单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,一、向量的直角坐标运算,复习,1.,距离公式,（,1,）向量的长度（模）公式,注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。,二、距离与夹角,在空间直角坐标系中，已知、,，则,（,2,）空间两点间的距离公式,2.,两个向量夹角公式,注意：,（,1,）当 时，同向；,（,2,）当 时，反向；,（,3,）当 时，。,思考：当 及,时，夹角在什么范围内？锐角和钝角,P,O,除此之外,还可以用垂直于平面的直线的方向向量,(,这个,平面的法向量,),表示空间中平面的位置,.,这样，点,O,与向量 不仅可以确定平面 的位置，还可以具体表示出 内的任意一点。,一、平面的法向量,新课,A,平面的法向量：,如果表示向量,的有向线段所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面,记作,，如果,，那么向量,叫做,平面 的,法向量,.,给定一点,A,和一个向量,那么过点,A,以向量 为法向量的平面是完全确定的,.,几点注意：,1.,法向量一定是非零向量,;,2.,一个平面的所有法向量都互相平行,;,3.,向量 是平面的法向量，向量 是与平面平行或在平面内，则有,l,二、平行关系：,l,m,l,巩固性训练,1,1.,设 分别是直线,l,1,l,2,的方向向量,根据下列条件,判断,l,1,l,2,的位置关系,.,平行,垂直,平行,1.,设 分别是平面,的法向量,根据,下列条件,判断,的位置关系,.,垂直,平行,相交,巩固性训练,2,例,1,如图,在正方形,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,M,N,分别是,C,1,C,、,B,1,C,1,的中点,求证,:MN,平面,A,1,BD,典型例题,分析,:,证明线面问题,可利用三种方法,:,一是证明 与平面,A,1,BD,的法向量垂直,;,二是在平面,A,1,BD,内找一向量与,平行,;,三是证明 可以用平面,A,1,BD,中的两不共线向量线性表示,.,D,N,M,A,B,C,D,!,B,!,C,!,A,!,例,1,如图,在正方形,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,M,N,分别是,C,1,C,、,B,1,C,1,的中点,求证,:MN,平面,A,1,BD,法,1:,建立如图所示的空间直角坐标系,.,设正方体的棱长为,1,则可求得,M(0,1,1/2),N(1/2,1,1),D(0,0,0),A,1,(1,0,1),B(1,1,0).,于是,设平面,A,1,BD,的法向量是,则 得,取,x=1,得,y=-1,z=-1,D,N,M,A,B,C,D,!,B,!,C,!,A,!,x,z,y,D,N,M,A,B,C,D,!,B,!,C,!,A,!,法,2:,法,3:,即 可用 与 线性表示,故 与,是共面向量,MN,平面,A,1,BD,例,1,如图,在正方形,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,M,N,分别是,C,1,C,、,B,1,C,1,的中点,求证,:MN,平面,A,1,BD,例,2,已知平面 经过三点,A(1,2,3),、,B(2,0,-1),、,C(3,-2,0),试求平面 的一个法向量,.,解,:A(1,2,3),、,B(2,0,-1),、,C(3,-2,0),设平面 的法向量是,依题意,有,即,解得,z=0,且,x=2y,令,y=1,则,x=2,平面 的一个法向量是,