单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,引言,稳定性是系统的重要特性，是系统正常工作的必要条件，它描述初始条件下系统方程解是否具有收敛性，而与输入作用无关。,线性系统的稳定性只决定于系统的结构和参数，与系统的初始条件及外界扰动的大小无关；,非线性系统的稳定性既与系统的结构和参数，又与系统的初始条件及外界扰动的大小有关。,稳定性判别方法：,现代控制理论中：,一般系统,(,包括单变量、线性、定常系统，以及多变量、非线性、时变系统,),的稳定性：李雅普诺夫稳定性理论。,经典控制理论中：,线性定常系统的稳定性：,代数判据,(,如，赫尔维茨判据,、,劳斯判据等,),；,奈魁斯特判据；对数判据；根轨迹判据。,非线性系统稳定性：,描述函数法,要求系统的线性部分具有良好的滤除谐波的性能；,相平面法,仅适合于一阶、,二阶,非线性系统。,李雅普诺夫稳定性分析,第四章,李雅普诺夫稳定性理论,李雅普诺夫理论在建立一系列关于稳定性概念的基础上，提出了判断系统稳定性的两种方法：,间接法：利用线性系统微分方程的解来判断系统稳定性，又称之为李雅普诺夫第一法；,直接法：首先利用经验和技巧来构造李雅普诺夫函数，进而利用李雅普诺夫函数来判断系统稳定性，又称为李雅普诺夫第二法。,李雅普诺夫稳定性理论是确定系统稳定性的一般性理论，它采用状态向量描述，在分析一些特定的非线性系统的稳定性时，有效地解决了用其它方法所不能解决的问题。该理论比经典控制中的稳定性判据、以及以后可能接触到的超稳定性理论的适应范围更广，因而得到广泛应用。,4.1,李雅普诺夫意义下的稳定性,设系统动态方程为,式中，,x,为,n,维状态向量，且显含时间变量,t,；,f(x,，,t),为线性或非线性、定常或时变的,n,维函数，其展开式为,假定方程的解为,x(t,；,x0,，,t0),，,式中,x0,和,t0,分别为初始状态向量和初始时刻，则初始条件,x0,必满足,x,(,t,0,；,x,0,，,t,0,)=,x,0,。,1,平衡状态,李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。对于所有,t,，,满足,的状态,x,e,称为,平衡状态,。平衡状态的各分量相对于时间不再发生变化。若已知状态方程，令 所求得的解,x,，,便是平衡状态。,线性定常系统,，,其平衡状态满足,Ax,e,=0,，当,A,为非奇异矩阵时，系统只有唯一的零解，即只存在一个位于状态空间原点的平衡状态。若,A,为奇异矩阵，则系统存在有无穷多个平衡状态。对于非线性系统，可能有一个或多个平衡状态,。,2,李雅普诺夫意义下的稳定性,设系统初始状态位于以平衡状态,x,e,为球心、,为半径的闭球域,S,(,),内，即,|,x,0,-,x,e,|,，,t,=,t,0,(4-385),若能使系统方程的解,x(t,；,x,0,，,t,0,),在,t,的过程中，都位于以,x,e,为球心、任意规定的半径为,的闭球域,S,(,),内，即,|x(t,；,x,0,，,t,0,)-x,e,|,，,t,t,0,(4-386),则称系统的平衡状态,x,e,在李雅普诺夫意义下是稳定的。式中,|,|,为欧几里德范数，其几何意义是空间距离的尺度。,实数,与,有关，通常也与,t,0,有关。,如果,与,t,0,无关，则称平衡状态是,一致稳定的,。,要注意到，按李雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作不衰减的振荡运动时，将在平面描绘出一条封闭曲线，但只要不超出,S,(,),，,则认为是稳定的，这与经典控制理论中线性定常系统稳定性的定义是有差异的。,例如：,|,x,0,-,x,e,|,表示状态空间中，,x,0,点至,x,e,点之间距离的尺度，数学表达式为：,|,x,0,-,x,e,|=(,x,10,x,1e,),2,+(,x,20,x,2e,),2,+,+,(,x,n0,x,ne,),2,1/2,(4-385),3,渐近稳定性,若系统的平衡状态,x,e,不仅具有李雅普诺夫意义下的稳定性，且有,则称此平衡状态是渐近稳定的。这时，从,S(,),出发的轨迹不仅不会超出,S(,),，,且当,t,时收敛于,x,e,，显见经典控制理论中的稳定性定义与渐近稳定性对应。,若,与,t,0,无关，且上式的极限过程与,t,0,无关，则称平衡状态是,一致渐近稳定的,。,4,大范围（全局）渐近稳定性,当初始条件扩展至整个状态空间，且平衡状态均具有渐近稳定性时，称此平衡状态是大范围渐近稳定的。此时，,，,S,(,),。当,t,时，由状态空间中任一点出发的轨迹都收敛于,x,e,。,对于严格线性的系统，如果它是渐近稳定的，必定是大范围渐近稳定，这是因为线性系统的稳定性与初始条件的大小无关。而对于非线性系统来说，其稳定性往往与初始条件大小密切相关，系统渐近稳定不一定是大范围渐近稳定。,5,不稳定性,如果对于某个实数,0,和任一个实数,0,，,不管这两个实数有多么小，在,S,(,),内总存在着一个状态,x,0,，,使得由这一状态出发的轨迹超出,S,(,),，,则平衡状态,x,e,就,称为是不稳定的。,4.2,李雅普诺夫第一法,(,间接法,),间 接 法,：利用状态方程解的特性来判断系统稳定性的方法。,适应范围,：线性定常系统、线性时变系统、非线性函数可线性化的系统。,定理,4-9,对于线性定常系统,有,系统的每一平衡状态是在李雅普诺夫意义下稳定的充分必要条件是，,A,的所有特征值均具有非正（负或零）实部，且具有零实部的特征值为,A,的最小多项式的单根。,系统的惟一平衡状态,x,e,=0,是渐近稳定的充要条件是，,A,的所有特征值均具有负实部。,证明,1),设,x,e,为线性定常系统,(4-388+),的平衡状态，则由性质,可知，对于所有,t0,均有（可通过等式两边求微分证明下式,）,于是，考虑到,x,(,t,;,x,0,0)=e,A,t,x,0,，有,这表明，,当且仅当,e,A,t,k,时，对任给的一个实数,0,，,都对应存在和初始时刻无关的一个实数,(,)=,/,k,，,使得由满足不等式,|x,0,x,e,|,(,)(4-391),的任一初态,x,0,出发的受扰运动都满足不等式,因而,e,A,t,有界等价于,e,t,有界。,但是，由,为约当规范型可知,e,t,每,一元的形式为,其中,i,(),为,(),的特征值，,i,为特征值的重数。,可以看出，式,(4-394),中，当,i,0,且,V,(0)=0,，则,在域,S(,域,S,包含状态空间的原点,),内的标量函数,V,(,x,),称为是正定的。,如果时变函数,V,(,x,，,t,),由一个定常的正定函数作为下限，即存在一个正定函数,W,(,x,),，,使得,则称时变函数,V,(,x,，,t,),在域,S(,域,S,包含状态空间的原点,),内是正定的。,负定性 如果,V,(,x,),是正定函数，则标量函数,V,(,x,),称为负定函数。,负半定性,如果标量函数,V,(,x,),是正半定函数，则,V,(,x,),称为负半定函数,正半定性,如果标量函数,V,(,x,),除了原点及某些状态处等于零外，在域,S,内的,所有状态都是正定的，则,V,(,x,),称为正半定函数,不定性,如果在域,S,内，不论域,S,多么小，,V,(,x,),既可为正值，也可为负值，则标量函数,V,(,x,),称为不定函数。,2,李雅普诺夫第二法主要定理,1,）,V,(,x,t,),正定且有界，即存在两个连续的非减标量函数,(|,x,|),和,(|,x,|),，,其中,(0)=0,，,(0)=0,，,使对一切,tt,0,和一切,x,0,均有,(|,x,|),V,(,x,t,),(|,x,|)0 (4-397),定理,4-10(,大范围一致渐近稳定判别定理,),考虑连续时间非线性时变自由系统,其中,f,(0,t,)=0,，,即状态空间的原点为系统的平衡状态。,如果存在一个,对,x,和,t,有连续一阶偏导数的标量函数,V,(,x,t,),，,V,(0,t,)=0,，,且满足如下条件：,3,）,当,|,x,|,时，,(|,x,|),，,V,(,x,t,),，则系统原点平衡状态为大范围一致渐近稳定。,2,）,V(x,t),对时间,t,的导数 负定且有界，即存在一个连续的非减标量函数,r,(|,x,|),，,其中,r,(0)=0,，,使对一切,tt,0,和一切,x,0,均有,定理,4-11(,定常系统大范围渐近稳定判别定理,1),例,4-39,设系统状态方程为下式，,试确定系统的稳定性。,解,显然，原点,(,x,1,=0,，,x,2,=0),是该系统惟一的平衡状态。选取正定标量函数,V,(,x,),为,则沿任意轨迹，,V,(,x,),对时间的导数,对于定常系统,其中,f,(,0,)=,0,，,如果存在一个,具有连续一阶导数的标量函数,V,(,x,),，,V,(,0,)=0,，,并且对于状态空间,X,中的一切非零点,x,满足如下条件：,1,）,V,(,x,),为正定；,2,）为负定；,3,）当,|,x,|,时,V,(,x,),。,则系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。,是负定的。,这说明,V,(,x,),沿任意轨迹是连续减小的，因此,V,(,x,),是一个李雅普诺夫函数。由于当,|,x,|,时,V,(,x,),，所以系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。,定理,4-12(,定常系统大范围渐近稳定判别定理,2),对于定常系统,如果存在一个,具有连续一阶导数的标量函数,V,(,x,),，,V,(,0,)=0,，,并且对于状态空间,X,中的一切非零点,x,满足如下条件：,1,）,V,(,x,),为正定；,2,）为负半定；,3,）对任意,x,X,，,不恒等于零,；,4,）,当,|,x,|,时,V,(,x,),。,则系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。,例,4-40,已知定常系统状态方程为下式，,试确定系统的稳定性。,解,易知原点,(,x,1,=0,，,x,2,=0),为系统惟一的平衡状态。现取,V,(,x,)=,x,1,2,+,x,2,2,，,且有,V,(,x,)=,x,1,2,+,x,2,2,为正定；,容易看出，除了,x,1,任意，,x,2,=0,；,x,1,任意，,x,2,=-1,时，以外，均有 。所以，为负半定。,检查是否 不恒等于零。,则由,x,2,(,t,)0,可导出,将此代入系统状态方程可得,再考察情况,，设,考虑到使得 的可能性只有上述,、,两种情况，所以问题归结为判断这两种情况是否为,系统的受扰运动解。,先考察情况,，,设,这表明，除了点,(,x,1,=0,，,x,2,=0),，,不是系统的受扰运动解。,则由,x,2,(,t,)=-1,可导出,将此代入系统状态方程可得,显然，这是一个矛盾的结果，表明 也不是系统的受扰运动解。,综合以上分析可知，不恒等于零。,当,|,x,|,时，显然有,V,(,x,)=|,x,|,2,。,所以，根据定理,4-,12,可判定系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。,定理,4-13(,不稳定的判别定理,),对于时变系统,(4-396),或定常系统,(4-399),，,如果存在一个,具有连续一阶导数的标量函数,V,(,x,，,t,),或,V,(,x,),，,其中,V,(,0,，,t)=0,，,V(,0,)=0,，,和围绕原点的域,，使得对于一切,x,和一切,t,t,0,满足如下条件：,V,(,x,，,t,),为正定且有界或,V,(,x,),为正定；,为正定且有界或 为正定，则系统平衡状态为不稳定。,4.4,线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析,设线性定常系统方程为,令,这里，,A,为非奇异矩阵，故原点是惟一平衡状态。,取正定二次型函数,V,(,x,)=,x,T,Px,作为可能的李雅普诺夫函数，有,根据定常系统大范围渐近稳定性判别定理,1,（定理,4-11,），只要,Q,正定，则系统是大范围渐近稳定的。,1,线性定常连续系统渐近稳定的判别,于是有,因此，线性定常连续系统渐近稳定的充要条件可表示为：给定一正定矩阵,P,，,