是,S,，高是,h,，那么 它的体积是,V,三棱锥,Sh,A,B,C,A,1,C,A,C,B,3,B,C,A,B,2,B,C,A,B,2,B,C,A,B,2,B,C,A,B,2,B,C,A,B,2,B,C,A,B,2,B,C,A,B,2,B,C,A,B,2,B,C,A,B,2,三棱