23.4,三角形的中位线,23.4 三角形的中位线,1,如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均分给四个小朋友，要求四人所分的,形状大小相同,，请设计合理的解决方案。,新课导入,如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均分给四个小朋,2,温馨提示,连结三角形两边中点的线段叫,三角形的中位线,三角形有,三,条中位线,三角形的,中位线,和三角形的,中线,不同,E,D,F,A,C,B,你还能画出几条三角形的中位线？,温馨提示连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线三角形有三条,3,（,1,）,相同之处,都和,边的,中点,有关；,（,2,）不同之处,：,三角形中位线,的,两个端点,都是,边的中点,；,三角形中线,只有,一个端点,是,边的中点，,另一端点是三角形的顶点。,C,B,A,E,D,概念对比,C,B,A,D,中线,DC,中位线,DE,（1）相同之处都和边的中点有关；CBAED概念对比CBA,4,DE,和边,BC,关系,数量关系：,位置关系：,DEBC,DE=BC.,A,B,C,D,E,问题,1:ABC,中,若,D,是,AB,的中点时,E,也是,AC,的中点,则,DE,与,BC,存在何种关系,?,小组讨论,想一想,DE和边BC关系数量关系：位置关系：DEBCDE=,5,如图：在,ABC,中，,D,是,AB,的中点，,E,是,AC,的中点,.,则有：,DEBC,DE=BC.,2,1,E,A,B,C,D,说一说,如图：在ABC中，D是AB的中点，E是AC的中,6,E,A,B,C,D,F,解题分析,2:,延长,DE,到,F,使,EF=DE,连接,CF,易证,ADECFE,，,得,CF=AD,CF/AB,又可得,CF=BD,CF/BD,所以四边形,BCFD,是平行四边形,则有,DE/BC,DE=DF=BC,EABCDF 解题分析2:,7,解题分析,3.,A,B,C,D,E,B,C,A,D,E,F,证明：延长,DE,到,F,使,EF=DE,连接,FC,、,DC,、,AF,四边形,ADCF,是平行四边形,四边形,DBCF,是平行四边形,AE=EC,CF,DA,，,CF=DA,CF,BD,，,CF=BD,DF,BC,，,DF=BC,又,DE=DF,DE,BC,且,DE=BC,解题分析 3.ABCDEBCADEF证明：延长DE到F,使E,8,三角形中位线定理,三角形的中位线,平行,且,等于,第三边的一半,.,几何语言,：,DE,是,ABC,的中位线（或,AD=BD,AE=CE),C,E,D,B,A,证明,平行,问题,证明一条线段是另一条线段的,两倍,或,一半,用 途,三角形中位线定理 三角形的中位线平行且等于第三边的一半.几何,9,A,C,B,E,D,F,练习,1.,如图，在,ABC,中，,D,、,E,分别是,AB,、,AC,的中点,若,ADE=65,，则,B=,度，为什么？,若,BC=8cm,，则,DE=,cm,，为什么？,65,4,若,AC=4cm,BC=6cm,，,AB=8cm,，,则,DEF,的周长,=_,9cm,若,ABC,的周长为,24,，,DEF,的周长是,_,12,1,、三角形三条中位线围成的三角形的,周长,与原三角形的,周长,有什么关系？,探究活动,2,、三角形三条中位线围成的三角形的,面积,与原三角形的,面积,有什么关系？,图中有,_,个平行四边形,若,ABC,的面积为,24,，,DEF,的面积是,_,3,6,ACBEDF练习1.如图，在ABC中，D、E分别是AB、A,10,设 计 方 案：,F,（中点）,(,中点,)D,E(,中点,),A,B,C,设 计 方 案：F(中点)DE(中点)ABC,11,例 求证三角形的一条中位线与第三边上的中线,互相平分,.,已知：,ABC,中,AD=DB,，,BE=EC,，,AF=FC.,求证：,AE,与,DF,互相平分,.,F,A,B,C,D,E,证明,:,连接,DE,、,EF,，因为,AD=DB,，,BE=EC,，,所以,DE AC,（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半）。,同理,EF AB,。,所以四边形,ADEF,是平行四边形。,因此,AE,、,DF,互相平分。（平行四边形的对角线互相平分）,例 求证三角形的一条中位线与第三边上的中线 已知：,12,定理应用,已知,:,如图,A,B,两地被池塘隔开,在没有任何测量工具的情况下,小明通过学习,估测出了,A,B,两地之间的距离,:,先在,AB,外选一点,C,然后步测出,AC,BC,的中点,M,N,并测出,MN,的长,由此他就知道了,A,B,间的距离,.,你能说出其中的道理吗,?,C,M,B,A,N,其中的道理是,:,连结,A,、,B,MN,是,ABC,的的中位线,AB=2MN.,定理应用已知:如图,A,B两地被池塘隔开,在没有任何测量工具,13,中位线定理应用,已知：在四边形,ABCD,中，,AD,BC,，,P,是对角线,BD,的中点，,M,是,DC,的中点，,N,是,AB,的中点求证,1,2,中位线定理应用 已知：在四边形ABCD中，ADBC，P是,14,已知：如图，在四边形,ABCD,中，,E,、,F,、,G,、,H,分别是,AB,、,BC,、,CD,、,DA,的中点,.,猜想四边形,EFGH,的形状并证明。,A,B,C,D,E,F,G,H,E,，,F,是,AB,，,BC,的中点，你联想到什么？,要使,EF,成为一个三角形的中位线应怎样添加辅助线？,证明：如图，连接,AC,EF,是,ABC,的中位线,同理得：,四边形,EFGH,是平行四边形,典例示范,答：四边形,EFGH,为平行四边形。,已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是 A,15,巩固练习,1.,如图，点,D,、,E,、,F,分别是,ABC,的边,AB,、,BC,、,CA,的中点，以这些点为顶点，你能在,图中画出多少个平行四边形？,B,A,F,E,D,C,巩固练习1.如图，点D、E、F分别是ABC的边AB、BAF,16,2.,如图，,A,、,B,两点被池塘隔开，在,AB,外选一点,C,，连接,AC,和,BC,，怎样测出,A,、,B,两点的实际距离？根据是什么？,A,B,C,2.如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接A,17,课堂检测,:,1.,如图,在,ABC,中,BCAC,点,D,在,BC,边上,且,DC=AC,ACB,的平分线,CF,交,AD,于,F,点,E,是,AB,的中点,连接,EF,求证,:EF,是,ABD,的中位线,.,课堂检测:1.如图,在ABC中,BCAC,点D,18,如图，,l,1,/l,2,，,线段,AB/CD/EF,且点,A,、,C,、,E,在,l,1,上，,B,、,D,、,F,在,l,2,上，则,AB,、,CD,、,EF,的长短相等吗？为什么？,l,1,l,2,E,F,C,D,A,B,猜 一 猜,夹在两平行线间的平行线段相等。,如图，l1/l2 ，线段AB/CD/EF,19,2.,如图,在四边形,ABCD,中,AB,CD,且,CD,等于,AB,的一半。,E,是,BC,的中点,DE,交,AC,于点,F,求证,:DE,被,AC,平分,.,2.如图,在四边形ABCD中,ABCD,且,20,l,1,l,2,E,F,C,D,A,B,如图，,l,1,/l,2,，,点,A,、,C,、,E,在,l,1,上，,线段,AB,、,CD,、,EF,都垂直与,l,2,，垂足分别为,B,、,D,、,F,，则,AB,、,CD,、,EF,的长短相等吗？为什么？,一条,直线上的任一点,到,另一条直线的距离,，叫做这,两条平行线间的距离,。,平行线间的距离处处相等,它与点与点的距离、点到直线的距离的联系与区别,l1l2EFCDAB 如图，l1/l2 ，点A,21,如图，在平行四边形,ABCD,的一组对边,AD,、,BC,上截取,EF,MN,，连接,EM,、,FN,，,EM,和,FN,有怎样的关系？为什么？,巩固练习,A,B,C,D,E,F,M,N,如图，在平行四边形ABCD的一组对边AD、BC上截取EFM,22,小结,1,、,三角形中位线的定义,2,、,三角形中位线定理,连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线,三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半,3,、两条平行线间的距离,一条直线上的任一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离,平行线间的距离处处相等,小结1、三角形中位线的定义2、三角形中位线定理连接三角形两边,23,