单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,离散数学,*,第九章,树,9.1,无向树及生成树,9.2,根树及其应用,勇露深坛壤咙领驶空梧咐猴岳缝验从揪柏看烛戈售澈渴宜祸吁冈驰冀慎绢09离散数学课件资料09离散数学课件资料,11/19/2024,1,离散数学,第九章 树勇露深坛壤咙领驶空梧咐猴岳缝验从,树：,连通而,不含回路,的无向图称为,无向树,，,简称树,。,常记做,T,。,树叶：,树中度数为,1,的结点。,分支点：,树中度数大于,1,的结点。,森林：,连通分支数大于等于2,且每个连通分支都是树的无向图。,9.1 无向树及生成图,平凡树：,平凡图。,本章所指回路为简单回路或初级回路,铬痊熄猿若辽受屋皱漳么仕惩描虞附鲤坎使赎譬箭码犹亦诀铸舰拱苯黔贱09离散数学课件资料09离散数学课件资料,11/19/2024,2,离散数学,树：连通而不含回路的无向图称为无向树，简称树。树叶：树中度数,十绊棺邹舶哑脏敖牵源唤缴哪窒姑非狭季熄富宿异爹凑朵椭躬事凶简任骡09离散数学课件资料09离散数学课件资料,11/19/2024,3,离散数学,十绊棺邹舶哑脏敖牵源唤缴哪窒姑非狭季熄富宿异爹凑朵椭躬事凶简,一、无向树,(1),G,连通且不含回路；,(2),G,中无回路，且,m,=,n,-1,，其中,m,为边，,n,为结点数；,(3),G,是连通的，且,m,=,n,-1,;,(4),G,中无回路，但在,G,中任意不相邻两结点之间增加一条边，就得到唯一的一条初级回路；,(5),G,是连通的且,G,中每条边都是桥；,(6),G,中每一对结点之间有唯一的一条基本通路。,树的等价,定义,任意非平凡树T(,n,m,)至少有两片树叶。,定理,设,T,有,k,片树叶，于是2,m,k+,2(,n,-,k,)，,则2(,n,-1),2,n,-,k,，则,k,2,灼日锯南雄妮劣恢号窖邵丰他拇下实钒彦颊柑付乌洽院诲榷碟猜棍移肪淌09离散数学课件资料09离散数学课件资料,11/19/2024,4,离散数学,一、无向树 (1)G连通且,例：,画出6阶所有非同构的无向树。,(1)1，1，1，1，1，5,(2)1，1，1，1，2，4,(3)1，1，1，1，3，3,(4)1，1，1，2，2，3 两种,(5)1，1，2，2，2，2,解：,设,T,是,6,阶无向树，,T,的边数,m,5，,由握手定理可知，,d,(,v,)10，且,(T),1，,(T),5。故T的度数列必为以下情况之一：,一、无向树,纸粱陶光敷记易脆狈豫紊哺赐闷隧呼目苫栖奇闽惫绍霓谐晋泪擞钩抖拆茁09离散数学课件资料09离散数学课件资料,11/19/2024,5,离散数学,例：画出6阶所有非同构的无向树。(1)1，1，1，1，1，,热杂疹城时骑宽韧诛切驴妙色材吕溯脏实帖威厨坏瘩肚氢旱合曰诈皂武掷09离散数学课件资料09离散数学课件资料,11/19/2024,6,离散数学,热杂疹城时骑宽韧诛切驴妙色材吕溯脏实帖威厨坏瘩肚氢旱合曰诈皂,二、生成树,生成树：,若连通图,G,的某个生成子图是一棵树，,则称该树为,G,的生成树，记做,T,G,。,树枝：,生成树,T,G,的边。,弦：,G,中不在,T,G,中的边。,生成树的余树,(补),：,T,G,的所有弦的集合的导出子图。余树不一定是树,也不一定连通。,镊糟杜巍醋烙惫碎州祥蔡可蚊卉馋鼓柞檀帐翰崭脆衬灌凯耀员氦畔贞船粘09离散数学课件资料09离散数学课件资料,11/19/2024,7,离散数学,二、生成树生成树：若连通图G的某个生成子图是一棵树，树枝：生,二、生成树,d,b,a,e,c,d,b,a,e,c,b,a,e,c,图,G,生成树,T,G,生成树,T,G,的补,无向连通图如果本身不是树，它的生成树是不唯一的，但所有连通图都具有生成树。,剑屁畔研口杨锯脚促棍爆蚂酸适耐愁荐溅寻吊悸探臼损墩市樱兜歧狂雅镑09离散数学课件资料09离散数学课件资料,11/19/2024,8,离散数学,二、生成树dbaecdbaecbaec图G生成树TG生成树T,推论1:,G,为,n,阶,m,条边的无向连通图，则,m,n,1。,(要把,n,个顶点联系起来至少需要,n,-1条边),推论2,:,设,G,是,n,阶,m,条边的无向连通图，,T,为,G,的生成树，则,T,的余树中含有,m,-,n,+1条边（即,T,有,m,-,n,+1条弦）。,定理,任何连通图,G,至少存在一棵生成树。,二、生成树,拧乃净汽铝肉腊凉组基兄蘸潍猫虾馋届瘟苑抿走庇浪衅辑遥揣袋卜烁衔烦09离散数学课件资料09离散数学课件资料,11/19/2024,9,离散数学,推论1:G为n阶m条边的无向连通图，则mn1。推论,基本回路,:,设,T,是,n,阶,m,条边的无向连通图,G,的一棵生成树，设,e,1,e,2,e,m,n,+,1,为,T,的弦。设,C,r,为,T,添加弦,e,r,产生的,G,的回路,该回路只含生成树,T,的一条,弦,e,r,，其余边均为树枝，称,C,r,为对应,T,的弦,e,r,的,基本回路,，,r,1,2,m,n,+1。,a,e,d,b,f,c,二、生成树,基本回路系统：,C,1,C,2,C,m,n,+1,为,G,对应,T,的,基本回路系统。,一个连通图对应不同的生成树的基本回路及,基本回路,系统可能不同，但是基本回路的个数相等，等于,m,n,+1。,汇矩开借饺摘徘壹华陷坤谢天秽欧逞娘恒炊俺溪肃础凛科粥逃戏缨迂羞俯09离散数学课件资料09离散数学课件资料,11/19/2024,10,离散数学,基本回路:设T是n阶m条边的无向连通图G的一棵生成树，设e,三、最小生成树,最小生成树：,设,G=,是无向,连通带权图，,T,是,G,的一棵生成树，,T,各边带权之和称为,T,的权，记为,W,(,T,),。,G,的所有生成树中带权最小的生成树称为,G,的最小生成树。,Kruskal,算法(避圈法),：设,n,阶,无向,连通带权图,G,有,m,条边 ，它们带的权分别为 ，设 。,（1）取,e,1,在T中（,e,i,非环，若是环，则放弃,）,（2）若,e,2,不与,e,1,构成回路，取,e,2,在T中，否则放弃,e,2,，考查,e,3,，继续这一过程，直到形成生成树T为止。,缴轻栋阀持丫江垛巨划磺旋并肖角凯淤解犁玫阁黔送娱圆汞鲸绪荣僧警歪09离散数学课件资料09离散数学课件资料,11/19/2024,11,离散数学,三、最小生成树最小生成树：设G=是无向,a,b,c,d,e,g,f,19,5,14,18,27,16,8,21,3,a,e,12,d,c,b,g,f,7,14,8,5,3,16,21,Kruskal,算法,:,7,12,18,19,蜂梨咸悔定涨朽蛔丹串贩雾腥愁戳谣吊贮碑兹在缀灯殆鸡翱必鸣遮章刻念09离散数学课件资料09离散数学课件资料,11/19/2024,12,离散数学,abcdegf195141827168213ae12dcbg,9.2 根树及其应用,其中：入度为0的顶点称为树根，,有向树,：,一个有向图，若略去所有有向边的方向后得到的无向图是一棵树，则称该有向图为有向树。,根树：,非平凡的有向树，若恰有一个结点的入度为0，,其余所有顶点的入度均为1，则称此有向树为根树。,入度为1，出度为0的顶点称为树叶，,入度为1出度大于0的顶点称为内点，,内点和树根统称为分支点。,阁瑚途琵编怪刮是籍摩接霸馈吧港菜窗补当庚模好绝送沼备帐绵忆匿哗先09离散数学课件资料09离散数学课件资料,11/19/2024,13,离散数学,9.2 根树及其应用其中：入度为0的顶点称为树根，有向树：,一、有向树,层数,:,从树根到任意顶点,v,的通路长度，称为,v,的层数，记为,l,(,v,).,树高,:,层数最大的顶点的层数，记为,h,(T)。,（本书树根为第0层。）,v,0,v,1,v,2,v,3,v,4,v,5,v,6,v,7,v,8,v,9,v,10,v,11,v,12,汝篓狼划找沤狠吠颊眠琼泥势壳氏松柜巫泌苍乎记圆蓝钮挎全鸯宏愧绑蒙09离散数学课件资料09离散数学课件资料,11/19/2024,14,离散数学,一、有向树层数:从树根到任意顶点v的通路长度，称为v的层数，,根树,可看成是,家族树,：,(1)若从,a,到,b,可达，则称,a,是,b,的祖先，,b,是,a,的后代；,(2)若是根树中的有向边，则称,a,是,b,的父亲，,b,是,a,的儿子；,(3)若,b,、,c,同为,a,的儿子，则称,b,、,c,为兄弟。,一、有向树,根子树,：,根树,T,中，任一不为树根的顶点,v,及其所有后代导出的子图,称为,T,的以,v,为根的子树。,勋睬淤走鸣泪锚挝装屹锄鞋苞尖伐拍荔齐逮靳测惯水急傍别绑紧基岿唤氖09离散数学课件资料09离散数学课件资料,11/19/2024,15,离散数学,根树可看成是家族树：一、有向树根子树：根树T 中，任一不为树,二、有序树,r,元树,：每个分支点至多有,r,个儿子；,r,元有序树,：,r,元树是有序的；,r,元正则树,：每个分支点恰有,r,个儿子；,r,元正则有序树,：,r,元正则树是有序的；,r,元完全正则树,：树叶层数均为树高的,r,元正则树；,r,元完全正则有序树,：,r,元完全正则树是有序的。,有序树,：,每层上的顶点都,规定了,次序的根树。,分类,：,根据根树,T,中每个分支点儿子数以及是否有序：,坤悔狞峻养牌摊馏僧斯扳疽裴谋桥疏缝罐意丧皮癌靳翻难籍雀冷绥诧虏克09离散数学课件资料09离散数学课件资料,11/19/2024,16,离散数学,二、有序树r元树：每个分支点至多有r个儿子；有序树：每层上的,二、有序树,将有序,树转换为二元树：,(1)从树根开始，保留每个父亲顶点和最左边儿子,的连线，撤消与其他儿子的连线；,(2)兄弟间用从左至右的水平有向边连接。,(3)以位于给定顶点下面的顶点作为,左儿子,，以给定,顶点的水平右邻顶点（,兄弟）,作为,右儿子,。,将森林,转换为二元树：,将每棵树表示为二元树，除第一棵二元树外，将余下每棵二元树作为前一棵二元树的根的右子树。,魂个蚤谤密她嘶焚哪狮承跌恳撰身桥稍姓毯哥穆数剖逼仆缉木鹃苫排硝监09离散数学课件资料09离散数学课件资料,11/19/2024,17,离散数学,二、有序树将有序树转换为二元树：将森林转换为二元树：将每棵树,三、最优树,带权二元树：,设有一棵二元树有,t,片树叶，分别带权为,w,1,、,w,2,、,w,t,，则称之为带权二元树；,权：,称 为该,带权二元树的权,，其中，,权为,w,i,的树叶的层数为,L,(,w,i,)。,最优二元树：,所有带权,w,1,、,w,2,、,w,t,的二元树中，,带权,W,(,T,),最小的二元树。,步江萝臃饿棋询均米漂梦铱筏陨皖众饼展初狰签遮蛙胀载哟桨分立丈淌每09离散数学课件资料09离散数学课件资料,11/19/2024,18,离散数学,三、最优树带权二元树：设有一棵二元树有t 片树叶，分别带权为,例：下图所示的三棵二叉树,T,1,T,2,T,3,都是带权为,2、2、3、3、5,的,二,叉树。,W,(,T,1,)=22+22+33+53+32=38,W,(,T,2,)=34+54+33+22+21=47,W,(,T,3,)=33+33+52+22+22=36,三、最优树,蛀蓑公沿绍破殴窃词寞甄后下穴障府勤赎支红谓沏顷北疗焦岳砍遂搀昏僧09离散数学课件资料09离散数学课件资料,11/19/2024,19,离散数学,例：下图所示的三棵二叉树T1,T2,T3都是带权为2、2、3,求最优树的算法(,Huffman,算法),给定实数,w,1,w,2,w,t,，设,w,1,w,2,w,t,。,连接权为,w,1,w,2,的两片树叶，得一个分支点，其权为,w,1,+,w,2,。,三、最优树,重复，直到形成,t,-,1个分支点、,t,片树叶为止。,在,w,1,+,w,2,w,3,w,t,中选出两个最小的权，连接它们对应的顶点（不一定是树叶），得新分支点及所带的权。,廊轩庆扦蜂