单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,第六章 方差分析与试验设计,1第六章 方差分析与试验设计,2,本章教学目标,了解方差分析可以解决那些实际问题；,了解应用方差分析的基本条件；,掌握方差分析的基本概念及其分析方法；,试验设计。,2 本章教学目标了解方差分析可以解决那些实际问题；,3,某大型连锁超市为研究各种促销方式的效果，选择下属,4,个门店，分别采用不同促销方式，对包装食品各进行了,4,个月的试验。,试验结果如下：,超市管理部门希望了解：,不同促销方式对销售量是否有显著影响？,哪种促销方式的效果最好？,【,案例,1】,哪种促销方式效果最好,？,3某大型连锁超市为研究各种促销方式的效果，选择下属 4 个门,4,第一节 方差分析概述,一、方差分析（,Analysis of variance,ANOVA,）概念,:,通过检验各总体的均值是否相等来判断分类型自变量对数值型因变量是否有显著影响。,消费者对四个行业的投诉次数,零售业,旅游业,航空公司,家电制造业,57,68,31,44,66,39,39,51,49,29,21,65,40,45,34,77,34,56,40,58,53,51,44,4第一节 方差分析概述一、方差分析（Analysis,5,(2),因素和水平,记,A,B,C,为试验中状态发生变化的,因素,，,称因素在试验中所取的不同状态为,水平,。,设因素,A,有,a,个水平，记为,A,1,A,2, ,A,a,；因素,B,有,b,个水平，记为,B,1,B,2, ,B,b,等。,若试验中只有一个变动的因素，就称为单因素试验；,若有两个变动的因素，就称为双因素试验；,若有两个以上的变动因素，则称为多因素试验。,5 (2)因素和水平,6,二、方差分析的基本思想和原理,1,、图形描述,6二、方差分析的基本思想和原理1、图形描述,7,2,、误差分解,总误差（,SST,）,组内误差（,SSE,）,组间误差（,SSA,）,SST,：反映全部数据误差大小的平方和,SSE,：反映组内误差大小的平方和，只含随机误差。也称为组内平方和；误差平方和；残差平方和。,反映组间误差大小的平方和，只含随机误差和系统误差。也称组间平方和；因素平方和。,72、误差分解总误差（SST）组内误差（SSE）组间误差（S,8,3,、误差分析,（,1,）如果不同行业对投诉次数没有影响，,SSA,中只包括随机误差，而没有系统误差。,SSA,与,SSE,的平均后的数值比接近,1,；,（,2,）如果不同行业对投诉次数有影响，,SSA,中包括随机误差和系统误差。,SSA,与,SSE,的平均后的数值比大于,1,。,形式上的检验四个行业被投诉次数的均值是否相等问题,检验四个行业被投诉次数的差异主要由什么原因引起的？,系统误差？,83、误差分析形式上的检验四个行业被投诉次数的均值是否相等问,9,三、方差分析的基本假设,（,1,）每个总体都应服从正态分布，即对于因素的每一个水平，其观测值都是来自正态分布总体的简单随机样本。,（,2,）各个总体的方差,2,相同。,（,3,）观测值是独立的。,设因素,A,在水平,A,i,下的某项指标为总体,X,i,，则假定,X,i,N,(,i,2,),，,X,i,相互独立,9三、方差分析的基本假设（1）每个总体都应服从正态分布，即对,10,四、问题的一般提法,设因素有,k,个水平，每个水平的均值分别为,1,，,2,，,，,k,表示，要检验,k,个水平（总体）的均值是否相等，需要提出如下假设：,H,0,：,1,=,2,= =,k,H,1,：,1,2,，,，,k,不全相等,若拒绝,H,0,，就说明因素,A,对试验结果有显著影响，进一步还应确定使效果达到最佳的水平。,若不能拒绝,H,0,，则说明因素,A,对该项指标无显著影响，试验结果中的差异主要是由其他未加控制的因素和试验误差所引起的。,虽然可以用两两,t,检验法来检验各,i,间是否存在显著差异，但,t,检验无法检验多个因素间的交互效应，而这正是方差分析要解决的主要问题。,10四、问题的一般提法设因素有k个水平，每个水平的均值分别为,11,第二节 单因素方差分析,一、数据结构,观测值,(j),因素（,i,）,A,1,A,2,A,k,1,x,11,X,21,X,k1,2,x,12,X,22,X,k2,n,x,1n,X,2n,X,kn,11第二节 单因素方差分析一、数据结构观测值因素（i）A1A,12,二、分析步骤,1,、提出假设,H,0,：,1,=,2,= =,k,H,1,：,1,2,，,，,k,不全相等,2,、构造检验的统计量,（,1,）计算各样本的均值,12二、分析步骤1、提出假设,13,（,2,）计算全部观测值的总均值,（,3,）计算各误差平方和,（,a,）总平方和,SST(Sum of Squares for total),13（2）计算全部观测值的总均值（3）计算各误差平方和（a）,14,（,b,）组间平方和,SSA(Sum of Squares for factor A),（,c,）组内平方和,SSE(Sum of Squares for error),14（b）组间平方和SSA(Sum of Squares f,15,（,4,）计算统计量,由于各误差平方和的大小与观测值的多少有关，为了消除观测值多少对误差平方和大小的影响，需将其平均，即各平方和除以它们对应的自由度。,SST,的自由度为,n-1,；,SSA,的自由度为,k-1,；,SSE,的自由度为,n-k,。,SSA,的均方,组间均方或组间方差,SSE,的均方,组内均方或组内方差,检验统计量,F,15（4）计算统计量,16,3,、统计决策,判断因素的水平是否对其观测值有显著影响，实际上也就是比较组间方差与组内方差之间的差异大小。,F,(,n,1,n,2,),f,(,x,),x,0,拒绝域,F,F,：拒绝原假设，表明,i,之间的差异是显著的,F, F0.001(,k,-1,n-k,),，称因素,A,的作用极高度显著；,若,F, F0.01(,k,-1,n-k,),，称因素,A,的作用高度显著；,若,F,0.01 (,k,-1,n-k,) ,F,k,-1,n-k,),，称因素,A,的作用一般显著；,若,F, F0.05(,k,-1,n-k,),，则认为因素,A,的作用不显著。,174、方差分析表误差来源平方和(SS)自由度（df）均方（,18,可用,Excel,的【工具】“数据分析”“方差分析：单因素方差分析”,求解单因素方差分析问题。,案例,1,的方差分析表,其中：,P-value ,P,值，为检验中达到的显著性水平，,其含义与,t,检验中“,P(T=t),单尾”相同。,F crit ,在水平,（默认,0.05,）下拒绝域的临界值,F,。,P-value = 0.00014 0.05,因素,B,的,P-valu = 0.49 0.05,故温度和催化剂对该化工产品的得率都无显著影响,!?,案例,2,分析,31可用 Excel 【工具】“数据分析”“方差分析：无,32,显然，很可能是由于未考虑因素间的交互作用，才导致了错误的分析结果。,问题出在哪里？,以上结论既不符合实际情况，,也违背化学反应的,基本常识。,由本案例的试验数据可以明显看出，,温度和催化剂,不同搭配下的得率之间是存在显著差异的。,32 显然，很可能是由于未考虑因素间的交互作用，才导致,33,1.,考虑交互作用时的双因素试验,二、考虑交互作用的双因素方差分析,路段（列变量）,路段,1,路段,2,26,19,时,高,24,20,段,峰,27,23,（行,期,25,22,变,25,21,量）,20,18,非,17,17,高,22,13,峰,21,16,期,17,12,33 1. 考虑交互作用时的双因素试验二、考虑交互作用,34,34,35,影响某化工厂产品得率的主要因素是反应温度和使用的催化剂种类。为研究产品的最优生产工艺条件，在其他条件不变的情况下，选择了四种温度和三种催化剂，,在不同温度和催化剂的组合下各做了两次试验,，测得结果如下：,化工产品得率试验,(,%,),【,案例,2】,如何确定最优生产工艺？,35影响某化工厂产品得率的主要因素是反应温度和使用的催化剂种,36,可用,Excel 【,工具】“数据分析”“方差分析：可重复双因素分析” 求解考虑交互作用的双因素方差分析问题。,方差分析表,重新求解案例,2,36可用 Excel 【工具】“数据分析”“方差分析：可,37,运行结果分析,因素,A,的,P-value = 0.0298 0.05,因素,B,的,P-value = 0.0043 0.01,交互作用的,P-value = 8.3E-5 0.001,温度对得率有显著影响；,催化剂对得率的影响是高度显著的；,温度与催化剂的交互作用对得率的影响是极高度显著的。,这说明各种催化剂都有最佳的催化温度。,由本案例可知，如果因素间存在显著的交互作用而在方差分析时未加考虑，就会得出错误结论。,故对双因素和多因素方差分析，通常都应考虑交互作用。,37运行结果分析 因素 A 的 P-value =,38,进一步的分析,由,Excel,的运行输出结果还可得到各,可知,A,2,B,2,和,A,3,B,1,这两种组合可使得率最高，且这两种组合的平均得率之间,无显著差异,，而其他组合与它们之间都存在显著差异。,在使用第二种催化剂时，应将温度控制在,70,o,C,；,而使用第一种催化剂时，应将温度控制在,80,o,C,。,平均得率都可达到,96%,左右。,如下：,38进一步的分析 由 Excel 的运行输出结果还可得到各,39,第四节 试验设计,试验设计是以概率论和数理统计为理论基础，经济、科学地安排试验的一项实用技术，其主要内容讨论如何合理地安排试验和正确分析试验数据，从而达到尽快地获得优化方案的目的。,39第四节 试验设计试验设计是以概率论和数理统计为理论基础，,40,试验设计在,20,世纪初由英国的生物统计学家,R,A,Fisher,首创，,1935,年出版,试验设计,专著，从而开创了新的设计应用技术科学。,1949,年以日本田口玄一博士为首的研究人员，创造了用正交表安排分析试验的正交试验设计方法，并在日本迅速推广，创造了惊人的经济效益，成为现代试验设计中的主要方法之一。,我国从,60,年代末开始推广正交试验法，在机电、冶金、化工、仪表、轻工、纺织、医药等领域得到应用与发展，都取得显著的经济效益。但多数的企业，在产品试制、设计和生产中，凭经验或局部调试，而忽视试验优化设计，致使质量较差、单耗增加，甚至参数不配套。故有必要介绍试验设计的一般方法、概念和试验设计的具体应用。,40试验设计在20世纪初由英国的生物统计学家RAFish,41,一、单因素试验设计,1,、单调函数,对试验来讲，有两种可能性：,取值范围可能未能将最佳值包括在内，应进一步扩大取值范围；,在目前条件下，已满足目标要求，可就此而止。,a,b,x,y,y=f(x),0,y,a,b,x,y=f(x),0,41一、单因素试验设计1、单调函数abxyy=f(x)0ya,42,2,、单峰函数,在单因素试验设计中我们可以用均分法、取中法，分数法和,0.618,法等方法来进行试验设计安排，找出试验中的因素的最好值。,a,b,x,y,y=f(x),0,y,a,b,x,y=f(x),0,422、单峰函数abxyy=f(x)0yabxy=f(x)0,43,3,、,0.618,法的基本步骤,（,1,） 确定试验因数和试验取值范围,如果是单因素问题，重要的是正确确定取值范围。,如果是多因素问题，其中一个因素对目标要求影响最大，其他可以暂不考虑，也可当单因素问题，同样要正确确定这个因素取值范围。,433、0.618法的基本步骤（1） 确定试验因数和试验取值,44,（,2,）试验安排,在试验范围内，首先安排两个试验点，根据试验结果，去掉差的一点所在的一端整个范围，剩余部分继续如此作下去。,寻找好的点，直到满足目标要求为止。,44（2）试验安排在试验范围内，首先安排两个试验点，根据试验,(一) 取因子所有水平之间的组合,45,二、多因素试验设计,(一) 取因子所有水平之间的组合45二、多因素试验设计,46,二、多因素试验设计,（二）,简单对比法,其原理是利用单因素方法来解决多因素的问题，如有,N,个因素，就先将,N-1,个因素分别固定在一个水平上，只对第一个因素进行单因素优选，决定第一个因素的最好水平后，便将其固定在该水平上，并保持其余,N-2,个因素不变，再用单因素法对第二个因素进行优选。,依次顺序进行，找出好的效果的实验搭配。,46二、多因素试验设计（二）简单对比法其原理是利用单因素方法,如首先固定,B,、,C,于,Bl,、,Cl,，使,A,变化之：,A1B1C1 A2 A3 (,好结果,),如得出结果,A3,最好，则固定,A,于,A3,，,C,还是,Cl,，使,B,变化之：,B1A3C1 B2 (,好结果,) B3,得出结果以,B2,为最好，则固定,B,于,B2,，,A,于,A3,，使,C,变化之：,C1A3B2C2 (,好结果,) C3,试验结果以,C2,最好。于是就认为最好的工艺条件是,A3B2C2,。,47,如首先固定B、C于Bl、Cl，使A变化之： A1,48,首先这种方法的选点代表性很差，如按上述方法进行试验，试验点完全分布在一个角上，而在一个很大的范围内没有选点。因此这种试验方法不全面，所选的工艺条件,A3B2C2,不一定是,27,个组合中最好的。,其次，用这种方法比较条件好坏时，是把单个的试验数据拿来，进行数值上的简单比较，而试验数据中必然要包含着误差成分，所以单个数据的简单比较不能剔除误差的干扰，必然造成结论的不稳定。,48 首先这种方法的选点代表性很差，如按上述方,49,对于单因素或两因素试验，因其因素少 ，试验的设计 、实施与分析都比较简单 。但在实际工作中 ，常常需要同时考察,3,个或,3,个以上的试验因素 ，若进行全面试验 ，则,试验的规模将很大,，往往因试验条件的限制而难于实施 。,正交试验设计就是安排多因素试验 、寻求最优水平组合 的一种高效率试验设计方法。,正交试验设计的,基本特点是：用部分试验来代替全面试验，通过对部分试验结果的分析，了解全面试验的情况。,（三）正交试验法,49 对于单因素或两因素试验，因其因素少 ，试验的设计,50,正交表是按一定规律排出来的数字表格。表中数字排列具有均衡分散，搭配均匀的平等性即正交性。,利用正交表安排试验，叫正交试验法。,它可以达到试验次数少，试验效果好的目的。,正交表代号,正交表行数,（做实验的次数）,字码数,（因素的水平数）,正交表列数,（可安排最多因素数）,1,、正交表,50正交表是按一定规律排出来的数字表格。表中数字排列具有均衡,51,（,1,）正交表的解释,在试验安排中 ，每个因素在研究的范围内选几个水平，就好比在选优区内打上网格 ，如果网上的每个点都做试验，就是全面试验。如上例中，,3,个因素的选优区可以用一个立方体表示（图,10-1,），,3,个因素各取,3,个水平，把立方体划分成,27,个格点，反映在 图,10-1,上就是立方体内的,27,个“,.”,。若,27,个网格点都试验，就是全面试验，其试验方案如表,10-1,所示,。,51（1）正交表的解释在试验安排中 ，每个因素在研究的范围内,52,52,53,可以看到，,9,个试验点在选优区中分布是均衡的，在立方体的每个平面上，都恰是,3,个试验点；在立方体的每条线上也恰有一个试验点。,9,个试验点均衡地分布于整个立方体内，有很强的代表性， 能够比较全面地反映选优区内的基本情况。,53,54,（,2,）,正交试验的正交性的解释,均衡分散：,是指用正交表挑选出来的各因素水平组合在全部水平组合中的分布是均匀的 。 在立方体中 ，任一平面内都包含,3,个“,()”,， 任一直线上都包含,1,个“,()”,，因此 ，这些点代表性强 ，能够较好地反映全面试验的情况。,54（2）正交试验的正交性的解释 均衡分散：是指用正交表挑选,55,整齐可比,是指每一个因素的各水平间具有可比性。因为正交表中每一因素的任一水平下都均衡地包含着另外因素的各个水平 ，当比较某因素不同水平时，其它 因素的效应都彼此抵消。如在,A,、,B,、,C 3,个因素中，,A,因素的,3,个水平,A1,、,A2,、,A3,条件下各有,B,、,C,的,3,个不同水平，即：,55整齐可比是指每一个因素的各水平间具有可比性。因为正交表中,56,在这,9,个水平组合中，,A,因素各水平下包括了,B,、,C,因素的,3,个水平，,虽然搭配方式不同，但,B,、,C,皆处于同等地位，,当比较,A,因素不同水平时，,B,因素不同水平的效应相互抵消，,C,因素不同水平的效应也相互抵消。所以,A,因素,3,个水平间具有综合可比性。同样，,B,、,C,因素,3,个水平间亦具有综合可比性。,56在这9个水平组合中，A因素各水平下包括了B、C因素的3个,57,（,3,）正交表的类别,等,水平正交表,各列水平数相同的正交表称为等水平正交表。如,L,4,(2,3,),、,L,8,(2,7,),、,L,12,(2,11,),等各列中的水平为,2,，称为,2,水平正交表；,L,9,(3,4,),、,L,27,(3,13,),等各列水平为,3,，称为,3,水平正交表。,混合水平正交表,各列水平数不完全相同的正交表称为混合水平正交表。如,L,8,(42,4,),表中有一列的水平数为,4,，有,4,列水平数为,2,。也就是说该表可以安排一个,4,水平因素和,4,个,2,水平因素。再如,L,16,(4,4,2,3,),，,L,16,(42,12,),等都混合水平正交表。,57（3）正交表的类别等水平正交表 各列水平数相同的正交表,58,试验目的与要求,试验指标,选因素、定水平,因素、水平确定,选择合适正交表,表头设计,列试验方案,(1),试验方案设计,试验结果分析,2,、正交试验设计的基本程序,58试验目的与要求试验指标选因素、定水平因素、水平确定选择合,59,(2),试验结果分析,进行试验，记录试验结果,试验结果极差分析,计算,K,值,计算,k,值,计算极差,R,绘制因素指标趋势图,优水平,因素主次顺序,优组合,结 论,试验结果方差分析,列方差分析表，进行,F,检验,计算各列偏差平方和、自由度,分析检验结果，写出结论,59(2)进行试验，记录试验结果试验结果极差分析计算K值计算,60,3,、应用举例,某印刷电路板生产企业为降低电路板蚀刻断线不合格率，经质量活动分析，决定在关键工序,两单面板,LAYUP,时采用二次滚压新工艺，以防止产生气泡影响电路板蚀刻的合格率。,用正交试验确定工艺参数。,603、应用举例某印刷电路板生产企业为降低电路板蚀刻断线不合,61,（,1,）确定试验方案,考查指标：单位板子上气泡数，气泡数少为好。,（,a,）挑因素、选水平，制定因素水平表。,考虑工艺要求，温度、压力和速度,3,个因素，每个因素取,3,个水平，因素水平表如下：,因素,水平,A,温度（）,B,压力（,Pa,）,C,速度（,m/s,）,水平,1,70,40,0.4,水平,2,80,50,0.5,水平,3,90,60,0.6,61（1）确定试验方案考查指标：单位板子上气泡数，气泡数少为,62,因素水平表（随机处理后）,因素,水平,A,温度（）,B,压力（,Pa,）,C,速度（,m/s,）,水平,1,70,60,0.4,水平,2,90,40,0.6,水平,3,80,50,0.5,62因素水平表（随机处理后） 因素A温度（）B压力（,63,(b),利用正交表确定试验方案,先选水平；,再选因素；,选择,L,9,（,3,4,）正交表。,表头设计（把因素放到表头上）；,写出试验方案。,63(b)利用正交表确定试验方案先选水平；,64,试验方案设计,列号,试验,A,（温度）,1,B,（压力）,2,C,（速度）,3,D,4,1,1,1,1,1,2,1,2,2,2,3,1,3,3,3,4,2,1,2,3,5,2,2,3,1,6,2,3,1,2,7,3,1,3,2,8,3,2,1,3,9,3,3,2,1,64试验方案设计 列号,65,(c),进行试验,按规定的条件进行试验，并记录下试验结果。,试验顺序应随机选择。,65(c)进行试验按规定的条件进行试验，并记录下试验结果。,66,(2),试验结果分析,分清各因素及其交互作用的主次顺序，分清哪个是主要因素，哪个是次要因素；,判断因素对试验指标影响的显著程度；,找出试验因素的优水平和试验范围内的最优组合，即试验因素各取什么水平时，试验指标最好；,分析因素与试验指标之间的关系，即当因素变化时，试验指标是如何变化的。找出指标随因素变化的规律和趋势，为进一步试验指明方向；,了解各因素之间的交互作用情况；,估计试验误差的大小。,极差分析,方差分析,66(2)试验结果分析分清各因素及其交互作用的主次顺序，分清,67,K,jm,，,k,jm,计算简便，直观，简单易懂，是正交试验结果分析最常用方法。以上例为实例来说明极差分析过程。,直观分析法极差分析法,极差分析法,R,法,1.,计算,2.,判断,R,j,因素主次,优水平,优组合,K,jm,为第,j,列因素,m,水平所对应的试验指标和，,k,jm,为,K,jm,平均值。由,k,jm,大小可以判断第,j,列因素优水平和优组合。,R,j,为第,j,列因素的极差，反映了第,j,列因素水平波动时，试验指标的变动幅度。,R,j,越大，说明该因素对试验指标的影响越大。根据,R,j,大小，可以判断因素的主次顺序。,67Kjm，kjm 计算简便，直观，简单易懂，是正,68,直接看：,第,7,号试验,A,3,B,1,C,3,的气泡数为零，为最好试验条件。, 算一算：,计算,T,、,T,平均,选择最好的水平，因为是期望小值，所以最佳试验条件是：,A,3,B,1,C,2,，,与,A,3,B,1,C,3,比较相近。,计算极差,R,选择对试验结果影响最大的因素，本例中因素,B,的极差最大，所以因素,B,为,3,个因素中的最重要因素。,68 直接看：,69,1,（,A,）,2,（,B,）,3,（,C,）,4,（,D,）,试验结果,1,1,（,70,）,1,（,60,）,1(0.4),1,2,2,1,（,70,）,2,（,40,）,2(0.6),2,10,3,1,（,70,）,3,（,50,）,3(0.5),3,4,4,2,（,90,）,1,（,60,）,2 (0.6),3,1,5,2,（,90,）,2,（,40,）,3(0.5),1,12,6,2,（,90,）,3,（,50,）,1 (0.4),2,3,7,3,（,80,）,1,（,60,）,3(0.5),2,0,8,3,（,80,）,2,（,40,）,1 (0.4),3,9,9,3,（,80,）,3,（,50,）,2 (0.6),1,5,T1,16,3,14,T=46,Y(,平均,)=5.111,T2,16,31,16,T3,14,12,16,T1,平均,5.33,1.00,4.67,T2,平均,5.33,10.33,5.33,T3,平均,4.67,4.00,5.33,R,2,28,2,69 1（A）2（B）3,70,画柱状图：,70画柱状图：,71,进行方差分析,(ANOVA),极差分析法简单明了，通俗易懂，计算工作量少便于推广普及。但这种方法,不能将试验中由于试验条件改变引起的数据波动同试验误差引起的数据波动区分开来，,也就是说，不能区分因素各水平间对应的试验结果的差异究竟是由于因素水平不同引起的，还是由于试验误差引起的，,无法估计试验误差的大小。,此外，各因素对试验结果的影响大小无法给以精确的数量估计，不能提出一个标准来判断所考察因素作用是否显著。为了弥补极差分析的缺陷，可采用方差分析。,71进行方差分析(ANOVA)极差分析法简单明了，通俗易懂，,72,方差分析基本思想是将数据的总变异分解成因素引起的变异和误差引起的变异两部分，构造,F,统计量，作,F,检验，即可判断因素作用是否显著。,正交试验结果的方差分析思想、步骤同前,72 方差分析基本思想是将数据的总变异分解成因素引起,73,（三）有交互作用的正交试验法,在多因素试验中，不仅因素对指标有影响，而且因素之间的联合搭配也对指标产生影响。因素间的联合搭配对试验指标产生的影响作用称为交互作用。因素之间的交互作用总是存在的，这是客观存在的普遍现象，只不过交互作用的程度不同而异。一般地，当交互作用很小时，就认为因素间不存在交互作用。对于交互作用，设计时应引起高度重视。,在试验设计中，表示,A,、,B,间的交互作用记作,AB,，称为,1,级交互作用；表示因素,A,、,B,、,C,之间的交互作用记作,ABC,，称为,2,级交互作用；依此类推，还有,3,级、,4,级交互作用等。,73（三）有交互作用的正交试验法 在多因素试验中，不仅因素对,