单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第七章 远期与期货定价,Determination of Forward and Futures Prices,1,第七章 远期与期货定价Determination of F,第一节 基础知识,一、利率有关问题,（一）单利,对利息不再计算利息，计算公式是：,I=Anr F=A(1+nr),式中，,I,为利息额，,A,为本金现值，,r,为每期利率，,n,为,计息期数,，,F,为本利和（终值）,2,第一节 基础知识一、利率有关问题（一）单利对利息不再计算利,(,1+r),n,也称为复利终值系数。,复利是一种将上期利息转为本金并一并计息的方法。假设金额,A,以利率,r,投资了,n,期，投资的终值是：,（二）复利,例 假设某投资者将,1000,元存入银行，存期,5,年，年利率,10,，按年复利计息，,5,年后的终值是,1000(1+10,),5,1610.51,元。,3,(1+r)n也称为复利终值系数。复利是一种将上期利息转为本金,（三）连续复利,一定期限内提高计复利的频率会对复利终值产生影响。若,R,为年利率，则式,说明一年复利一次的计算，其中,A,为投资额（本金现值）。,设一年内计,m,次复利，年利率为,R,，投资期限为,n,年，则终值为：,我们通常所说的利率为年利率。但每期不一定恰好是一年，一年可分为,2,期、,4,期等。此时，表示出的年利率为名义利率（每年复利,n,次的年利率）。,4,（三）连续复利一定期限内提高计复利的频率会对复利终值产生影响,设本金,A,100,元，年利率,n,10%,，则年末终值如下表所示,复利频率,100,元在一年末的终值,每年（,m=1,）,110.00,每半年（,m,2,）,110.25,每季度（,m=4,）,110.38,每月（,m,12,）,110.47,每周（,m,52,）,110.51,每天（,m,365,）,110.52,即：当每年复利一次时，终值为：,100(1+10,),110,元；,m=2,时，终值,F,为：,100(1+5,),2,110.25,元；,m,4,时，终值,F,为：,100(1+2.5,),4,110.38,元；,因此，年利率,10%,（,名义）保持不变，,提高计复利的频率使,100,元的年末终值增大。,当,m,365,时，终值,F,110.52,元。,5,设本金A100元，年利率n10%，则年末终值如下表所示复,终值为,:,如果将计息次数,m,不断扩大，即计息频率不断提高，直到变为无穷大，我们称之为连续复利,(continuous compounding),：,若,A=100,R,0.10,n,1,，,以连续复利计终值为：,100e,0.1,110.52,元。（与,m,365,比较）。,6,终值为:如果将计息次数m不断扩大，即计息频率不断提高，直到变,（四）利率之间的转换,在计息利率（名义）相同时，以连续复利计息的终值最大；在终值相同时，连续复利的计息利率最小。,如果,R,c,是连续复利的利率，,R,m,为与之等价每年计,m,次复利的利率（以年利率表示），则有：,所以,7,（四）利率之间的转换在计息利率（名义）相同时，以连续复利计息,由此得出：,如果分别为,m,1,次与,m,2,次复利的频率，则有：,8,由此得出：如果分别为m1次与m2次复利的频率，则有：8,根据题意已知，,m=2,，,R,m,0.10,，,R,c,2ln,（,1+0.1/2,）,0.09758,，,即连续复利的年息应为,9.758,例：某特定金额的年息为,10%,，每半年复利一次（半年计息一次），求一个等价的连续复利的利率。,例：假设某债务人借款的利息为年息,8,，按连续复利计息。而实际上利息是一年支付一次。则一年计一次息（,m,1,）的等价年利率为：,即年利率为,8.33,，这说明，对于,1000,元的借款，该债务人在年底要支付,83.3,元的利息。,9,根据题意已知，m=2，Rm0.10，例：某特定金额的年息,二、现值与贴现,现值的计算过程通常被称作贴现，所用的利率称为贴现率。,（一）现值,按贴现率,r,计算，,n,期后得到的金额,F,的现值计算公式为,：,被称作现值系数。,（二）连续复利现值,在连续复利现值的情况下，按贴现率,r,计算，,n,年（期）后得到,F,元的现值计算公式为：,10,二、现值与贴现现值的计算过程通常被称作贴现，所用的利率称为贴,三、投资性商品与消费性商品,所谓投资性商品,（,Investment assets,）,系指投资者持有的、用于投资目的的商品（如股票、债券、黄金、白银等）；,消费性商品,（,Consumption assets,）,则主要是用于消费的商品，这类商品一般不用于投资性目的（如铜、石油等）。,四、合理的假定,1.,交易费用为零；,2.,所有交易的净利润适用同一税率；,3.,参与者能够随时以相同的无风险利率借入和贷出资金；,4.,当套利机会出现时，市场参与者将主动、迅速地参与套利活动。,11,三、投资性商品与消费性商品所谓投资性商品（Investmen,第二节 投资性商品的远期,/,期货合约定价,远期价格与期货价格存在区别。但差别并不非常明显，尤其是短期，可以将其忽略。因此，讨论中所使用的符号一般既适应远期价格又适应期货价格的分析。,符号的界定：,T,：,远期合约至到期时的时间间隔（年）；,S,：,远期合约标的资产的即期价格；,F,：,远期价格；,K,：,远期合约中的交割价格；,f,：,持有远期合约多头的合约价值,r,：,无风险利率,12,第二节 投资性商品的远期/期货合约定价远期价格与期货价格存,一、不支付收益的投资资产远期价格,最基本、最易理解的类型。,例如,期限内不支付任何红利的股票以及贴现债券（零息票债券）或不考虑持有成本的黄金等资产。,13,一、不支付收益的投资资产远期价格 最基本、最易理解的类型。例,当已知连续复利时,1.,引例,若黄金的当前价格为,$1000,，,一年后到期的黄金远期合约价格为,$1050,。一年期无风险利率为,4%,（年复利率），不考虑黄金的持有成本与交易成本。此时，是否存在套利机会？若其他条件不变，远期价格变为,$,1020,，此时是否存在套利机会？,结论：合约到期期限内不支付收益资产的当前价格为,S,，到期期限为,T,年的远期价格为,F,，无风险利率（年复利利率）为,r,，,则有：,14,当已知连续复利时1.引例若黄金的当前价格为$1000，一年后,2.,一般分析,资产即期价格为,S,，远期合约到期时间为,T,，,r,是无风险利率（连续复利），,F,为远期价格。构造如下两个投资组合：,投资组合,A,：即期购买,1,单位资产,投资组合,B,：,1,单位标的资产的远期合约多头,+,数量为,Fe,-rT,的现金,组合,B,中，现金以无风险利率投资，时间,T,后其价值为,F,，正好用来交割合约购买,1,单位资产。,组合,B,实际上是通过合约多头和现金组合复制了组合,A,中的,1,单位资产。,在时间,T,后，组合,A,、,B,的价值相同。即期购买两种组合的成本应该相等，因而：,15,2.一般分析资产即期价格为S，远期合约到期时间为T，r是无风,Another way of seeing this result,consider the following strategy:,Buy one unit of the asset and enter into a short forward contract to sell it for,F,0,at time,T,.This costs,S,0,and is,certain,to lead to a cash inflow of,F,0,at time,T,.,S,0,must therefore equal the present value of,F,0,;that is,S,0,=F,0,e,-rT,or equivalently,F,0,=S,0,e,rT,16,Another way of seeing this res,3.,套利分析,假定,F Se,rT,，投资者可以：,(1),以无风险利率,r,即期借入,S,，期限为,T,，并购买,1,单位资产。,(2),卖出,1,单位标的资产的远期合约。,在时间,T,后，将资产按远期合约规定价格,F,卖掉，同时归还借款本息,Se,rT,，实现无风险利润。,若,F SerT，投资者可以：(1)以无风险,讨论,1,，,若,F,55,套利者可以,8,的无风险年利率借入,50,元，买一股股票，并在远期市场卖出合约。,3,个月后套利者卖出股票获,55,元，归还贷款总额,51.01,元。锁定收益为,55,51.01,3.99,元。,例 购买一份,3,个月的股票远期合约，股价为,50,元，,3,个月期的无风险利率（连续复利）为,8,。,S,50,r,0.08,T,0.25,.,理论远期价格,F,50,e,0.080.25,51.01.,讨论,2,，,若,F,49,套利者卖空股票，将所得收入进行投资，并购买,3,个月远期合约。收入以无风险利率投资,3,个月可得,51.01,元。此时套利者支付,49,元，交割合约股票，再将股票补回空头头寸，净收益为,51.01,49,2.01,元。,因此，在无套利的前提下，远期价格一定是,51.01,元。,18,讨论1，若F55例 购买一份3个月的股票远期合约，股价为,二、已知现金收益的投资资产的远期价格,1.,一般结论,其中,I,为标的资产在远期合约有效期间所支付的收益现值（之和）。,有些投资资产，如附息债券或支付已知红利的股票，在持有期限内可提供完全预测的现金收益。,19,二、已知现金收益的投资资产的远期价格 1.一般结论其中I为标,假定,F,（,S-I,）,e,rT,（,1,）以无风险利率,r,借入,S,，期限为,T,，并购买,1,单位资产；,（,2,）卖出,1,单位标的资产的远期合约；,（,3,）将期间获取的现金收益以无风险利率投资。,2.,套利分析,若,F,（,S-I,）,e,rT,（,1,）卖空,1,单位资产，将所得收入,S,以无风险利率,r,投资，期限为,T,（,2,）购买,1,单位标的资产的远期合约,在时间,T,后，将资产按价格,F,卖掉的同时，还可获得现金收益,Ie,rT,。归还借款本息,Se,rT,后，实现现金净流入,0,。,在时间,T,后，以价格,F,交割单位资产，补回卖空的资产，并需支付现金收益,Ie,rT,。这样，在时刻,T,实现现金净流入（利润）,0,。,20,假定 F（S-I）erT 2.套利分析若F（S-I）,Buy one unit of the asset and enter into a short forward contract to sell it for,F,0,at time,T,.,This costs,S,0,and is certain to lead to a cash inflow of,F,0,at time,T,and income with a present value of,I,.The initial outflow is,S,0,the present value of the inflows is,F,0,e,-rT,+I,.,Hence,S,0,=F,0,e,-rT,+I,or equivalently,F,0,=(S,0,-I)e,rT,Another way of seeing this result,consider the following strategy:,21,Buy one unit of the asset and,案例分析,面值,1000,元债券当前价格为,900,元，息票利率为,8,，每半年付息一次。若远期合约期限为,1,年，债券在,5,年之后到期。在合约有效期限内该债券共支付两次利息，其中第二次付息日是远期合