单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第六章 梁的应力,6-2,梁的正应力强度条件及其应用,6-3,梁的合理截面形状及变截面梁（工程上提高弯曲强度的一些措施）,6-4,矩形截面梁的切应力,6-6,梁的切应力强度条件,6-1,梁的正应力（纯弯曲）,回顾与比较,内力,应力,F,S,M,6-1,（纯弯曲）梁的正应力,纯弯曲,梁段,CD,上，只有弯矩，没有剪力,纯弯曲,梁段,AC,和,BD,上，既有弯矩，又有剪力,横力弯曲,目录,6-1,（纯弯曲）梁的正应力,一、几何方面,a,a,b,b,m,n,n,m,平面假设：,横截面变形后保持为平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线，只是绕截面内某一轴线偏转了一个角度。,6-1,（纯弯曲）梁的正应力,m,a,a,b,b,m,n,n,凹入,一侧纤维,缩短,突出,一侧纤维,伸长,中间一层纤维长度不变,中性层,中性层与横截面的交线,中性轴,目录,设想梁是由无数,层纵向纤维组成,6-1,（纯弯曲）梁的正应力,胡克定理,建立坐标,二、物理方面,(6-1),(6-2),a,a,b,b,m,n,n,m,o,o,y,6-1,（纯弯曲）梁的正应力,离中性层越远，线应变越大，曲率,1/,（弯曲程度）越大，同一位置线应变越大。,三、静力学方面,(6-5),F,N,、,M,y,、,M,z,6-1,（纯弯曲）梁的正应力,EI,Z,弯曲刚度,正应力公式,变形几何关系,物理关系,静力学关系,为梁弯曲变形后的曲率,为曲率半径,，,6-1,（纯弯曲）梁的正应力,(6-6),正应力分布,M,M,与中性轴距离相等的点，正应力相等；,正应力大小与其到中性轴距离成正比；,中性轴上,正应力等于零,6-1,（纯弯曲）梁的正应力,常见截面的,I,Z,和,W,Z,圆截面,矩形截面,空心圆截面,空心矩形截面,6-1,（纯弯曲）梁的正应力,弹性力学精确分析表明，当跨度,l,与横截面高度,h,之比,l/h,5,（细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。,横力弯曲,6-1,（纯弯曲）梁的正应力,横力弯曲正应力公式,横力弯曲最大正应力,6-1,梁的正应力,细长梁的,纯弯曲,或,横力弯曲,横截面惯性积,I,YZ,=0,弹性变形阶段,公式适用范围,例,6-1,6-1,梁的正应力,长为,l,的矩形截面梁，在自由端作用一集中力,F,，已知，,h=0.18m,，,b=0.12m,，,y=0.06m,a=2m,，,F=1.5kN,。试求,C,截面上,K,点的正应力。,解：先算出,C,截面上的弯矩,截面对中性轴（水平对称轴）的惯性矩为：,例,6-1,6-1,梁的正应力,长为,l,的矩形截面梁，在自由端作用一集中力,F,，已知，,h=0.18m,，,b=0.12m,，,y=0.06m,a=2m,，,F=1.5kN,。试求,C,截面上,K,点的正应力。,根据公式：,代入公式时，不考虑正负号。,C,截面弯矩为负，,K,点位于中性轴上面，所以,K,点应力为拉应力。,弯曲正应力强度条件,1.,等截面梁弯矩最大的截面上,2.,离中性轴最远处,4.,脆性材料,抗拉和抗压性能不同，两方面都要考虑,3.,变截面梁要综合考虑 与,6-2,梁的正应力强度条件及其应用,根据弯曲正应力强度条件,1.,强度校核,2.,选择截面,3.,计算梁所能承载的最大荷载,6-2,梁的正应力强度条件及其应用,F,AY,F,BY,B,A,l=,4,m,q=,2kN/m,x,C,x,m,M,x,210,140,1.,求支反力,解：,例题,6-2,6-2,梁的正应力强度条件及其应用,=10MPa,，试校核该梁的强度。,2.,求最大弯矩,最大正应力为：,满足强度要求。,例题,6-4,6-2,梁的正应力强度条件及其应用,简支梁上作用两个集中力，已知,l=6m,，,F1=15kN,，,F2=21kN,。如果梁采用热轧普通工字钢，钢的许用应力,=170MPa,，试选择工字钢的型号。,解：先画出弯矩图，最大弯矩发生在,F,2,作用截面上，其值为,38kN,m,。根据强度条件，梁所需的弯曲截面系数为：,例题,6-4,6-2,梁的正应力强度条件及其应用,根据算得的,W,Z,值，在附录型钢表上查出与该值相近的型号，就是我们所需的型号。,注意：选择的工字钢型号,W,Z,值一般要求,计算值，才能满足强度要求。,附录,A,，附表,4,，,P232,页。,查出,20a,钢,相近,WZ,值,237cm,3,，故选择,20a,号工字钢。,如选取的工字钢,W,Z,值略小于计算值，则应再校核下强度，当,max,不超过,的,5%,时，还是满足工程需要的。,6-2,梁的正应力强度条件及其应用,例题,6-5,一,形截面的外伸梁如图所示，已知,l=600mm,，,a=40mm,，,b=30mm,，,c=80mm,，,F,1,=24kN,F,2,=9kN,材料的许用应力,t,=30MPa,，许用压应力,c,=90MPa,。试校核梁的强度。,解：先画出弯矩图。需算出形心,C,的位置及截面对中性轴的惯性矩，算得结果为：,6-2,梁的正应力强度条件及其应用,因材料的抗拉与抗压性能不同，截面对中性轴又不对称，所以需对最大拉应力与最大压应力分别进行校核。,（,1,）校核最大拉应力,由于截面对中性轴不对称。而正负弯矩都存在，因此，最大拉应力不一定发生在弯矩绝对值最大的截面上。应该对最大正弯矩和最大负弯矩两个截面上的拉应力进行分析比较。,6-2,梁的正应力强度条件及其应用,在最大正弯矩的,C,截面上，最大拉应力发生在截面的下边缘，其值为,在最大负弯矩的,B,截面上，最大拉应力发生在截面的上边缘，其值为,6-2,梁的正应力强度条件及其应用,在上面两式中，,M,C,M,B,而,y,2,y,1,，应比较,M,C,y,2,与,M,B,y,1,：,C,B,因,M,C,y,2,方形,圆形,由此推断：工字型截面优于矩形截面。,6-3,变截面梁形状及变截面梁,换个角度思考：,W,Z,值与截面高度和面积分布有关，截面高度越大、面积分布离中性轴越远的话，,W,Z,值就越大，这也是工字型形梁更合理的主要原因之一。,M,从应力角度分析：,6-3,变截面梁形状及变截面梁,二、变截面梁,B,A,l=,4,m,q=,2kN/m,x,C,x,m,M,x,变截面梁,横截面沿梁轴线变化的梁,等强度梁,梁强度沿轴线均匀分布,6-3,变截面梁形状及变截面梁,当荷载比较复杂时，等强度梁难以加工，增加了加工制造成本，一般很少采用等强度梁。,6-3,变截面梁形状及变截面梁,B,A,l,F,AY,F,BY,x,2,x,1,C,F,a,b,M,x,6-4,矩形截面梁的切应力,x,d,x,x,y,P,m,q(x),A,B,m,n,m,1,n,1,分几种截面形状讨论弯曲切应力,一、矩形截面梁切应力,1,、横截面上各点的切应力方向平行于剪力,2,、切应力沿截面宽度均匀分布,关于切应力的分布作两点假设：,Fs,b,h,y,m,n,m,1,n,1,O,p,1,q,1,p,dx,x,y,z,6-4,矩形截面梁的切应力,一、矩形截面梁,切应力计算公式：,（,6-11,）,式中，,F,S,-,横截面上的剪力；,I,Z,-,截面对中性轴的惯性矩；,b-,截面的宽度；,S,Z,-,为面积,A,*,对中性轴的静矩。,A*,是过欲求应力点的水平线到截面边缘间的面积。,K,F,S,、,S,Z,均代绝对值，切应力方向依剪力方向确定。,6-4,矩形截面梁的切应力,二、矩形截面梁切应力分布,公式中，对某一截面来说，,F,S,、,I,Z,、,b,均为常数，只有静矩是变量。,6-4,矩形截面梁的切应力,二、矩形截面梁切应力分布,抛物线,当,y=h/2,=0,当,y=0,max,中性轴上切应力最大，上下边缘为,0,，和正应力相反。,6-4,矩形截面梁的切应力,二、矩形截面梁切应力分布,矩形截面上最大切应力为平均切应力的,1.5,倍。,6-4,矩形截面梁的切应力,例,6-6,矩形截面简支梁如图所示，已知，,l=3m,，,h=160mm,，,b=100mm,，,h,1,=40mm,，,F=3kN,。试求,m-m,截面上,K,点的切应力。,解：首先求得,m-m,截面上的剪力为,3kN,，截面的惯性矩及面积,A,*,对中性轴的静矩分别为：,6-4,矩形截面梁的切应力,例,6-6,矩形截面简支梁如图所示，已知，,l=3m,，,h=160mm,，,b=100mm,，,h,1,=40mm,，,F=3kN,。试求,m-m,截面上,K,点的切应力。,K,点的切应力为,6-6,梁的切应力强度条件,如前所述，对某一横截面来说，最大切应力发生在中性轴上，最大值为：,对全梁来说，最大切应力发生在剪力最大的截面上，即,强度条件为：,对梁校核时，要同时满足正应力、切应力强度条件，二者有主次，一般以正应力强度设计为主，选好截面后再通过切应力条件校核。,6-6,梁的切应力强度条件,解：分别检查正应力和切应力。最大正应力、最大切应力分别发生在最大弯矩与最大剪力的截面上，,W,Z,、,b,及,S,Z,max,均可在型钢表中查得（,P232,）。,例,6-8,一外伸工字形钢梁，工字钢的型号为,22a,，梁上荷载如图所示。已知，,l=6m,，,F=30kN,，,q=6kN/m,，材料的许用应力,=170MPa,、,=100MPa,。试检查此梁是否安全。,从附表,4,中查得：,6-6,梁的切应力强度条件,最大正应力为：,最大切应力为：,所以梁安全。,剪力图、弯矩图如右所示：,6-6,梁的切应力强度条件,例,6-9,为使一矩形截面的简支梁,AB,能承受较大的集中力,F,，在,AB,梁的对称位置上加一小梁,CD,。已知，,l=4m,，,F=13kN,，,AB,梁的高,h=180mm,，宽,b=120mm,，材料的许用应力,=10MPa,、,=2.2MPa,。试求小梁,CD,的最小长度,l,1,。,6-6,梁的切应力强度条件,分析：加,CD,梁前后,AB,梁受力图如右：,l,1,a,M,max,=Fa/2,最合理的,l,1,值是,AB,梁,C(D),截面最大正应力达到许用应力。,6-6,梁的切应力强度条件,即,又,所以,得：,所以,再校核梁的切应力。,AB,梁最大剪力为,F/2=6.5kN,。,