单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,信道编码,*,通信工程系移动通信教研室,信道编码,第四章,BCH,码,4.1 BCH,码概述,4.2,预备知识：有限域基础,4.3 BCH,码的构造,4.4 BCH,码的编码,4.5 BCH,码的译码,11/19/2024,2,信道编码,4.3 BCH,码的构造,BCH,码的定义,BCH,码的构造,BCH,码的校验矩阵,BCH,码的距离限*,11/19/2024,3,信道编码,4.3 BCH,码的构造,BCH,码的定义,对于二元域,GF(2),及其扩域,GF(2,m,),，,设,=,i,(i=1,2,2,m,-2),为,GF(2,m,),上的非零元素，如果,GF(2),上的多项式,g(x),含有,2,d-1,等,d-1,个,连续根,，则由,g(x),生成的循环码称为,BCH,码。,d,称为,BCH,码的,设计距离,。,BCH,码由生成多项式在,GF(2,m,),上的根定义,BCH,码的最小距离或纠错能力是可设计的,说明,11/19/2024,4,信道编码,4.3 BCH,码的构造,BCH,码的定义,本原,BCH,码与非本原,BCH,码,如果,g(x),的,d-1,个连续根中含有本原元，则称,g(x),生成的,BCH,码为本原,BCH,码；,如果,g(x),的,d-1,个连续根均为非本原元，则,g(x),生成的,BCH,码称为非本原,BCH,码。,11/19/2024,5,信道编码,4.3 BCH,码的构造,BCH,码的定义,生成多项式与码长,：,设,M,i,(x),和,e,i,(i,=1,2,d-1),分别表示,d-1,个连续根的最小多项式和元素的阶，则,BCH,码的生成多项式和码长分别为：,g(x)=LCMM,1,(x),M,2,(x),M,d-1,(x),n=LCMe,1,e,2,e,d-1,11/19/2024,6,信道编码,4.3 BCH,码的构造,BCH,码的定义,生成多项式与码长,：,设二元,BCH,码的设计纠错能力为,t,，,则生成多项式,g(x),含有,2,2t,等,2t,个连续根。由于,i,和,2i,的最小多项式相同，因此二元,BCH,码的生成多项式为：,g(x)=LCMM,1,(x),M,3,(x),M,2t-1,(x),11/19/2024,7,信道编码,4.3 BCH,码的构造,BCH,码的定义,生成多项式与码长,：,GF(2,m,),上非零元素的阶均为,2,m,-1,的因子，因此,BCH,码的码长,n,一定为,2,m,-1,的因子。,即：,n|2,m,-1,本原,BCH,码的码长,n,一定等于,2,m,-1,。,非本原,BCH,码的码长,n,一定小于,2,m,-1,且为,2,m,-1,的因子。,11/19/2024,8,信道编码,4.3 BCH,码的构造,BCH,码的定义,生成多项式与码长,：,定理,：设,=,j,为,GF(2,m,),的元素，,为本原元，则以,2,2t,为根的,BCH,码的码长为：,n=(2,m,-1)/(2,m,-1,j),特别地：当,=,时，码长,n=2,m,-1,11/19/2024,9,信道编码,4.3 BCH,码的构造,BCH,码的构造,本原,BCH,码的构造步骤,1,、根据码长,n=2,m,-1,确定,m,，,查表找出,m,次本原多项式,p(x),，,构造扩域,GF(2,m,),2,、取本原元,，根据设计纠错能力,t,确定,g(x),的根：,2,3,2t,，查表找出根的最小多项式,M,1,(x),M,3,(x),M,2t-1,(x),3,、计算上述最小多项式的最小公倍式，得到生成多项式,g(x,),。,11/19/2024,10,信道编码,4.3 BCH,码的构造,BCH,码的构造,本原,BCH,码的构造举例,以设计纠错能力,t=1,2,3,分别构造码长,n=15,的本原,BCH,码。,1),、,n=15,，则,m=4,，取,p(x,)=x,4,+x+1,，构造扩域,GF(2,4,),。,本原多项式查表,11/19/2024,11,信道编码,4.3 BCH,码的构造,BCH,码的构造,扩域,GF(2,4,),及非零元素的阶：,元素 多项式 阶 元素 多项式 阶,0 0,7,3,+1 15,1 1 1 ,8,2,+1 15,15 ,9,3,+5,2,2,15 ,10,2,+1 3,3,3,5 ,11,3,+,2,+15,4,+1 15 ,12,3,+,2,+1 5,5,2,+3 ,13,3,+,2,+1 15,6,3,+,2,5 ,14,3,+1 15,11/19/2024,12,信道编码,4.3 BCH,码的构造,BCH,码的构造,本原,BCH,码的构造举例,2),、取,GF(2,4,),上的本原元,查表获得,扩域,GF(2,4,),上的共轭根系与最小多项式：,11/19/2024,13,信道编码,4.3 BCH,码的构造,BCH,码的构造,本原,BCH,码的构造举例,2),、取,GF(2,4,),上的本原元,扩域,GF(2,4,),上的共轭根系与最小多项式：,共轭根系 最小多项式,0,=1 M,0,(x)=x+1,2,4,8,M,1,(x)=x,4,+x+1,3,6,9,12,M,3,(x)=x,4,+x,3,+x,2,+x+1,5,10,M,5,(x)=x,2,+x+1,7,11,13,14,M,7,(x)=x,4,+x,3,+1,11/19/2024,14,信道编码,4.3 BCH,码的构造,BCH,码的构造,-,本原,BCH,码的构造举例,3),、计算,BCH,码的生成多项式,g(x),g(x,)=LCMM,1,(x)M,3,(x)M,2t-1,(x),t=1,：,g(x,),以,2,为连续根,g(x,)=M,1,(x)=x,4,+x+1,t=2,：,g(x,),以,2,3,4,为连续根,g(x,)=M,1,(x)M,3,(x)=x,8,+x,7,+x,6,+x,4,+1,t=3,：,g(x,),以,2,3,4,5,6,为连续根,g(x,)=M,1,(x)M,3,(x)M,5,(x),=x,10,+x,8,+x,5,+x,4,+x,2,+x+1,11/19/2024,15,信道编码,4.3 BCH,码的构造,BCH,码的构造,非本原,BCH,码的构造步骤,1,、确定满足,n|(2,m,-1),的,m,的最小值,，,查表找出,m,次本原多项式,p(x),，,构造扩域,GF(2,m,),2,、在,GF(2,m,),中找一个,n,阶元,=,l,，,其中,l,可取,(2,m,-1)/n,，,根据设计纠错能力,t,确定,g(x),的根：,l,2,l,2t,l,，查表找出根的最小多项式,M,l,(x),M,3,l,(x),M,(2t-1),l,(x),3,、计算上述最小多项式的最小公倍式，得到生成多项式,g(x),11/19/2024,16,信道编码,4.3 BCH,码的构造,BCH,码的构造,非本原,BCH,码的构造举例,以设计纠错能力,t=3,构造码长,n=21,的非本原,BCH,码。,1),、,n=21,，则：,n2,m,-1,取,m=6,，,n=21|(2,6,-1)=63,查表得,p(x,)=x,6,+x+1,，构造扩域,GF(2,6,),11/19/2024,17,信道编码,4.3 BCH,码的构造,BCH,码的构造,非本原,BCH,码的构造举例,2),、,GF(2,6,),上的,n=21,阶非本原元,63/21,=,3,当,t=3,时，,g(x),以,3,6,9,12,15,18,为连续根,查表获得,GF(2,6,),上根的最小多项式：,11/19/2024,18,信道编码,4.3 BCH,码的构造,非本原,BCH,码的构造举例,:,扩域,GF(2,6,),上的部分元素及其最小多项式：,根元素 最小多项式,M,1,(x)=x,6,+x+1,3,M,3,(x)=x,6,+x,4,+x,2,+x+1,5,M,5,(x)=x,6,+x,5,+x,2,+x+1,7,M,7,(x)=x,6,+x,3,+1,9,M,9,(x)=x,3,+x,2,+1,11,M,11,(x)=x,6,+x,5,+x,3,+x,2,+1,13,M,13,(x)=x,6,+x,4,+x,3,+x+1,15,M,15,(x)=x,6,+x,5,+x,4,+x,2,+1,21,M,21,(x)=x,2,+x+1,11/19/2024,19,信道编码,4.3 BCH,码的构造,BCH,码的构造,非本原,BCH,码的构造举例,3),、计算,BCH,码的生成多项式,g(x),g(x)=M,3,(x)M,9,(x)M,15,(x),=x,15,+x,13,+x,11,+x,10,+x,9,+x,8,+x,7,+x,5,+x,4,+x,3,+x,2,+x+1,11/19/2024,20,信道编码,4.3 BCH,码的构造,BCH,码的校验矩阵,设,g(x),是,(n,k,d)BCH,码的生成多项式，并且,g(x),以,2,2t,为连续根,设,C(x)=c,n-1,x,n-1,+c,n-2,x,n-2,+,+c,1,x+c,0,为该码的码多项式,则有：,C(x)=m(x)g(x),，,因此，,2,2t,也是,C(x),的根,即：,C(,i,)=c,n-1,(,i,),n-1,+c,n-2,(,i,),n-2,+,+c,1,i,+c,0,=0,i=1,2,2t,11/19/2024,21,信道编码,4.3 BCH,码的构造,BCH,码的校验矩阵,由,HC,T,=0,可得：,H,称为用生成多项式的根表示的校验矩阵,c,n-1,(,i,),n-1,+c,n-2,(,i,),n-2,+,+c,1,i,+c,0,=0,11/19/2024,22,信道编码,4.3 BCH,码的构造,BCH,码的校验矩阵,由于,i,和,2i,属于一个共轭根系，因此校验矩阵,H,可简化为：,11/19/2024,23,信道编码,4.3 BCH,码的构造,BCH,码的校验矩阵,BCH,码的校验矩阵,H,中的元素为扩域,GF(2,m,),上的元素，每个元素都可以表示成一个,m,重的列向量，则,H,可表示为一个,n,列,mt,行的,GF(2),上的矩阵。,该矩阵中只有,n-k,行是线性无关的，这,n-k,个线性无关的行向量即可构成,BCH,码的二进制表示的校验矩阵。,BCH,码的校验矩阵也可以采用循环码中介绍的方法得到。,11/19/2024,24,信道编码,4.3 BCH,码的构造,BCH,码的距离限*,作为了解内容仅给出几个结论。,定理,1(BCH,限,),：以,2,d-1,为根的,BCH,码的实际最小距离,d,Truth,至少为,d,。,11/19/2024,25,信道编码,4.3 BCH,码的构造,BCH,码的距离限*,定理,2,：码长为,n=2,m,-1,的本原,BCH,码，如果设计距离,d=2,h,-1,，,则实际距离,d,Truth,=d,。,定理,3,：设计距离为,d,的二元,BCH,码，其实际距离,d,Truth,2d,。,11/19/2024,26,信道编码,4.3 BCH,码的构造,课下作业：,1,、已知本原多项式,p(x)=x,4,+x,3,+1,，,构造码长,n=15,、,纠错能力,t=2,的本原,BCH,码，给出生成多项式,g(x),、,校验位个数,r,、,信息位个数,k,、编码效率,R,及扩域元素表示的校验矩阵,H,。,2,、,已知,2,6,-1=3x3x7,，,GF(2,6,),上部分元素的最小多项式为：,M,1,(x)=x,6,+x+1,，,M,3,(x)=,x,6,+x,4,+x,2,+x+1,，,M,5,(x)=x,6,+x,5,+x,2,+x+1,，,M,7,(x)=x,6,+x,3,+1,，,M,9,(x)=x,3,+x,2,+1,，,构造码长,n=9,、,纠错能力,t=1,的非本原,BCH,码，给出生