,第二节 齐次线性方程组,一 齐次线性方程组解的性质,三 应用举例,二 基础解系及其求法,、解向量,设有齐次线性方程组,假设记,1,一、齐次线性方程组解的性质,那么上述方程组1可写成向量方程,假设,称为方程组1的解向量，,它也就是向量方程的解,、齐次线性方程组解的性质,（,1,）若 为 的解，则,也是 的解,.,（,2,）若 为 的解，为实数，则,也是 的解,易知，方程组的,全体解向量,构成一个向量空间，,那么,使得方程 成立，,称其为齐次线性方程组的,解空间,、根底解系的定义,二、根底解系及其求法,基础解系，,则方程组的,通解,可表示为：,方程组的解空间,N,(,A,),中，,它的某一个部分组,线性相关,.,线性无关；,则称为齐次线性,方程组,的一组,基础解系,.,满足：,如果为齐次线性,方程组,的,其中为任意实数,.,注：根底解系为解空间的一组基,、线性方程组根底解系的求法,设齐次线性方程组的系数矩阵,的秩为,r,，,量线性无关,因此，,的前,r,个行向,又任意,r,+,个行向量线性相关，所以齐,即中的前r个方程与同解.,并不妨,设,的左上角,r,阶子式,次线性方程组的,m,-,r,个方程多余,.,所以对系数矩阵,进行,行,初等变换，将其化为,行,标准形,所以,即,于是，的全部解就可以写成,其中,是任意实数,.,根据向量的运算法那么，可以整理成为：,令为,则（）就为方程组的,通解,.,如果,为齐次线性方程组的一个,根底解系.,、证明,线性无关,.,由于,n,-,r,个,n,-,r,维列向量,线性无关，,所以,n,-,r,个,n,维向量,、证明解空间的任一解都可由,线性表示,.,设,为某一解向量，,再构造,的一个线性组合：,亦线性无关,.,下证,是线性方程组的一组根底解系.,由于 是 的解，故,也是的解,.,易知：方程组的前,r,个未知量可由后,n,r,个未知量,唯一确定,.,所以 是齐次线性方程组解空间的一个基,.,说明,、解空间的基不是唯一的,、解空间的基又称为方程组的根底解系,、任n-r个线性无关的解向量构成根底解系,定理,n,元齐次线性方程组 的全体解所构成的,集合,N,(,A,),是一个向量空间，当系数矩阵的秩为,r,时，解空,间,N,(,A,),的维数为,n,-,r,.,当 时，线性方程组必有含,n,-,r,个向量的,基,解系此时解空间只含有零向量，称为维向量空间,当时，线性方程组只有零解，故,没有基础,础,解系，此时线性方程组的解可以表示为,其中,为任意实数，解空间可以表示为,解,把系数矩阵,用初等行变换变成为,例1求以下齐次线性方程组的根底解系与通解.,三、应用举例,所以,根底解系为,所以线性方程组的通解为,例,2,齐次线性方程组,只有零解，,那么满足.,例,3,设,n,阶矩阵,的各行元素之和为,0,，且秩为,的通解为,_.,n-1，那么线性方程组,分析：,那么,的根底解系只有一个向量.,设,的第个方程为,又矩阵,的各行元素之和为,0,，即,为它的一个解向量,.,的通解为,例,4,设三,阶矩阵,，且,的每一列均为方程,的解，,求.,证明,解因为，且的每一列均为方程的解，,所以方程组有非零的解，即方程组的系数行列式等于零,.,（）当时，,方程组的矩阵为,所以,那么线性方程组根底解系所含向量的个数为321个，,例,5,设,A,为,m,n,的,矩阵,，证明：,r,(,A,)=,r,(,A,T,A,),分析：A为mn的矩阵，那么ATA为nn的矩阵,r,(,A,)=,r,(,A,T,A,),dim,N,(,A,)=dim,N,(,A,T,A,),事实上，,AX,=0,与,A,T,AX,=0,同解,I.假设AX0=0，那么ATAX0=0,II.假设ATAX1=0，那么X1TATAX1=0，即,(,AX,1,AX,1,)=0,AX,1,=0,