单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,几何性质,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,静力学基本概念,静力学基本概念,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第十章 平面图形的几何性质,第十章 平面图形的几何性质,确定尺寸,拉压：,应力均布，仅需满足 ， 不考虑形状；,扭转与弯曲？,材料力学任务之一,应力分布是否均匀？,是否也不考虑形状？,与截面大小、形状有关,确定尺寸拉压：应力均布，仅需满足 ， 不,10,-1,形心和静矩,10,-2,极惯性矩、惯性矩和惯性半径,10,-3,组合图形的惯性矩,第,十,章,平面图形的几何性质,10-1 形心和静矩第十章 平面图形的几何性质,y,z,o,dA,y,z,一、截面形心,C,的坐标,均质薄板的重心与平面图形的形心有相同的坐标。,y,C,c,10-1,形心和静矩,yzo dA yz一、截面形心 C 的坐标均质薄板的重心与平,o,y,z,二、 静矩,dA,y,z,定义微元对,z , y,轴的静矩为,：,静矩可正，可负，也可能等于零,。,平面图形面积与某一轴的一次矩,，,定义图形对,z , y,轴的静矩为,：,oyz二、 静矩dA yz定义微元对 z , y 轴的静矩为,截面对形心轴的静矩,若截面对某一轴的静矩等于零，,三、已知形心求静矩,y,z,o,y,C,c,则该轴必过形心,。,等于零,。,同样，已知,静矩可求形心,截面对形心轴的静矩若截面对某一轴的静矩等于零，三、已知形心求,四 、 组合截面形心计算,等于截面各组成部分对于同一轴的静矩之代数和。,组合截面对某一轴的静矩：,由几个简单图形组成的截面称为组合截面,四 、 组合截面形心计算等于截面各组成部分对于同一轴的静矩之,1,、组合截面静矩的计算公式,2,、组合截面形心坐标的公式,1、组合截面静矩的计算公式2、组合截面形心坐标的公式,例,1,:,已知：截面尺寸如图。求：该截面的形心位置。,例1: 已知：截面尺寸如图。求：该截面的形心位置。,20,100,20,例,2,：求图示图形的形心,100,o,y,x,2010020例2：求图示图形的形心100oyx,例,3,：求图示图形的形心,20,200,200,10,10,A,1,A,2,A,3,x,y,例3：求图示图形的形心202002001010A1A2A3x,z,y,10-2,极惯性矩、惯性矩和惯性半径,一、极惯性矩,微元对坐标原点的极惯性矩,图形对坐标原点的极惯性矩,dA,zy10-2 极惯性矩、惯性矩和惯性半径一、极惯性矩微元对,z,y,二、惯性矩,1,、 微元对,z,轴的惯性矩,2,、 图形对,z,轴的惯性矩,平面图形对某一轴的二次矩,长度的四次方，,总为正,y,z,dA,同理,zy二、惯性矩1、 微元对z轴的惯性矩2、 图形对z轴的惯性,z,y,3、极惯性矩与惯性矩之间的关系,图形对任意两个互相垂直轴的惯性矩之和，,等于它对该两轴交点的极惯性矩。,y,z,dA,zy3、极惯性矩与惯性矩之间的关系图形对任意两个互相垂直轴的,4,、几种常见截面对本身形心轴的惯性矩,z,y,b,h,y,dy,c,(1),、矩形截面,4 、几种常见截面对本身形心轴的惯性矩zybhydyc(1),扭转,（2）实心圆截面：,扭转（2）实心圆截面：,(3),、空心圆截面,d,D,z,y,(3)、空心圆截面dDzy,三、惯性半径,惯性半径,（单位： ）,z,y,y,z,dA,三、惯性半径惯性半径（单位： ） zy,惯性积则可能为正值，负值，,也可能等于零。,图形对,y,、,z,两轴的惯性积,微元对,x,y,轴的惯性积为,四、惯性积,z,y,y,z,dA,惯性积则可能为正值，负值，也可能等于零。图形对y、z两轴的惯,图形的对称轴，,若坐标轴中有一个为,则,图形对这对坐标轴的惯性积,一定等于零,在何种条件下，图形对坐标轴的惯性积为零？,y,z,图形的对称轴，若坐标轴中有一个为则图形对这对坐标轴的惯性积一,若,则该对坐标轴称为,主惯性轴（主轴）,。,对称轴一定是主轴，,主轴,主轴不一定是对称轴,z,y,若则该对坐标轴称为主惯性轴（主轴）。对称轴一定是主轴，主轴主,对形心主惯性轴的惯性矩。,主惯性轴：,图形对一对正交的坐标轴的惯性积等于零,;,主惯性矩：,对主惯性轴的惯性矩。,形心主惯性轴：,通过图形形心的主惯性轴。,形心主惯性矩：,几个常用概念,对形心主惯性轴的惯性矩。主惯性轴：图形对一对正交的坐标轴的惯,1,0,-3,组合图形的惯性矩,（,a , b ),：,形心,C,坐标,一、平行移轴公式,z,y,z,c,y,c,dA,b,a,y,c,z,c,C,y,z,10-3 组合图形的惯性矩 （a , b ) ：形心C,z,y,z,c,y,c,dA,b,a,y,c,z,c,C,y,z,同理得到：,惯性积,zyzcycdAbayczcCyz同理得到：惯性积,平行移轴公式,1,两平行轴中，必须有一轴为,形心轴,截面对任意两平行轴的惯性矩间的关系,应通过平行的形心轴惯性矩来换算,;,2,图形对所有平行轴的惯性矩中,以对通过形心轴的惯性矩最小,.,注意：,z,y,z,c,y,c,dA,b,a,y,c,z,c,C,y,z,平行移轴公式 1 两平行轴中，必须有一轴为形心轴,截面对任,二、,组合截面的惯性矩 惯性积,二、组合截面的惯性矩 惯性积,20cm,3,17,3,例,1,：,T,字形截面,求其对形心轴的惯性矩。,(1),求形心,z,c,y,c,C,任选参考坐标系,20cm3173例1：T字形截面,求其对形心轴的惯性矩。(1,(2),求,20cm,3,17,3,z,c,y,c,C,I,II,(2)求20cm3173zcycCIII,一,、,转轴公式,逆時针转取为 + 号，,5,转轴公式与主惯性轴,z,y,y,z,1,dA,y,1,z,1,y,z,一、 转轴公式 逆時针转取为 + 号，5 转轴,同理,改写为,同理改写为,并且,主轴的方位,并且主轴的方位,主惯性矩,计算主惯性矩的第一组公式,主惯性矩计算主惯性矩的第一组公式,求,惯性矩的极值,0,0,+,从而确定了一对坐标轴,y,o,和,z,o,0,0,+,的方位上,惯性积,I,y,1,z,1,=0,该对坐标轴是图形的主轴,惯性矩的极值方位就是主轴方位,求 惯性矩的极值0 0+从而确定了一对坐标,图形对主轴,y,0,z,0,的主惯性矩计算,图形对主轴的惯性矩,图形对主轴y0 z0 的主惯性矩计算图形对主轴的惯性矩,几个结论,1,图形对过一点的任意一对正交轴的惯性矩之和保持常量；,2,在过同一点的所有正交轴中，,图形对主轴的惯性矩,另一个为最小值；,一个为最大值，,3,此公式适用于水平轴为,y,轴,几个结论1 图形对过一点的任意一对正交轴的惯性矩之和保持常,1,确定形心 的位置,2,选择一对通过形心且便于计算惯性矩（积）的坐,标轴,y,c,，,z,c,求形心主惯性矩的步骤,计算图形对形心轴的惯性矩,I,y, I,z,和惯性积,I,yz,3,确定主惯性轴的位置,0,0,+,1 确定形心 的位置2 选择一对通过形心且便于,4,计算形心主惯性矩,5,方位与,形心主惯性矩的对应关系,如果,0,0,+,中，绝对值较小者对应惯性矩的最大值,4 计算形心主惯性矩5 方位与形心主惯性矩的对应,确定图形的形心主轴位置，并计算形心主惯性矩,70,70,160,11,11,11,确定图形的形心主轴位置，并计算形心主惯性矩707016011,（,1,）首先确定图形的形心。,(2),利用平行移轴公式分别求出各矩形对,y,轴和,z,轴的惯性矩和惯性积,矩形,I,70,70,160,11,11,11,y,z,（1）首先确定图形的形心。(2) 利用平行移轴公式分别求出,矩形,：,矩形,：,70,70,160,11,11,11,y,z,矩形：矩形：7070160111111yz,整个图形对轴和轴的惯性矩和惯性积为,（,3,）形心主轴方位,逆时针旋转,70,70,160,11,11,11,y,z,y,1,z,1,整个图形对轴和轴的惯性矩和惯性积为（3）形心主轴方位逆时针旋,（,4,）,0,0,+90,的两个值分别确定了形心主轴位置,70,70,160,11,11,11,y,z,y,1,z,1,（4）0 0+90的两个值分别确定了形心主轴位置7,20,c,10,10,120,70,80,例 计算所示图形的形心主惯性矩。,y,z,20 c10101207080例 计算所示图形的形心主,20,c,10,10,120,70,80,y,z,20 c10101207080yz,形心主惯形矩为,形心主轴的位置,逆时针转 113.8,0,对应主惯性矩的最大值,形心主惯形矩为形心主轴的位置逆时针转 113.80对应主惯性,1,、正交坐标轴,Y,、,Z,为杆件横截面的形心主惯性轴的条件是：,。,A,：,I,YZ,0,；,B,：,S,Y,S,Z,0,；,C,：,S,Y,S,Z,0,，,I,YZ,0,；,D,：,I,Y,I,Z,0,，,I,YZ,0,1、正交坐标轴Y、Z为杆件横截面的形心主惯性轴的条件是：,2,、图示中圆截面的直径为,d,，当其圆心沿,X,轴向右移,d/2,时，该图形对,Y,轴的惯性矩为( )，静矩( )。,X,Y,2、图示中圆截面的直径为d，当其圆心沿X轴向右移d/2时，该,3、图示中的几何图形由两个直径相等的圆截面组成。该图形对形心主轴的惯性矩,I,Y,为（ ）,，,I,Z,为（ ）,。,Z,Y,3、图示中的几何图形由两个直径相等的圆截面组成。该图形对形心,4、在,2a4a,的矩形截面中挖去一个直径为的圆，该图形对,Z,轴的惯性矩为（ ）。,2a,4a,Z,a,4、在2a4a的矩形截面中挖去一个直径为的圆，该图形对Z,5,试求图示各截面的阴影线面积对,x,轴的静矩。,5 试求图示各截面的阴影线面积对x轴的静矩。,6,由四个的等边角钢组成图示两种形状的截面，试比较其形心主惯性矩的大小。,6 由四个的等边角钢组成图示两种形状的截面，试比较其形心主,7,、在直径,D,的圆截面中，开了一个的矩形孔，如图所示。试求此截面对其水平形心轴和竖直形心轴的惯性矩,I,x,和,I,y,。,7、在直径D的圆截面中，开了一个的矩形孔，如图所示。试求此截,8,求图示截面的惯性积。,8 求图示截面的惯性积。,9,试确定图示各截面的形心位置。,9 试确定图示各截面的形心位置。,10,确定图示截面的形心主惯性轴的位置，并求形心主惯性矩。,10 确定图示截面的形心主惯性轴的位置，并求形心主惯性矩。,小结,1,、静矩与形心,2,、极惯性矩,3,、惯性矩,4,、平行移轴公式,小结1、静矩与形心2、极惯性矩3、惯性矩4、平行移轴公式,本章结束,本章结束,