单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,18.1,勾股定理的证明,3,2,5,2,4,2,两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，因为这个定理太贴近人们的生活实际，以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨和研究它的证明因此不断出现关于勾股定理的新证法,1,传说中毕达哥拉斯的证法,2,赵爽弦图的证法,4,美国第,20,任总统茄菲尔德的证法,3,刘徽的证法,勾股定理的证明,5,其他证法,这棵树漂亮吗？如果在树上挂上几串彩色灯泡，再挂上些小铃铛、小彩球、小礼盒、小的圣诞老人，是不是更像一棵圣诞树,也许有人会问：,“,它与勾股定理有什么关系吗？,”,仔细看看，你会发现，奥妙在树干和树枝上，整棵树都是由下方的这个基本图形组成的：,一个直角三角形以及分别以它的每边为一边向外所作的正方形,这个图形有什么作用呢？不要小看它哦！古希腊的数学家毕达哥拉斯就是利用这个图形验证了勾股定理,关于勾股定理的证明，现在人类保存下来的最早的文字资料是欧几里得（公元前,300,年左右）所著的,几何原本,第一卷中的命题,47,：“直角三角形斜边上的正方形等于两直角边上的两个正方形之和”其证明是用面积来进行的,传说中毕达哥拉斯的证法,已知：如图，以在,Rt,ABC,中，,ACB,=90,，分别以,a,、,b,、,c,为边向外作正方形,求证：,a,2,+,b,2,=,c,2,S,矩形,ADNM,2S,ADC,又正方形,ACHK,和,ABK,同底（,AK,）,、,等高（即平行线,AK,和,BH,间的距离），,S,正方形,ACHK,2S,ABK,AD,AB,，,AC,AK,，,CAD,KAB,，,ADC,ABK,由此可得,S,矩形,ADNM,S,正方形,ACHK,同理可证,S,矩形,MNEB,S,正方形,CBFG,S,矩形,ADNM,S,矩形,MNEB,S,正方形,ACHK,S,正方形,CBFG,即,S,正方形,ADEB,S,正方形,ACHK,S,正方形,CBFG,，,也就是,a,2,+,b,2,=,c,2,传说中毕达哥拉斯的证法,证明：从,Rt,ABC,的三边向外各作一个正方形（如图），作,CN,DE,交,AB,于,M,，那么正方形,ABED,被分成两个矩形连结,CD,和,KB,返回,由于矩形,ADNM,和,ADC,同,底（,AD,）,，等高,(,即平行线,AD,和,CN,间的距离,),，,我国对勾股定理的证明采取的是割补法，最早的形式见于公元三、四世纪赵爽的,勾股圆方图注,在这篇短文中，赵爽画了一张他所谓的,“,弦图,”,，其中每一个直角三角形称为,“,朱实,”,，中间的一个正方形称为,“,中黄实,”,，以弦为边的大正方形叫,“,弦实,”,，所以，如果以,a,、,b,、,c,分别表示勾、股、弦之长，,那么：,赵爽弦图的证法,得：,c,2,=a,2,+b,2,返回,刘徽在,九章算术,中对勾股定理的证明：勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也合成弦方之幂，开方除之，即弦也,令正方形,ABCD,为朱方，正方形,BEFG,为青方在,BG,间取一点,H,，使,AH,=,BG,，裁下,ADH,，移至,CDI,，裁下,HGF,，移至,IEF,，是为“出入相补，各从其类”，其余不动，则形成弦方正方形,DHFI,勾股定理由此得证,刘徽的证法,返回,学过几何的人都知道勾股定理它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有,500,余种其中，美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话,总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好者？答案是否定的事情的经过是这样的：,1876,年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为,3,和,4,，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是,5,呀”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为,5,和,7,，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于,5,的平方加上,7,的平方”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味,于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法,总统巧证勾股定理,美国第二十任总统伽菲尔德,总统巧证勾股定理,a,a,b,b,c,c,A,D,C,B,E,返回,向常春的证明方法,注,:,这一方法是向常春于,1994,年,3,月,20,日构想发现的新法,a,b,c,b,a,-,b,A,D,C,B,E,c,我们用拼图的方法来说明勾股定理是正确的,试 一 试,证明,:,上面的大正方形的面积为：,下面大的正方形的面积为：,从右图中我们可以看出，这两个正方形的边长都是,a,b,，所以面积相等，即,观察下面的图形，你还能发现什么吗？,