单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第,二,章 随机变量及其分布,2.1,随机变量及其分布函数,2.2,离散型随机变量及其分布,2.3,连续型随机变量及其分布,2.4,随机变量函数的分布,第二章 随机变量及其分布2.1 随机变量及其分布函数2.2,我们观察一个随机现象，其样本空间的样本点可以是,数量性质,的，也可以是,非数量性质,的，概率论是从,数量,的角度来研究随机现象的统计规律性，建立起一系列的公式和定理，借以更好地描述、处理和解决各种与随机现象有关的理论和应用问题为此，需要将样,本空间的样本点与实数联系,起来，建立样本空间与实数空间或某一部分的对应关系，这就是,随机变量,第二章 随机变量及其分布,我们观察一个随机现象，其样本空间的样本点可以是数量性质的，也,抛一枚硬币，考察正、反面出现的情况，则,这样就把原来有具体含意的样本空间化为直线上的抽象点集,如果令,则在上述映射下，新的,“,样本空间,”,为,引例1,，而样本点对应关系为,第一节 随机变量及其分布函数,抛一枚硬币，考察正、反面出现的情况，则 这样就把原来有,抛掷骰子,观察出现的点数,.,=1,，,2,，,3,，,4,，,5,，,6,样本点本身就是数量,恒等变换,且有,则有,引例2,第一节 随机变量及其分布函数,抛掷骰子,观察出现的点数.=1，2，3，4，5，6样本,【,引例,3】,设随机试验,E,：测试灯泡寿命,(,小时,).,样本空间为,=t|t0,，现在我们,将试验的灯泡寿命，记为,X,令,则,X,是定义在样本空间为,=t|t0,上的函数，其值域为,|,且取值具有随机性,.,“,灯炮寿命在,1000,2500,小时,”,的事件可表示为,上面例子中,我们是在随机试验样本空间上定义了实值函数,X,显然它取值具有随机性,故称它们为随机变量,.,【引例3】设随机试验E：测试灯泡寿命(小时).,定义,2.1,设随机试验的样本空间为,=,，,X,=,X,(,),是定义在样本空间,上的实值单值函数，称,X,=,X,(,),为随机变量,随机变量所取的值一般采用小写字母,x,y,z,等,.,随机变量通常用大写字母,X,Y,Z,或希腊字母,等表示,一、随机变量的概念,X(,),R,定义2.1 设随机试验的样本空间为=，X=X(,例：,在有两个孩子的家庭中,考虑,其性别,共有,4,个样本点,:,若用,X,表示,该家女孩子的个数时,则有,可得随机变量,X,(,e,),一、随机变量的概念,例：在有两个孩子的家庭中,考虑若用 X 表示该家女孩子的个,注意,普通函数的定义域是实数集,而随机变量的定义域是样本空间,(,样本点不一定为实数,);,随机变量与普通函数的区别,:,普通函数随自变量变化所取的函数值无概率可言,而随机变量随样本点变化所取的函数值是具有一定概率的,;,此外,因试验的随机性使得随机变量的取值也具有随机性,即知道随机变量的取值范围,但在一次试验前无法确定它取何值,.,一、随机变量的概念,注意 普通函数的定义域是实数集,而随机变量的定义域是,例如,：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用,X,表示，它是一个随机变量,.,收到不少于,1,次呼叫,X,1,没有收到呼叫,X,=0,再例如，,从某一学校随机选一学生，测量他的身高,.,把身高看作随机变量,X,可以提出关于,X,的各种问题,.,如,P,X,1.7,=,？,P,X,1.5,=?,P,1.5,X,1.7,=?.,一、随机变量的概念,利用随机变量可以描述随机事件,:,一、随机变量的概念 利用随机变量,随机事件是从静态的角度研究随机现象，而随机变,量是从动态的角度研究随机现象。,一、随机变量的概念,随机变量的引入使得利用数学方法研究随机现象成,为可能，是实现随机现象,“,数量化,”,的重要工具。因此，,随机变量的研究是概率论的中心内容。,事件及,事件概率,随机变量及其,取值规律,随机事件是从静态的角度研究随机现象，而随机变 一、,实例,1,设盒中有,5,个球,(2,白,3,黑,),从中任抽,3,个,则,是一个随机变量,.,实例,2,设某射手每次射击打中目标的概率是,0.8,现该射手射了,30,次,则,是一个随机变量,.,且,X,(,),的所有可能取值为,:,且,X,(,),的所有可能取值为,:,练习,实例1 设盒中有5个球(2白3黑),从中任抽3个,则是一,实例,3,设某射手每次射击打中目标的概率是,0.8,现该射手不断向目标射击,直到击中目标为止,则,是一个随机变量,.,且,X,(,),的所有可能取值为,:,练习,实例3 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,是一个随机,实例,4,某公共汽车站每隔,5,分钟有一辆汽车通过,如果某人到达该车站的时刻是随机的,X,(,),的所有可,能取值为,:,练习,实例4 某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车通过,随机变量的分类,离散型,(1),离散型,随机变量所取的可能值是有限多个或,无限可列个,叫做,离散型随机变量,.,随机变量,X,为掷一个骰子出现的点数,.,X,的可能值是,:,随机变量,连续型,实例,1,1,2,3,4,5,6,.,非离散型,其它,随机变量的分类离散型(1)离散型 随机变量所取的可能值是有,实例,2,随机变量,X,为“,测量某零件尺寸时的测量,误差,”,.,则,X,的取值范围为,(,a,b,),.,实例,1,随机变量,X,为“,灯泡的寿命,”,.,(2),连续型,随机变量所取的可能值可以连续地充,满某个区间,叫做连续型随机变量,.,则,X,的取值范围为,随机变量的分类,实例2 随机变量 X 为“测量某零件尺寸时的测量则 X 的,数轴上区间的类型有,(,a,b,),(,a,b,a,b,),a,b,(,-,b,),(,-,b,(,a,+),a,+),这,8,类，而区间,(,-,b,是有代表意义的。,对于,x,R,，概率,P,X,x,存在且为,x,的函数，这个函数称为随机变量,X,的分布函数。,故考虑概率,P,X,x,二、随机变量的分布函数,数轴上区间的类型有(a,b),(a,b,定义,设,X,是一个随机变量，对任意实数,x,，称事件,X,x,发生的概率,为随机变量,X,的分布函数，,(1),在分布函数的定义中,X,是随机变量,x,是自变量,.,分布函数的定义域是全体实数。,(2),分布函数的值域是,0,1,。,注意,:,1,、随机变量的分布函数的定义,定义 设X是一个随机变量，对任意实数x,(3),对任意实数,x,1,x,2,，随机点落在区间,(,x,1,x,2,内,的概率为：,=P,X x,2,-,P,X x,1,P,x,1,X x,2,=,F,(,x,2,)-,F,(,x,1,),如果将,X,看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数,F(x),的值就表示,X,落在区间 内的,概率,.,随机点,实数点,(4),1,、随机变量的分布函数的定义,(3)对任意实数 x1x2，随机点落在区间(x1,由分布函数的定义易知,对任意实数,a,b,(,a,b,),有,可见，若已知,X,的分布函数,F,(,x,),，那么，计算,X,落如某个区间的概率就非常方便了,由于分布函数是一个普通的函数，通过它我们可以方便地利用数学方法来研究随机变量,1,、随机变量的分布函数的定义,由分布函数的定义易知,对任意实数a,b(a b),有,实例,抛掷均匀硬币,令,求随机变量,X,的分布函数,.,解,实例 抛掷均匀硬币,令求随机变量 X 的分布函数.解,随机变量及其分布课件,的分布函数图,右连续的阶梯函数,的分布函数图右连续的阶梯函数,r.v,的分布函数必满足性质,是单调不减函数,且,右连续函数即,分布函数的基本性质：,当 时,当 时,注,性质,是分布函数的本质特征,满足性质 的 必是某,r.v,的分布函数,2,、随机变量的分布函数的性质,r.v的分布函数必满足性质是单调不减函数且右连续,【,例,】,证明,是一个分布函数,该函数称为柯西分布函数,证：显然,F,(,x,),在整个数轴上是连续、单调严增函数，且,因此它满足分布函数的三条基本性质，故,F,(,x,),是一个分布函数,典型例题,【例】证明该函数称为柯西分布函数证：显然F(x)在整个数,设随机变量,X,的分布函数为,试求,(1),系数,A,B,；,(2)X,取值落在（,-1,，,1,中的概率。,（,1,）由,解得：,例,解,典型例题,设随机变量X的分布函数为试求(1)系数A,B；(2)X取值,（,2,）由分布函数计算事件概率公式得：,于是，分布函数为：,典型例题,（2）由分布函数计算事件概率公式得：于是，分布函数,例,解,若,x,0,，,X,x,为不可能事件,则,F,(,x,)=,P,X,x,=0,；,若,x,r,，,X,x,为必然事件，,F,(,x,)=,P,X,x,=1,；,事件,X,x,表示所抛一点落在半径为,x,的圆内,向半径为,r,的圆内随机抛一点，求此点到圆心的,距离,X,的分布函数，并求,典型例题,例解若x0，X x为不可能事件,则F(x)=P,若,0,x,r,，由几何概型知,从而,X,的分布函数为,其图形为一连续曲线,典型例题,若0 x r，由几何概型知从而X的分布函数为其图形为,且,典型例题,且典型例题,小 结,2.,随机变量的分类,:,离散型、连续型,.,1.,概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的,，,把一些非数量表示的随机事件用数字表示时,，,就建立起了随机变量的概念,因此,随机变量是定义在样本空间上的一种特殊的函数,3.,分布函数,小 结2.随机变量的分类:离散型、连续型.1.,因此,解,则,练习,因此解则练习,求分布函数,求分布函数,随机变量及其分布课件,随机变量及其分布课件,