单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二十二章 二次函数,小结与复习,第二十二章 二次函数小结与复习,要点梳理,一般地，形如,(,a,，,b,，,c,是常数，,_,),的函数，叫做二次函数,y,ax,2,bx,c,a,注意,(1),等号右边必须是整式；,(2),自变量的最高次数是,2,；,(3),当,b,0,，,c,0,时，,y,ax,2,是特殊的二次函数,1.,二次函数的概念,要点梳理 一般地，形如,2.,二次函数的图象与性质：,a,0,开口向上,a,0,开口向下,x,=,h,(,h,k,),y,最小,=,k,y,最大,=,k,在对称轴左边,x,y,;,在对称轴右边,x,y,在对称轴左边,x,y,;,在对称轴右边,x,y,y,最小,=,y,最大,=,2.二次函数的图象与性质：a0 开口向上a,3.,二次函数图像的平移,y,ax,2,左、右平移 左加右减,上、下平移 上加下减,y,-,ax,2,写成一般形式,沿,x,轴翻折,3.二次函数图像的平移yax2左、右平移 左加右减上、下平,4.,二次函数表达式的求法,1,一般式法：,y,ax,2,bx,c,(,a,0),2,顶点法：,y,a,(,x,h,),2,k,(,a,0),3,交点法：,y,a,(,x,x,1,)(,x,x,2,)(,a,0),4.二次函数表达式的求法1一般式法：yax2bxc,5.,二次函数与一元二次方程的关系,二次函数,y,ax,2,bx,c,的图象和,x,轴交点有三种情况,:,有两个交点,有两个重合的交点,没有交点,.,当二次函数,y,ax,2,bx,c,的图象和,x,轴有交点时,交点的横坐标就是当,y,=0,时自变量,x,的值,即一元二次方程,ax,2,bx,c=,0,的根,.,5.二次函数与一元二次方程的关系 二次函数ya,有两个交点,有两个相异的实数根,b,2,-4,ac,0,有两个重合的交点,有两个相等的实数根,b,2,-4,ac,=0,没有交点,没有实数根,b,2,-4,ac,0有两个重合的,6.,二次函数的应用,1,二次函数的应用包括以下两个方面,(,1,),用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最大化问题,(,即最值问题,),；,(,2,),利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解,2一般步骤：(1)找出问题中的变量和常量以及它们之间 的函数关系；(2)列出函数关系式，并确定自变量的取值范围；(3)利用二次函数的图象及性质解决实际问题；(4)检验结果的合理性，是否符合实际意义,6.二次函数的应用1二次函数的应用包括以下两个方面2一般,考点一 求抛物线的顶点、对称轴、最值,考点讲练,例,1,抛物线,y,x,2,2,x,3,的顶点坐标为,_,【解析】,方法一：配方，得,y,x,2,2,x,3,(,x,1),2,2,，则顶点坐标为,(1,2),方法二代入公式 ，,则顶点坐标为,(1,2),(1,2),考点一 求抛物线的顶点、对称轴、最值考点讲练例1 抛物,方法归纳,解决此类题目可以先把二次函数,y,ax,2,bx,c,配方为顶点式,y,a,(,x,h,),2,k,的形式，得到：对称轴是直线,x,h,，最值为,y,k,，顶点坐标为,(,h,，,k,),；也可以直接利用公式求解,.,方法归纳解决此类题目可以先把二次函数yax2bxc配方,1,对于,y,2,(,x,3,),2,2,的图像下列叙述正确的是,(,),A,顶点坐标为,(,3,2,),B,对称轴为,y,3,C,当,x,3,时，,y,随,x,的增大而增大,D,当,x,3,时，,y,随,x,的增大而减小,C,针对训练,1对于y2(x3)22的图像下列叙述正确的是(),考点二 二次函数的图像与性质及函数值的大小比较,例,2,二次函数,y,x,2,bx,c,的图像如图所示，若点,A,(,x,1,，,y,1,),，,B,(,x,2,，,y,2,),在此函数图像上，且,x,1,x,2,1,，则,y,1,与,y,2,的大小关系是,(,),A.,y,1,y,2,B,y,1,y,2,【解析】由图像看出，抛物线开口向下，对称轴是,x,1,，当,x,1,时，,y,随,x,的增大而增大,x,1,x,2,1,，,y,1,1,可得,2,a,b,0,，故,正确；,由图像上横坐标为,x,2,的点在第三象限可得,4,a,2,b,c,0,，故,正确；,由图像上横坐标为,x,1,的点在第四象限得出,a,b,c,0,，由图像上横坐标为,x,1,的点在第二象限得出,a,b,c,0,，则,(,a,b,c,)(,a,b,c,),0,，,即,(,a,c,),2,b,2,0,，可得,(,a,c,),2,b,2,，,故,正确故选,D.,解析：由图像开口向下可得a0，由对称轴在y轴左侧可得b0,方法总结,1.,可根据对称轴的位置确定,b,的符号：,b,0,对称轴是,y,轴；,a,、,b,同号,对称轴在,y,轴左侧；,a,、,b,异号,对称轴在,y,轴右侧,.,这个规律可简记为“左同右异”,.,2.,当,x,1,时，函数,y,a,b,c,.,当图像上横坐标,x,1,的点在,x,轴上方时，,a,b,c,0,；当图像上横坐标,x,1,的点在,x,轴上时，,a,b,c,0,；当图像上横坐标,x,1,的点在,x,轴下方时，,a,b,c,0.,同理，可由图像上横坐标,x,1,的点判断,a,b,c,的符号,.,方法总结1.可根据对称轴的位置确定b的符号：b0对称轴是,3.,已知二次函数,y,=,x,2,2,bx,c,，当,x,1,时，,y,的值随,x,值的增大而减小，则实数,b,的取值范围是（）,A,b,1 B,b,1,C,b,1,D,b,1,针对训练,3.已知二次函数y=x22bxc，当x1时，y的值随,解析：,二次项系数为,1,0,，,抛物线开口向下，在对称轴右侧，,y,的值随,x,值的增大而减小，由题设可知，当,x,1,时，,y,的值随,x,值的增大而减小，,抛物线,y,=,x,2,2,bx,c,的对称轴应在直线,x,=1,的左侧而抛物线,y,=,x,2,2,bx,c,的对称轴 ，即,b,1,，故选择,D,.,解析：二次项系数为10，抛物线开口向下，在对称轴右侧,考点四 抛物线的几何变换,例,4,将抛物线,y,x,2,6,x,5,向上平移,2,个单位长度，再向右平移,1,个单位长度后，得到的抛物线解析式是,(,),A,y,(,x,4,),2,6 B,y,(,x,4,),2,2,C,y,(,x,2,),2,2 D,y,(,x,1,),2,3,【解析】因为,y,x,2,6,x,5,(,x,3),2,4,，所以向上平移,2,个单位长度，再向右平移,1,个单位长度后，得到的解析式为,y,(,x,3,1),2,4,2,，即,y,(,x,4),2,2.,故选,B.,考点四 抛物线的几何变换例4 将抛物线yx26x,3.,若抛物线,y,=,7(,x,+4),2,1,平移得到,y,=,7,x,2,，则可能（）,A.,先向左平移,4,个单位，再向下平移,1,个单位,B.,先向右平移,4,个单位，再向上平移,1,个单位,C.,先向左平移,1,个单位，再向下平移,4,个单位,D.,先向右平移,1,个单位，再向下平移,4,个单位,B,针对训练,3.若抛物线 y=7(x+4)21平移得到 y=7x2,考点五 二次函数表达式的确定,例,5,已知关于,x,的二次函数,当,x,=,1,时,函数值为,10,当,x,=1,时,函数值为,4,当,x,=2,时,函数值为,7,求这个二次函数的解析式,.,待定系数法,解：设所求的二次函数为,y,ax,2,+,b,x,c,由题意得：,解得,a,=,2,b,=3,c,=5.,所求的二次函数为,y,2,x,2,3,x,5.,考点五 二次函数表达式的确定例5 已知关于x的二次函数,5.,已知抛物线,y=ax,2,+bx+c,与抛物线,y=,x,2,3x+7,的形状相同,顶点在直线,x,=1,上,且顶点到,x,轴的距离为,5,请写出满足此条件的抛物线的表达式,.,解,:,抛物线,y=ax,2,+bx+c,与抛物线,y=,x,2,3,x+,7,的形状,相同,a,=1,或,1,又,顶点在直线,x,=1,上,且顶点到,x,轴的距离为,5,顶点为,(1,5),或,(1,5),所以其表达式为,:,(1),y=,(,x,1),2,+5 (2),y,=(,x,1),2,5,(3),y=,(,x,1),2,+5 (4),y=,(,x,1),2,5,针对训练,5.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=x23x+,例,6,若二次函数,y=x,2,+mx,的对称轴是,x,=3,，则关于,x,的方程,x,2,+mx,=7,的解为（）,A,x,1,=0,，,x,2,=6B,x,1,=1,，,x,2,=7,C,x,1,=1,，,x,2,=,7D,x,1,=,1,，,x,2,=7,解析：,二次函数,y=x,2,+mx,的对称轴是,x,=3,，,=3,，解得,m,=,6,，,关于,x,的方程,x,2,+mx,=7,可化为,x,2,6,x,7=0,，,即,(,x,+1)(,x,7),=0,，解得,x,1,=,1,，,x,2,=7,故选,D,考点六 二次函数与一元二次方程,例6 若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，则关于x的,例,7,某商场试销一种成本为每件,60,元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于,45%,，经试销发现，销售量,y,(,件,),与销售单价,x,(,元,),符合一次函数,y,kx,b,，且,x,65,时，,y,55,；,x,75,时，,y,45.,(1),求一次函数的表达式；,(2),若该商场获得利润为,W,元，试写出利润,W,与销售单价,x,之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？,考点七 二次函数的应用,例7某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售,解：,(1),根据题意，得,解得,k,=,-,1,b,=120.,故所求一次函数的表达式为,y=,-,x,+120.,(2),W=(,x,-,60),(,-,x,+120)=,-,x,2,+180,x,-,7200=,-(,x-,90),2,+900,抛物线的开口向下，,当,x,90,时，,W,随,x,的增大而增大，,而,60,x,60,（,1+45%,），即,60,x,87,当,x,=87,时，,W,有最大值，此时,W=,-(,87,-,90),2,+900=891.,解：(1)根据题意，得解得k=-1,b=120.故所求一次函,11.,一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场以来,3,个月的利润情况如图所示，该图可以近似看作为抛物线的一部分，请结合图象，解答以下问题：,(1),求该抛物线对应的二次函数解析式；,(2),该公司在经营此款电脑过程中，第几月的利润最大？最大利润是多少？,(3),若照此经营下去，请你结合所学的知识，对公司在此款电脑的经营状况,(,是否亏损？何时亏损？,),作预测分析,针对训练,11.一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场以来3个月的利,解：,(1),因图象过原点，则设函数解析式,为,y,=,ax,2,+,bx,，由图象的点的含义，得,解得,a,=,-,1,b,=14.,故所求一次函数的表达式为,y,=,-,x,2,+14,x,.,(2),y,=,-,x,2,+14,x,=,-,(,x,-,7),2,+49.,即当,x,=7,时，利润最大，,y,=49(,万元）,(3),没有利润，即,y,=,-,x,2,+14,x,=,0,.,解得,x,1,=0(,舍去）或,x,2,=14,而这时利润为滑坡状态，所以第,15,个月，公司亏损,.,解：(1)因图象过原点，则设函数解析式为y