单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,【,考纲下载,】,1.,结合具体函数，了解函数奇偶性的含义,2,会运用函数图象理解和研究函数的性质,.,第,4,讲 函数的奇偶性,(1),奇函数：一般地，如果对于函数,f,(,x,),的定义域内任意一个,x,，都,有,，那么函数,f,(,x,),就叫做奇函数,(odd function),奇函数的图象关于,原点对称,(2),偶函数：一般地，如果对于函数,f,(,x,),的定义域内任意一个,x,，都有,，,那么函数,f,(,x,),就叫做偶函数,(even function),偶函数的图象关于,y,轴对称,f,(,x,),f,(,x,),f,(,x,),f,(,x,),1,函数的奇偶性,提示：,函数,f,(,x,),可以是奇函数，也可以是偶函数，也可以既是奇函数又是偶函数，也可以两者都不是，但必须注意的是，研究函数的奇偶性必须首先明确函数的定义域是否关于原点对称,对于函数,y,f,(,x,),，如果存在一个不为零的,T,，使得当,x,取定义域内的,每个值时，,f,(,x,T,),f,(,x,),都成立，那么就把函数,y,f,(,x,),叫做周期函数对,于一个周期函数来说，如果在所有周期中存在着一个最小的正数，就把,这个最小的正数叫做,.,提示：,(1),一个周期函数不一定有最小正周期；,(2),若,T,为,f,(,x,),的周期，则,kT,(,k,Z,，,k,0),也一定是,f,(,x,),的周期,最小正周期,常数,2,函数的周期性,A,b,c,0 B,a,0,C,b,0,，,a,0 D,c,0,解析：,由,f,(,x,),f,(,x,),，得,ax,3,bx,2,c,ax,3,bx,2,c,，,b,c,0.,答案：,A,1,已知函数,f,(,x,),ax,3,bx,2,c,是奇函数，则,(,),b,f,(,),，,c,f,，则有,(,),A,a,c,b,B,b,a,c,C,b,c,a,D,c,a,b,解析：,即 ，,b,c,a,.,答案：,C,2,已知,f,(,x,),是偶函数，且在,(0,，,),上是增函数，,a,f,，,3,(2009,辽宁,),已知偶函数,f,(,x,),在区间,0,，,),上单调增加，则满足,f,(2,x,1),f,的,x,取值范围是,(,),解析：,f,(,x,),为偶函数，,f,(2,x,1),f,(|2,x,1|),，,|2,x,1|,，解得,x,.,答案：,A,4,(2010,改编题,),设定义在,R,上的函数,f,(,x,),满足,f,(,x,4),f,(,x,),，,若,f,(2),2,，则,f,(2 010),_.,解析：,由,f,(,x,4),f,(,x,),知,f,(,x,),的最小正周期为,4,，,f,(2 010),f,(502,4,2),f,(2),2.,答案：,2,利用定义判断函数奇偶性的方法：,1,首先求函数的定义域，定义域关于原点对称是函数是奇函数或偶函数的,必要条件,2,如果函数的定义域关于原点对称，可进一步判断,f,(,x,),f,(,x,),，或,f,(,x,),f,(,x,),是否对定义域内的每一个,x,恒成立,(,恒成立要给予证明，否则要举出反例,),【,例,1,】,判断下列各函数的奇偶性,(1),f,(,x,),；,(2),f,(,x,),(,x,1),；,(3),f,(,x,),.,思维点拨：,(1),考虑定义域；,(2),利用定义域化简函数；,(3),分段讨论,解：,(1),函数定义域为,1,0),(0,1,，,在定义域内，原函数可化为,f,(,x,),，,显然,f,(,x,),是奇函数,(2),由,0,得定义域为,1,1),，,不关于原点对称,，,故,f,(,x,),是非奇非偶函数,(3),当,x,0,，,则,f,(,x,),(,x,),2,x,(,x,2,x,),f,(,x,),；,当,x,0,时,，,x,0,，,f,(,x,),是,R,上的偶函数，求实数,a,的值,解法二：,f,(,x,),是,R,上的偶函数，,f,(,1),f,(1),，,a,e,，,e,0,，,(e,2,1),0,，,a,0.,又,a,0,，,a,1.,经验证当,a,1,时，有,f,(,x,),f,(,x,),a,1,变式,2,：,已知,y,f,(,x,),是定义域为,R,的奇函数，当,x,0,时，,f,(,x,),x,2,2,x,.,求,f,(,x,),在,R,上的解析式,解：,设,x,0,，由题设,f,(,x,),(,x,),2,2(,x,),x,2,2,x,.,f,(,x,),为奇函数，,f,(,x,),f,(,x,),，,f,(,x,),f,(,x,),(,x,2,2,x,),x,2,2,x,.,f,(,x,),与奇函数、偶函数有关的求周期函数解析式问题，求解时将,x,设在所求,解析式的区间上，将,x,加上或减去周期的倍数，转化为已知解析式的区间，,利用奇、偶函数和周期函数的性质求出解析式,【,例,3】,已知,f,(,x,),是定义在,R,上的奇函数，且是周期为,2,的周期函数，当,x,0,1),时，,f,(,x,),2,x,1,，则,f,(log 6),的值为,(,),A,B,5 C,D,6,解析：,log 8log 6log 4,，,3log 6,2.,设,3,x,2,，,1,x,20.,0,x,20,时周期为,6.,f,(2 009),f,(335,6,1),f,(,1),log,2,2,1.,1,若,T,为函数的一个周期，则,nT,(,n,N,*,),也是函数的周期；,2,若对任何,x,D,都有,f,(,x,a,),f,(,x,),，则,f,(,x,),是以,2,a,为周期的函数；,3,若对任何,x,D,都有,f,(,x,a,),，则,f,(,x,),是以,2,a,为周期的函数；,4,若函数,f,(,x,),有两条对称轴,x,a,，,x,b,，则,f,(,x,),是以,2(,b,a,),为周期的函数,(,b,a,).,【,方法探究,】,点击此处进入 作业手册,