单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,线性代数与解析几何,第二十四讲,哈工大数学系代数与几何教研室,王 宝 玲,9.2,实二次型,第九章 二次型与二次曲面,1,线性代数与解析几何 第二十四讲哈工大数学系代数与几何教研,1.定义1,n,个变量,x,1,x,2,x,n,的二次齐次,多项式,称为,n,元,二次型,其中,当系数,a,ij,都是实数时,称为,实二次型,;,含有复数时,称为,复二次型.,本书只讨论,实二次型.,9.2.1,二次型定义及矩阵表示,2,1.定义1 n个变量x1,x2,xn的二次齐次称,如果将,(1),式中的二次型展开,有,2.矩阵形式,3,如果将(1)式中的二次型展开,有2.矩阵形式3,则二次型可以矩阵乘积形式表述,其中,对称矩阵,A,称为,二次型的矩阵,.,R,(,A,),=,二次型,f,的秩.,4,则二次型可以矩阵乘积形式表述其中对称矩阵A称为二次型的矩阵.,将三元二次型,例1,写成矩阵形式.,解,二次型,f,的矩阵应为,3,阶对称阵,3.,二次型,与,对称矩阵,之间存在,一一对应,关系,5,将三元二次型例1写成矩阵形式.解二次型 f 的矩阵应为3阶对,例2,设,写出以,A,为矩阵的,二次型.,解,设,6,例2 设写出以A为矩阵的二次型.解 设6,B,=,C,T,AC,则称,A,与,B,合同.,9.1.2,合同,矩阵(,化简二次型),矩阵,合同,的定义与矩阵相似的定义很类似,合同也是,n,阶方阵之间的一种等价关系,即,2.,合同 等价,合同 等秩,3.,合同关系具有三性:,自反性;对称性;传递性.,1.定义2,给定两个,n,阶方阵,A,和,B,如果,可逆方阵,C,使得,7,B=CTAC 9.1.2 合同矩,而对任何实对称矩阵,A,存在一个正交,阵,P,使得,P,T,AP,=,P,-,1,AP,=,对角阵,.,所以任何实对称矩阵,A,都与,对角阵合同.,4,.实对称阵一定与对角阵合同:,8,而对任何实对称矩阵A,存在一个正交4.实对称阵一定与对,例3,与矩阵,既相似又合同的,矩阵是(,).,解,A,的特征值为,0,-,3,4,.,又,因为,A,是实对称阵，,所以与,A,既相似又合同的矩阵是,(D).,9,例3 与矩阵既相似又合同的矩阵是().解A的特征值为0,9.3,化实二次型,为,标准形,下面研究可以用三种方法化,实二次型,为,标准形.,项 没有混合项 的二次型.,注意到二次型的矩阵是实对称矩阵,所以任何实二次型都可通过一个适当,的可逆线性变换以化简为,只含有平方,10,9.3 化实二次型为标准形 下面研究可以用三种方法,f,=,X,T,AX,X=CY,f,=,Y,T,Y,A,(,实对称阵,),C,T,AC,=,目的:,化简,-,为,对角阵,保留性质,-,C,是可逆阵,X=CY,是,可逆,变换,C,是正交阵,X=CY,是,正交,变换,C,T,AC=,是,合同,C,T,AC=,是,正交合同,(,对角阵,),C,T,AC,f,化为,标准形,1.,问题的提出:,找可逆,C,:,找可逆,C,:,找可逆,C,:,11,f=XTAXX=CYf=YTYA(实对称阵)CTAC,只含平方项的二次型:,对应矩阵对角阵,秩非零项个数.,3,.可逆变换:,设,C,是可逆阵,称变量,之间的变换,X=CY,为可逆线性变换.若,C,是正交阵,称上述变换为正交,(,线性,),变换.,2.,标准二次型(标准形):,4,.,二次型的化简:,给定,f,=,X,T,AX,经过可逆的,线性变换,X=CY,使,f,=,Y,T,Y,化为,标准形,.,12,只含平方项的二次型:对应矩阵对角阵,秩非零项个数.3.可,定理9.1,对任意,n,元,实二次型,f,=,X,T,AX,可经过正交线性变换,X=PY,化为,标准型,:,f,=,1,y,1,2,+,2,y,2,2,+,n,y,n,2,其中,1,2,n,是,A,的,n,个特征值,.,9.2.1,正交变换化实二次型为标准形,思考题,:,在正交变换下的标准形是否唯一?,P,是否,唯一?,不考虑系数次序时是唯一的.,但,P,不唯一.,13,定理9.1 对任意n元实二次型9.2.1 正交变换化实二次型,变换矩阵,P,是个正交阵,是由矩阵,A,的,特征向量经过,Schmidt,正交化得到的.,这样,正交,线性变换,X=PY,得到,f,的标准,形中,平方项的系数恰是,A,的特征值.,注意,:,对角阵中特征值的顺序,和对应的,特征向量在,P,中的排列顺序一致.,14,变换矩阵P 是个正交阵,是由矩阵A的14,试将下列二次型化为标准形,解,(1),二次型,f,的矩阵为,A,的特征多项式为,例4,15,试将下列二次型化为标准形解 (1)二次型 f 的矩阵为,得到,A,的特征值,(3),对特征值,1,=5,求解方程组,得到基础解系,:,1,=(1,1,1),T,(2),16,得到A的特征值(3)对特征值1=5 求解方程组得到基础解,对特征值,2,=,-,1,求解方程组,得到基础解系,:,2,=(1,0,-1),T,3,=(,0,1,-1),T,将,2,3,施行施密特正交化,得到,17,对特征值2=-1求解方程组得到基础解系:2=(1,0,作正交变换,X=PY,即可得到标准形,:,为正交阵,18,作正交变换X=PY,即可得到标准形:为正交阵,18,用,正交变换,法化实二次型为标准形,无,论在理论上还是在实际应用中都是很,重要的一种方法,.,如果不要求给出变换,只想得到标准形,用这种方法特别方便,.,如果要得到变换公式利用这种方法计算,起来就比较繁,而且只适应于实二次型,.,下面介绍更加简便且对所有二次型都适,用的,配方法,.,19,用正交变换法化实二次型为标准形,无19,将,实,二次型化为标准形时,如果不考,虑正交变换,用可逆线性变换就可将,f,化,为,标准形.,那么用配方法就可以实现了,.,下面,通过例子来说明这种方法.,例5,用配方法将二次型化为标准形,：,9.2.2,用配方法化实二次型为标准形,注:,用配方法化实二次型为标准形时,所用,的线性变换必须是,可逆,的.,20,将实二次型化为标准形时,如果不考例5,令,解,21,令解21,则,为所求的标准形,.,所作可逆变换为,22,则 为所求的标准形.所作可逆变换为22,也可写成矩阵形式,令,C,显然是个可逆矩阵,因此所作可逆线性,变换为,X=CY,.,使,23,也可写成矩阵形式,令 C显然是个可逆矩阵,因此所作可逆线,注:,(1),C,T,AC,=,C,是可逆阵,不唯一,.,的,对角线上不一定是特征值.,(2),若缺,x,1,2,项,可先将有平方项的,未知数先配方.,(3),若无平方项且含,x,1,x,2,项,产生平方项后,按上面方法做.,则只需先做:,24,注:(1)CTAC=,C是可逆阵,不唯一.(2),9.2.3,用初等变换法化实二次型为标准形,下面介绍另外一种利用矩阵初等变换,化简二次型的方法,合同变换法,.,初等变换法其实质是将二次型矩阵通,过一连串的合同变换化成与之合同的,矩阵,在形式上更为简单的矩阵.,可逆阵,C,可以表成有限个初等矩阵,P,i,(,i,=1,2,s),的乘积,设,C,=,P,1,P,2,P,s,于是,25,9.2.3 用初等变换法化实二次型为标准形下面介绍另外一种利,利用初等变换与乘初等矩阵的关系,可以得到类似于矩阵求逆过程的一种,求标准形的方法.,26,利用初等变换与乘初等矩阵的关系,26,将单位阵放在要变换矩阵下面,构成,一个,2,n,n,矩阵:,一次初等列变换,一次同样的行变换,当通过一系列合同变换,把,A,变为对角,矩阵,=C,T,AC,时,下面的单位阵,E,就变,成了可逆阵,C,.,27,将单位阵放在要变换矩阵下面,构成一次初等列变换一次同样的行,用初等变换法将下列二次型化成标准,形,并求可逆线性变换.,解,因为矩阵,A,中,a,11,=,0,分别将第一行与,第二行同时将第一列与第二列互换,使左上角的元素不为,0,.,例6,28,用初等变换法将下列二次型化成标准解 因为矩阵A中a11=0,29,29,作可逆线性变换,X=CY,则,30,作可逆线性变换X=CY,则30,用初等变换法将下列二次型化成标准形:,解,因为二次型矩阵,A,中,a,11,0,利用,a,11,分别,将第一行及第一列其余元素都消,成,0,.,例7,31,用初等变换法将下列二次型化成标准形:解 因为二次型矩阵A中,32,32,作可逆线性变换,X=PY,则,33,作可逆线性变换X=PY,则33,例8,设,问,A,B,C,哪些相似?哪些合同?,解,(1),A,是对角阵,B,是上三角阵,且有,3,个,互异特征值与,A,相同,所以,B,可以相,似对角阵化为,A.,即,A,与,B,相似.,(2),因为,A,是对角阵,所以与,A,合同的矩阵必,是对称阵,而,B,不是对称阵,A,与,B,不合同.,34,例8 设问A,B,C 哪些相似?哪些合同?解(1)A是,(3),得,C,又是实对称矩阵，,阵 使,故,C,与,A,即相似又合同，再由传递性知,C,与,B,也相似.但,C,与,B,不合同,(否则,C,与,B,合同,由,传递性知,A,与,B,也合同,与,(2)矛盾)或因为,C,是对称阵,与对称阵合同的矩阵必是对称阵,而,B,不是对称阵,所以,C,与,B,不合同.,35,(3)得C又是实对称矩阵，阵 使故C 与A即相似又合同,预习 9.4-9.5,(-),Bye!,36,预习 9.4-9.5(-),Bye!36,