单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本课内容,本节内容,1.2,湘教版,数学,九年级下,二次函数的图象与性质,第,1,课时,复习,二次函数的定义：,一般地，形如,(,a,、,b,、,c,是常数，,a,0),的函数叫做二次,函数，其中,a,为二次项系数，,b,为一次,项系数，,c,为常数项。,回顾知识,:,一、正比例函数,y=kx,（,k,0,）其图象是什么。,二、一次函数,y=kx+b,（,k,0,）其图象又是什么。,正比例函数,y=kx,（,k,0,）其图象是一条经过,原点,的直线。,一次函数,y=kx+b,（,k,0,）其图象也是一条直线。,三、反比例函数 （,k,0,）其图象又是什么。,反比例函数 （,k,0,）其图象是双曲线。,二次函数,y=ax,（,a,0,）其图象又是什么呢？,二次函数,y=ax,2,的图像,画二次函数的图象,列表：,由于自变量,x,可以取任意实数，因此让,x,取,0,和一些负数，一些正数，并且算出相应的函数值，列成下表：,探 究,x,y,o,1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4,5,x,3,4.5,2.5,3.125,2,2,1,0.5,0.5,0.125,0,0,0.5,0.125,1,0.5,2,2,2.5,3.125,3,4.5,描点：,在平面直角坐标系内，以,x,取的值为横坐标，相应的,函数值为纵坐标，描出相应的点，如图,列表,连线：,注意：列表时自变量,取值要均匀和对称。,二次函数,y=ax,2,的图象形如物体抛射时,所经过的路线，我们把它叫做抛物线。,这条抛物线关于,y,轴,对称，,y,轴就是它的,对称轴。,这条抛物线关于,y,轴,对称，,y,轴就是它的,对称轴。,这条抛物线关于,y,轴,对称，,y,轴就是它的,对称轴。,对称轴与抛物线的交点,叫做抛物线的顶点,。,对称轴与抛物线的交点,叫做抛物线的顶点,。,对称轴与抛物线的交点,叫做抛物线的顶点,。,x,y,o,1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4,5,x,3,4.5,2.5,3.125,2,2,1,0.5,0.5,0.125,0,0,0.5,0.125,1,0.5,2,2,2.5,3.125,3,4.5,列表,观察和分析：,从图（,1,）看出，点,A,和点,A,，点,B,和点,B,，,，它们有什么关系？,观察和分析：,从图（,1,）看出，点,A,和点,A,，点,B,和点,B,，,，它们有什么关系？,点,A,和点,A,关于,y,轴对称，点,B,和点,B,也是,由此你能作出什么猜测？,我猜测 的图象关于,y,轴对称,从图还可看出，,y,轴右边描出的各点，当横坐标增大时，纵坐标怎样变化？,纵坐标随着增大,的图象在,y,轴右边的所有点都具有这样的性质吗,？,我猜想都有这一性质,可以证明上述两个猜测都是正确的，即的图象关于,y,轴对称；图象在,y,轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而增大，简称为“右升”,我们已经正确画出了的图象，因此，现在可以从图象（见图）看出的其他一些性质（除了上面已经知道的关于,y,轴对称和“右升”外）：,观,察,图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而,_,，简称为“左降”；,对称轴与图象的交点是,_,；,图象的开口向,_,；,O,(0,0),上,减小,当,x,=_,时，函数值最,_,0,小,结论：,二次函数,y=ax,2,（,a0),的图象与性质,图象的,开口向上,；,1.对称轴都是,y轴（即直线,x=0),;,3.图象与对称轴的交点称为顶点：,原点（,0,，,0,）,4,.图象左降右升：,图象在对称轴左边的部分，,函数值随自变量取值的增大而减少，图象在,对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的,增大而增大.,5,.函数有最小值：,即,x=0,时，,y,最小值,=0,当,a,0,时，的图象具有上述性质，于是我们在画 的图象时，可以先画出图象在,y,轴右边的部分，然后利用对称性，画出图象在,y,轴左边的部分，在画右边部分时，只要“列表、描点、连线”三个步骤就可以了（因为我们知道了图象的性质）,x,-3,-2,-1,0,1,2,3,y,解,:(1),列表,9,4,1,0,1,4,9,(2),描点,(3),连线,1,2,3,4,5,x,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,y,o,-1,-2,-3,-4,-5,y,=,x,2,例,1,：画最简单的二次函数,y,=,x,2,的图象,你还记得描点法的一般步骤,?,列表时应,注意,什么问题？,描点法,列表,描点,连线,描点时应以哪些数值作为点的坐标？,连线时应注意什么问题？,画二次函数的图象,x,0,0.5,1,1.5,2,3,0,0.25,1,2.25,4,9,探 究,列表：,由于自变量,x,可以取任意实数，因此让,x,取,0,和一些负数，一些正数，并且算出相应的函数值，列成下表：,x,y,o,1,2,3,4,1,2,3,4,6,2,8,4,描点和连线：画出图象在,y,轴右边的部分，如图,利用对称性，画出图像在,y,轴左边的部分，这样我们得到了 的图象，如图,也可以这样做,x,0,0.5,1,1.5,2,3,0,0.25,1,2.25,4,9,比较几个二次函数的图象，你有什么发现？,议一议,-4-3-2-1 0 1 2 3 4,9,8,7,6,5,4,3,2,1,x,y,开口大小与什,么有关？,|a|,越大，开口越小,x,y,o,在同一坐标系中画出二次函数及的图象,练 习,x,0,0.5,1,2,0,0.5,2,8,描点,连线,列表,列 表,x,0,1,2,3,4,0,1,4,x,y,o,描 点,连 线,小结,二次函数,(,a,0),的图象及性质：,(1),形状、对称轴、顶点坐标；,(2)开口方向、最值、开口大小；,(3),对称轴两侧增减性。,1.,对称轴是,_,，顶点是,_;,2.,图像的开口向,_,；,3.,图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而,_,，简称为右,_;,图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而,_,，简称为左,_;,右升左降,4.,当,x,=_,时，函数值最,_.,y,轴,上,O,（,0,，,0,）,增大,升,减小,降,0,小,二次函数,(a,0),的图象及性质：,