(4b),第五章 容斥原理（二）,金杯数学,（,4b,）,天津科学技术出版社,金杯数学（4b）天津科学技术出版社,听说我们即将学习图片中老师讲的那个题目。,会不会很难啊，看起来挺复杂的！,听说我们即将学习图片中老师讲的那个题目。会不会很难啊，看起来,一点都不难，我们现在就近距离的学习解答这个题目！,-,请问，小明爷爷奶奶家有多少人？,小明家,5,个人,（爸爸、妈妈、,小明、爷爷、,奶奶）,小明叔叔家,5,个人,（叔叔、婶婶、,妹妹爷爷、,奶奶）,小明伯伯家,5,个人,（伯伯、伯母、,姐姐、爷爷、,奶奶）,这还不简单，,35=15,（个）,同学们你们觉得小尼回答正确吗？,一点都不难，我们现在就近距离的学习解答这个题目！小明家5个人,现在不知道，,等我们学了今天的课程，,就知道是怎么一回事了！,现在不知道，,【,知识领航,】,容斥原理的运用很广泛，它不仅适用于两个事物之间的包含与排除关系，而且也运用于三个事物之间。有时要试着从问题的另一面去思考，如“,3,人跳绳比赛获奖，,1,人跳绳、踢毽子两项都获奖”就要想到“只有跳绳比赛获奖的有,2,人”。,【知识领航】容斥原理的运用很广泛，它不仅适用于两个事物,【,方法点拨,】,容斥原理的第二种类型是：,如果被统计的事物有甲、乙、丙三类，那么，甲类或乙类或丙类物体的个数,=,甲类物体的个数,+,乙类物体的个数,+,丙类物体的个数既是甲类又是乙类的物体个数既是甲类又是丙类的物体个数既是乙类又是丙类的物体个数既是甲类又是乙类而且是丙类的物体个数的,2,倍。,【方法点拨】容斥原理的第二种类型是：如果被统计的事物有,【,技巧感悟,】,分析：,答对第一题的有,52,人，答对第二题的有,49,人，根据题意，答对第一题和第二题的总人数是,52+49=101,人，但其中两题都答对的,43,人被算了两次，用,101,43=58,人就得到至少有一题答对的人数。所以两题都答得不对的有,62,58=4,人。,解：,52+49,43=58,（人）,62,58=4,（人）,答：,至少答对一题的有,58,人，两题都没答对的有,4,人。,第一题,(52-43),人,第二题,(49-43),人,？,例,1,：,四年级某班,62,个同学在课堂小测验中，答对第一题的有,52,人，答对第二题的有,49,人，两题都答对的有,43,人。至少答对一题的有多少人？两题都没答对的有几人？,【技巧感悟】分析：答对第一题的有52人，答对第二题的有4,【,热身演练,】,某班有,40,个学生，其中,15,人参加数学兴趣小组，,18,人参加航模兴趣小组，有,10,人两个小组都参加，那么有几个人两个小组都不参加？,(1),共,40,人,数学,15,人,航模,18,人,10,？,【热身演练】某班有40个学生，其中15人参加数学兴趣小组，,例,2,、,育才小学举办学生美术作品展览。其中有,22,幅不是四年级的，有,26,幅不是五年级的。四、五年级的参展作品共有,12,幅，其他年级参展的作品共有多少幅？,分析：,由题意可知，,22,幅作品是一、二、三、五、六年级的总数；,26,幅作品是一、二、三、四、六年级的总数。,22+26=48,幅，这是一个四、五年级和两个一、二、三、六年级参展的作品总数，从中去掉四、五年级共参展的,12,幅即可得到两个一、二、三、六年级参展的作品总数，再除以,2,，就求出了其他年级参展的作品。,解：,【,技巧感悟,】,（,22+26,12,）,2=18(,幅,),答：,其他年级参展的作品共有,18,幅。,例2、育才小学举办学生美术作品展览。其中有22幅不是四年级的,【,热身演练,】,希望小学画展上展出了许多幅画，其中有,16,幅不是六年级的，有,15,幅画不是五年级的。五、六年级共有,25,幅画，那么其他年级的画共有多少幅？,(2),【热身演练】希望小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅不是,例,3,、,某班有,52,人，其中会下棋的有,48,人，会画画的有,37,人，会跳,舞的有,39,人，这个班三项都会的至少有多少人？,【,技巧感悟,】,分析：,会下棋的有,48,人，所以不会下棋的有,52,48=4,人；同样，不会画画的有,52,37=15,人；不会跳舞的有,52,39=13,人。三项中有一个项目不会的最多有,4+15+13=32,人，因此，三项都会的至少有,52,32=20,人。,解：,（,52,48,）,+,（,52,37,）,+,（,52,39,）,=32,（人）,答：,这个班三项都会的至少有,20,人。,5232=20,（人）,例3、某班有52人，其中会下棋的有48人，会画画的有37人，,【,热身演练,】,四（,1,）班有,54,人参加秋游活动，其中,35,人喜欢玩“捉特务”，,45,人喜欢玩“老鹰捉小鸡”，,40,人喜欢踢足球，,50,人喜欢跳牛皮筋。这个班至少有多少学生对这四项活动都喜欢？,(3),【热身演练】四（1）班有54人参加秋游活动，其中35人喜欢,例,4,、,四（,3,）班同学对作文、数学、自然三科中至少有一门感兴趣，其中,30,人喜欢作文，,32,人喜欢数学，,21,人喜欢自然；既喜欢作文又喜欢数学的有,15,人，既喜欢数学又喜欢自然的有,12,人，既喜欢作文又喜欢自然的有,14,人；三门都喜欢的有,8,人。求全班的总人数。,分析与解,：,如下图：,【,技巧感悟,】,（,1,）,将喜欢作文、数学、自然的人数加起来：,30+32+21=83,（人）,答：,全班的总人数是,50,人。,7,6,4,8,数学,13,作文,9,自然,3,（,2,）,对两门学科感兴趣的已在上面重复统计了一次，应排除：,83,（,15+12+14,）,=42,（人）,（,3,）,对三门都感兴趣的，在（,1,）中加了三次，在（,2,）的括号中加了三次，但在（,2,）式中又被减去了三次，也就是同时对三门感兴趣的都被排除在外，还必须补回来：,42+8=50,（人）,综合算式：,（,30+32+21,）（,15+12+14,）,+8=50,（人）,例4、四（3）班同学对作文、数学、自然三科中至少有一门感兴趣,【,热身演练,】,某校有数学、语文、外语三个兴趣小组，参加数学小组的有,35,人，参加语文小组的有,38,人，参加外语小组的有,28,人，同时参加数学、语文两个小组的有,8,人，同时参加数学、外语两个小组的有,12,人，同时参加语文、外语两个小组的有,10,人，三个小组都参加的有,4,人。这个学校参加课外兴趣小组的共有多少人？,(4),【热身演练】某校有数学、语文、外语三个兴趣小组，参加数学小,例,5,、,某个班的全体学生在进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试后，有,4,名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一项达到了优秀，这部分学生达到优秀的项目、人数如下表：,分析：,全班学生由两部分人组成，一部分是三个项目都没有达到优秀的,4,人，另一部分是至少有一项达到优秀的人，所以关键是求出至少有一个项目达到优秀的学生数。,【,技巧感悟,】,求这个班的学生人数。,项目,短跑,游泳,篮球,短跑,游泳,短跑,篮球,游泳,篮球,短跑,游泳,篮球,人数,17,18,15,6,5,6,2,例5、某个班的全体学生在进行了短跑、游泳、篮球三个项目的,【,技巧感悟,】,解法一：,如下图所示，把每个项目达到优秀的人数用圆圈表示。,先填短跑、游泳、篮球三个项目都优秀的人数（,2,人），,4,人,4,人,短跑,8,人,篮球,6,人,游泳,8,人,3,人,2,人,最后考虑单项优秀的学生数，由于篮球有,15,人优秀，从图中可知，篮球优秀的已有,3+2+4=9,（人），则在篮球的圈中，单项优秀的人数为,15,9=6,（人）；同样道理，游泳单项优秀的人数为,18,（,2+4+4,）,=8,（人）；短跑单项优秀的人数为,17,（,4+2+3,）,=8,（人）。这样一来，短跑、游泳、篮球三项中至少有一项优秀的学生人数就是,2,3,4,4,6,8,8=35,（人），全班人数是：,35+4=39,（人）。,再填篮球、短跑都优秀的人数（,5,人），但是，前面三项都优秀的人数已包含两项优秀的人数，所以在短跑与篮球的交界处只要填,5,2=3,（人）；同样道理，在短跑与游泳的交界处只要填,6,2=4,（人）；在游泳与篮球的交界处只要填,6,2=4,（人）；,【技巧感悟】解法一：如下图所示，把每个项目达到优秀的人,【,技巧感悟,】,解法二：,与例的解法相同。先把三个单项的人数相加，在减去两项都优秀的人数之和，然后再加上三项都优秀的人数，这样就求出了短跑、游泳、篮球三项中至少有一项优秀的学生人数，最后再加上三项都没有达到优秀的人数就得到了全班人数。,（,17+18+15,）（,6+5+6,）,+2=35,（人）,答：,这个班的学生人数是,39,人。,35+4=39,（人）,【技巧感悟】解法二：与例的解法相同。先把三个单项的人,小朋友们，今天学习怎样，知识点掌握了没有,?,小朋友们，今天学习怎样，知识点掌握了没有?,