单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三章 线性离散系统,数字,D,/,A,A,/,D,保持器,采样器,u,(,t,),y,(,t,),u,(,k,),y,(,k,),连续系统离散化（控制）模型,x,(,t,),x,(,k,),离散系统与连续系统的根本区别在于：,连续系统中各处的信号都是时间的连续函数，而在离散系统中，一处或者多处信号则是时间的断续函数，即脉冲序列式的信号。,1,相应地，系统,脉冲传递函数,为,式中,：,k,第,k,个采样周期,；,n,系统的阶次,(mn)。,3-1-1 线性常系数差分方程及其解法,一般,n,阶线性定常离散系统的输出和输入之间的关系，可用,n,阶常系数差分方程描述。,3-1 离散系统的传递函数模型,2,3-1-2,脉冲传递函数,脉冲传递函数的定义和意义,零初始条件下，系统输出,C,(,t,),的,z,变换,C,(,z,),与输入,r,(,t,),的,z,变换,R,(,z,),之比，称为脉冲传递函数，即,G,(,z,)=,C,(,z,)/,R,(,z,),。,若输入,r,(,t,)=,(,t,),则,C,(,z,)=,G,(,z,),R,(,z,)=,G,(,z,),g,*,(,t,)=,Z,-1,G,(,z,),。,即连续系统的脉冲响应采样后的,Z,变换即为脉冲传递函数。,开环脉冲传递函数,1,.,串联环节,3,2,.,有零阶保持器的情况,3,.,连续信号进入连续环节,4,-,-,闭环脉冲传递函数,5,3-2,连续时间系统的离散化,3-2-1,离散状态空间表达式法,线性离散系统的状态空间表达式，由离散状态方程和离散输出方程组成，它们表示为如下形式的矩阵差分方程,式中,，,T,为采样周期,；,G,(,kT,),为,n,n,维系统矩阵,；,x,(,kT,),为,n,维状态向量,；,H,(,kT,),为,n,r,维控制矩阵,；,u,(,kT,),为,r,维控制向量,；,C,(,kT,),为,m,n,维输出矩阵,；,y,(,kT,),为,m,维输出向量,；,D,(,kT,),为,m,r,维直联矩阵,。,为了简单起见，常常省去,T,写成如下形式,6,如果,G,(,k,)、,H,(,k,)、,C,(,k,)、,D,(,k,),均为常数矩阵，就为线性定常离散系统，其状态空间表达式为,3-2-2 线性定常连续系统的离散化,1,状态方程的离散化,就是将线性连续系统的方程,变成如下形式的线性定常离散系统的状态方程,设采样周期为,T,，,采样时刻为,kT,（,k,=1,2,），,采样周期下的值满足申农,（,Shannon,）,采样定理，系统具有零阶保持特性,。,7,证明,已知线性定常连续系统状态方程的解为,对上式进行积分变换，即令,则有,而,将以上两式代入前式，有,8,例,3-1,令,得线性定常,连续,系统状态方程的,离散,化方程为,离散化前后的矩阵,C,和,D,均不改变,解,求以下线性定常连续系统状态方程的离散化方程,。,9,于是,2,传递函数模型的离散化,首先写出连续系统的传递函数，然后将传递函数变换为脉冲传递函数，这个过程实质上也是离散化过程。,有了系统脉冲传递函数以后，可按照各种标准形写出其离散化后的状态方程。这种方法应用起来也很方便。,10,例,3-2,某系统如下图所示，试写出该离散系统化的状态方程,。,解,系统的传递函数是,脉冲传递函数为,由上式可写出其能控标准形的离散状态空间表达式为,11,3-2-3,线性连续系统状态方程离散化的近似方法,当采样周期,T,较小，在满足所要求精度的前提下，用近似的离散化方程，则计算容易的多。,近似方法的出发点是,用差商代替微商,，,即令,将上式代入,并令 ，得,即,式中,显然，采样周期,T,越小，近似的离散化状态方程精度越高。,12,例,3-3,试求例,3-1,的近似离散化状态方程。,解,当,T,=0.1,时,，,离散化方程中:,近似离散化方程中:,可看出，采样周期,T,较小时，两种方法所得系统离散化的状态空间表达式近似相等。,13,3-2-4,用MATLAB实现连续系统的离散化,用MATLAB实现连续系统状态方程的离散化，可使用函数,c,2,d,()，,其功能是将连续时间模型转换为离散时间模型。,调用格式,为,:,sysd,=,c,2,d,(sysc,Ts,),sysd,=,c,2,d,(sysc,Ts,method,),其中,:,输入参数,sysc,为连续时间模型对象,；,Ts,为采样周期,，,单位为秒,；,sysd,为带采样时间Ts的离散时间模型。,method,用来指定离散化采用的方法：如,zoh,采用零阶保持器,；foh,采用一阶保持器等,。,14,例,3-4,已知连续系统的传递函数为,(1),求连续系统的状态空间表达式,;,(2),求系统的离散化状态空间表达式。设采样周期,Ts,1,s,，,采用零阶保持器,。,解,利用函数,c2d,(),进行离散化的程序为,num=,1;,den=,1 3 2;,G=tf,(,num,den,);,sys=ss,(,G,),Ts=,1;,Gz,=,c,2,d,(,G,Ts,zoh,);,szoh=ss,(,Gz,),运行结果如下：,15,a=,x1 x2,x1 -3 -2,x2 1 0,b=,u1,x1 1,x2 0,c=,x1 x2,y1 0 1,d=,u1,y1 0,Continuous-time model.,a=,x1 x2,x1 0.5032 -0.1991,x2 0.25 0,b=,u1,x1 0.5,x2 0,c=,x1 x2,y1 0.3996 0.588,d=,u1,y1 0,Sampling time:1,Discrete-time model,得,:,16,3-3,线性定常离散系统状态方程求解,对于线性定长离散系统状态空间表达式,通常用,z,变换法和迭代法求解,。,3-3-1,迭代法求解,迭代法是一种递推的数值解法，特别适用于计算机求解,。,设线性定常离散系统的初始状态为,x,(0)，,系统的输入向量为,u,(,k,)(,k,=1,2,)，,将其直接带入以上方程式，经递推迭代，可得,17,非齐次状态方程的解,由两部分组成:,第一部分是由初始状态引起的响应，是系统运动的自由分量;,第二部分是由各采样时刻的输入信号引起的响应，是系统运动的强迫分量。,第,k,个采样时刻的状态只与,（,k,-1）,及以前采样时刻的输入值有关，而与第,k,个采样时刻的输入值无关。,这是带惯性的物理系统所具有的一种基本特性,。,称之为线性定常离散系统的状态转移矩阵,:,显然是满足以下矩阵差分方程和初始条件,的唯一解,。,18,由上，线性离散时间系统状态方程的解可表示为,或,离散系统的输出响应为,或,19,例,3-5,线性离散定常系统的状态方程为,试用迭代法求系统在单位阶跃输入作用下的时间响应,x,(,k,)。,解,可一直递推计算下去，但往往得不到状态闭式解,。,20,3-3-2,Z变换法求解,对于线性定常离散系统，其状态方程为,两边取Z变换，有,于是,两端取,z,反变换，得解为,21,例,3-6,同上例，线性离散定常系统的状态方程为,试用,Z,变换法求解,x,(,k,)。,解,因,u,(,k,)=1(,k,),故,22,23,令,k,=0,1,2,3,代入上式，可得,迭代法和,Z,变换法计算结果完全一致，只是用迭代法得到的是一个数值解，而用,Z,变换法得到的是一个解析表达式,。,24,3-4 离散系统的状态转移矩阵,离散系统状态转移矩阵,的求取与连续系统状态转移矩阵,极为类似,。,1.,直接法,该方法简单，易于计算机求解。但不易得到,的封闭式,。,2.,Z变换法,直接根据离散系统递推迭代法中的定义求,：,由,Z,变换法求离散状态方程解中的对应关系,：,3.,化G为标准型法,(1),当离散系统的特征值均为单根时,，,G,化为对角线标准型:,25,若特征方程,的持征根为,，,则有,(2),当离散系统的特征值有重根,式中,，,J,为约当标准型,；,P,为化系统矩阵,G,为对角线标准型的变换矩阵。,26,其特征值,G,是一友矩阵，且特征值为单根，变换矩阵,P,可直接写出为,则,齐次离散系统状态方程为,试求其状态转移矩阵,。,解,例,3-7,27,4.,化,G,的有限项法,应用凯莱哈密尔顿定理系统矩阵,G,满足其自身的化零多项式。离散系统状态转移矩阵可化为,G,的有限项，即,式中,为待定系数，可仿照连续系统的方法来求取。,例3-8,线性定常离散系统的齐次状态方程为,试求,时系统状态方程的解,。,解,离散系统的特征方程为,其特征值,28,待定系数可由下式求取,解之，得,则离散系统状态转移矩阵为,:,离散系统状态方程的解为,29,