单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,7,重积分的应用,7 重积分的应用,1,2,1,求半径为,R,的球面与半顶角为,的内接锥面所围成的立体的体积。,4,5,6,9,10,曲面面积,8,3,主 目 录,（1 17）,7,21 求半径为R的球面与半顶角为 的内接锥面所围成的立体,2,13,14,11,15,求位于圆,r,=2sin,和圆,r,=4sin,之间的均匀薄片的重心,17,12,16,.,13141115 求位于圆r=2sin和圆r=,3,R,化为球系下的方程,r,=2,R,cos,.,.,M,r,z,0,x,y,=,1.,求半径为,R,的球面与半顶角为,的内接锥面所围成的立体的体积,R化为球系下的方程r=2R cos.Mrz 0 xy,4,D,xy,:,x,=0,y,=0,2,x+y,=4,。,。,2,直角坐标,。,4,0,y,x,D,xy,先选系,2.,上顶：,下底：,Dxy:x=0,y=0,2x+y=,5,2.,4,2,.,0,z,y,x,2.42.0z yx,6,2.,4,2,2,x+y=,4,.,0,z,y,x,2.422x+y=4.0z yx,7,2.,x=,0,4,4,2,2,x+y=,4,.,0,z,y,x,2.x=04422x+y=4.0z yx,8,2.,z=0,y=,0,z=0,y=,0,x=,0,4,4,2,2,x+y=,4,.,D,V=,.,.,.,0,z,y,x,2.z=0y=0z=0y=0 x=04422x+,9,D,xy,:,a,柱面坐标,r=a,cos,。,所围立体是曲顶柱体,D,xy,0,y,x,先选系,3.,上顶：,下底：,Dxy:a柱面坐标r=a cos。所围立体是曲顶柱体Dx,10,D,xy,:,。,。,a,r=a,cos,0,y,x,。,所围立体是曲顶柱体,D,用,瓦里斯公式,怎么计算？,柱面坐标,先选系,.,3.,Dxy:。ar=a cos0y x。所围立体是曲顶柱体,11,由对称性，考虑上半部分,z,x,y,o,.,3.,由对称性，考虑上半部分zxyo.3.,12,a,由对称性，考虑上半部分,.,3.,x,y,o,z,a由对称性，考虑上半部分.3.xyoz,13,z=0,a,x,y,z,o,。,V,。,。,。,维望尼曲线,。,。,由对称性，考虑上半部分,D,1,.,3.,z=0axyzo。V。维望尼曲线。由对称性，考虑上,14,a,a,x,z,y,0,4.,aaxz y04.,15,D,y,=,0,x,=0,a,a,a,a,x,o,y,D,.,.,.,.,x,z,y,0,.,.,.,4.,Dy=0 x=0aaaaxoyD.xz y0.,16,o,z,x,y,5.,ozxy5.,17,a,z=0,o,z,x,y,.,5.,az=0ozxy.5.,18,a,z=0,故立体,关于,x,轴对称,.,.,.,.,.,.,o,z,x,y,D,0,y,x,.,5.,a,az=0故立体关于x轴对称.ozxyD0y x.,19,2a,2a,0,x,z,y,a,.,L,联立,柱面坐标,用哪种坐标？,6.,2a2a0 xz ya.L联立柱面坐标用哪种坐标？6.,20,6.,2a,0,x,z,y,a,.,L,联立,D,.,.,.,柱面坐标,用哪种坐标？,.,6.2a0 xz ya.L联立D.柱面坐标用哪种坐标？.,21,x,z,y,0,1,立体关于,xoy,平面对称,解,7.,作上半块,立体图,1,xz y01立体关于xoy平面对称解7.作上半块立体图 1,22,1,x,z,y,0,立体关于,xoy,平面对称,解,7.,.,作上半块,立体图,1,1xz y0立体关于xoy平面对称解7.作上半块立体图,23,x,z,y,0,1,y,=1,1,立体关于,xoy,平面对称,作,上半块,立体图,1,.,.,.,.,解,7.,.,xz y01y=11立体关于xoy平面对称作上半块立体图,24,x,y,z,o,8.,xyzo8.,25,x,y,z,o,.,8.,xyzo.8.,26,。,D,D,。,。,V,用广义极坐标,。,D:r,1,z,=0,。,x,y,z,o,?,.,8.,。DD。V用广义极坐标。D:r 1,z=0,27,0,x,z,y,a,b,9.,0 xz yab9.,28,b,0,x,z,y,a,问题：,2 用哪种坐标系？,1 是不是曲顶柱体？,3 交线,L,的方程？,交线,L,.,.,.,柱系.,.,9.,V,=,上顶：,下底：,4,D,xy,?,D,xy,.,.,.,(球系？,需分块儿!),b0 xz ya问题：2 用哪种坐标系？1 是不是曲顶柱,29,引理,A,.,一般情况，将,A,分割成,若干个上述类型的小矩形，,对每一个用引理，,然后迭加,再取极限即可。,当,A,是矩形,l,证,且一边与,l,平行,则,也,是矩形,且,b,引理成立,.,a,注,：这里,即,两平面法矢量的夹角,证毕,10.,曲面的面积,引理A.一般情况，将A分割成当A是矩形,l证且一边与l平,30,10.,曲面的面积,x,z,y,0,z=f,(,x,y,),D,(,x,i,y,i,),P,i,.,10.曲面的面积xz y0z=f(x,y)D(xi,31,10.,曲面的面积,x,z,y,0,z=f,(,x,y,),D,.,(,x,i,y,i,),i,A,i,（由引理）,P,i,.,.,.,10.曲面的面积xz y0z=f(x,y)D.(xi,32,11.,x,y,z,o,1,11.xyzo1,33,1,x,y,z,o,1,.,11.,1xyzo1.11.,34,x,y,z,o,1,1,D,S,.,.,.,.,.,.,.,11.,xyzo11DS.11.,35,a,a,x,z,y,0,设圆柱面为,12.,考虑第一卦限,aaxz y0设圆柱面为12.考虑第一卦限,36,12.,D,a,a,.,.,x,z,y,0,a,a,x,o,y,D,.,.,.,.,.,设圆柱面为,.,12.Daa.xz y0aaxoyD.设圆柱面为.,37,13.,a,y,x,z,o,13.ayxzo,38,13.,x,y,z,o,D,S,=,共同的,D,:,.,.,.,13.xyzoDS=共同的 D:.,39,2,x,z,y,14.,o,2xzy14.o,40,14.,x,z,y,2,问题：,曲面向哪个坐标面投影？,.,o,只能向,xoz,平面投影,14.xzy2问题：.o只能向xoz平面投影,41,x,z,y,2,得,z,=2,.,D,xz,.,.,14.,o,其中，,xzy2得 z=2.Dxz.14.o其中，,42,x,z,y,2,D,xz,.,.,.,.,得,z,=2,.,14.,o,.,其中，,xzy2Dxz.得 z=2.14.o.其中，,43,.,x,o,y,1,2,15.,求位于圆,r,=2sin,和圆,r,=4sin,之间的均匀薄片的重心,.xoy1215.求位于圆 r=2sin 和,44,z,=0,y,x,z,o,球面坐标,a,.,.,.,用哪种坐标？,r=a,16.,.,z=0yxzo球面坐标a.用哪种坐标？r=a1,45,z,=0,y,x,z,o,柱面坐标,.,1,.,.,.,.,.,.,.,用哪种坐标？,17.,.,1,z=0yxzo柱面坐标.1.用哪种坐标？1,46,谢谢使用,返回首页,.,谢谢使用返回首页.,47,附,瓦,里斯公式,返回原页,附 瓦里斯公式返回原页,48,