单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,方程,f(x)=0,有实数根,函数,y=f(x),的图象与,x,轴有交点,函数,y=f(x),有零点,（,2,）如何求零点个数及所在区间？,解一：,利用计算器或计算机作,的对应,那么函数,在区间,内至少有一个实数,有且只有一个零点、再在其它区间内去寻找,.,上连续，并且有,值表，若在区间,在,上的单调性，则在,根、若能证明,解二：,试探着找到两个,x,对应值为一正一负（至少有一个）；再证单调增函数即可得有且只有一个,.,解三：,构造两个易画函数，画图，看图象交点个数，很实用,.,（,3,）连续函数在某个区间上,存在零点,的判别方法：,如果函数,y=f(x),在区间,a,b,上的图象是连续不断的一条曲线，并且有,f(a)f(b)0,，那么，函数,y=f(x),在区间,(a,b),内有零点,.,即存在,c(a,b),，使得,f(c )=0,，这个,c,也就是方程,f(x)=0,的根,.,从学校教学楼到学校食堂的电缆有,5,个接点,.,现在某处发生故障，需及时修理,.,为了尽快把故障缩小在两个接点之间，一般至少需要检查多少,_,次,2,1 2 3 4 5,猜数字游戏，看谁先猜中,10,次以内猜出，你们能做到吗 ？,从,1,1000,这,1000,个自然数随机抽出个数，谁能根据提示“大了”“小了”“对了”先猜出这个数？,想一想,3.1.2,用二分法求方程,的近似解,ax,2,+bx+c=0,x,2,+x-6=0,教学目标,知识与能力,通过具体实例理解二分法的概念，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用,过程与方法,能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备,情感态度与价值观,体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一,教学重难点,重点,通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识,难点,恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解,思考,一元二次方程可以用公式求根,但没有公式,可用来,求,l,nx+2x-6=0的根,能否利用函数的有关知识来求它根的近似值呢？,探究,1,2.,你能继续缩小零点所在的区间吗？,1.,你能找出零点落在下列哪个区间吗？,方程近似解,(,或函数零点的近似值,),的精确度与函数零点所在区间范围的大小有何关系,?,1.,若知道零点在,(2,50,，,2,53),内，我们就可以得到方程的一个精确到,0,1,的近似解,2.50,；,2.,若知道零点在,(2,515,，,2,516),内，我们就可以得到方程的一个更为精确近似解，等等,求方程近似解的问题,(,或函数零点的近似值,),不断缩小零点所在范围,(,或区间,),的问题,如何缩小零点所在的范围，得到一个越来越小的区间，以使零点仍在此区间内,?,将一个区间分为两个区间,.,取中点,该找怎样的分点,?,如果不为,0,，通过比较中点与两个端点函数值的正负，即可判知零点是在 内，还是在 内，从而将零点所在范围缩小了一半,对于一个已知的零点所在区间,(a,，,b),，取中点 ，计算 ，根据零点所在范围的判断方法，如果这个函数值为,0,，那么中点就是函数的零点；,(a,，,b),中点,x,1,f(a),f(,x,1,),(2 , 3),2.5,负,-0.084,(2.5,3),2.75,负,0.512,(2.5,2.75),2.625,负,0.215,(2.5,2.625),2.5625,负,0.066,(2.5,2.5625),2.53125,负,-0.009,(2.53125,2.5625),2.546875,负,0.029,(2.53125,2.546875),2.5390625,负,0.010,(2.53125,2.5390625),2.53515625,负,0.001,f(b),正,正,正,正,正,正,正,正,| 2.5390625,2.53125|=0.00781250,01,精确度已达到,0,01,这种运用,缩小零点所在范围,的方法在数学和计算机科学上被称为,二分法,.,对于区间,a,b,上连续不断且,f(a) f(b)0,的函数,y=f(x),，通过不断地把函数,f(x),的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做,二分法,(bisection).,二分法的实质,就是将函数零点所在的区间不断地一分为二，使新得到的区间不断变小，两个端点逐步逼近零点,思考：下列函数中哪个能用二分法求零点？,二分法求方程近似解的一般步骤：,1,、,确定区间,a,b,，验证,f(a)f(b)0,，给定精确度,.,2,、,求区间,(a,b),的中点,c.,3,、计算,f(c);,(1),若,f(c)=0,则,c,就是函数的零点,(2),若,f(a)f(c)0,则令,a= c(,此时零点,x,0,(c,b),4、判断是否达到精确度，即若|a-b| ,则得到零点的近似值a(或b)；否则重复24,.,由,|a-b|,可知，区间,a,，,b,中任意一个值都是零,点,x,0,的满足精确度,的近似值，这是为什么呢？（当然为了方便，这里统一取区间端点,a,（或,b,）作为零点的近似值）,思考,设函数的零点为,x,0,，则,a x,0,b,做出数轴,.,a,b,x,0,所以，,0 x,0, ab-a,，,a-b x,0,b0.,由于,a-b ,，所以, x,0,b b-a,，, x,0,-b a-b ,.,确定初始区间,求中点，算其函数值,缩小区间,算长度，比精度,下结论,返,回,周而复始怎么办,?,精确度上来判断,.,定区间，找中点，中值计算两边看,.,同号去，异号算，零点落在异号间,.,口 诀,例,:,求出方程,x,2,-2x-1=0,的一个近似解,(,精确度,0.1),解：做出函数,f(x)=x,2,-2x-1,的对应值表与图像,x,-1,0,1,2,3,f(x),2,-1,-2,-1,2,由图可知道此函数在区间（,-1,，,0,）与（,2,，,3,）内有零点,-1,-2,-2,-1,1,1,2,3,2,o,x,y,在区间（,2,，,3,）中,由于,所以方程的一个近似解可取为,2.4375.,在区间（,-1,，,0,）中同理可得到方程的另外一个近似解为,0.375.,综上所述方程的近似解分别是,0.375,，,2.4375.,用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的,变号零点,适合，对函数的不变号零点不适用,.,注意,例：用二分法求方程,在区间,(-1,0),内的近似解,(,精确度,0.1),易知：,f(-1)0,取,x=-0.5,，计算,f(-0.5)3.3750,取,x=-0.75,，计算,f(-0.75)1.580,解：,取,x=-0.875,，计算,f(-0.875)0.390,取,x=-0.9375,，计算,f(-0.9375)-0.280,原方程的近似解取为,-0.9375,对于在区间,a,b,上,连续不断,、且,f(a)f(b)0,的函数,y=f(x),，通过不断把函数,f(x),的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫,二分法,课堂小结,1.,二分法,2.,概括利用二分法求函数,f(x),零点的近似值的步骤,1,确定区间,a,，,b,，验证 ，给定精确度,2,求区间,(a,，,b),的中点,c.,3,计算,f(c),(1),若,f(c)=0,，则,c,就是函数的零点,;,(2),若 ，则令,b=0,（此零点 ）,;,4,判断是否达到精确度 ：即若 ，则得到零点 近似值,a(,或,b),；否则重复步骤,2-4,(3),若 ，则令,a=0,（此时零点 ）,.,课堂练习,1.,下列函数中能用二分法求零点的是（ ）,x,y,0,x,y,0,x,y,0,x,y,0,A,B,C,D,B,2.,用二分法求函数,y=f(x),在 内零点近似值的过程中得到,f(1)0,，,f(1.25)0,，则函数的零点落在区间（ ）,A.,（,1,，,1.25,）,B.,（,1.25,，,1.5,）,C.,（,1.5,，,2,）,D.,不能确定,A,3.,已知函数,的图象与,x,轴的交点至少有一个在原点右侧，则,实数,m,的取值范围是（ ）,B,D,A,C,D,4.,已知函数,的图象如图所示，则,1,2,B,C,D,A,教材习题答案,1.,有题设可知,f(0)=-1.40,，由于,f(0).f(1)0,，所以函数,f(x),在区间（,0,，,1,）内有一个零点,下面用二分法求函数,f(x)=,x,3,+1.1x,2,+0.9x-1.4,在区间（,0,，,1,）内的零点,取区间（,0,，,1,）的中点 ，用计算器算得,f(0.5)=-0.55,，因为,f(0.5).f(1)0,，所以,再取区间（,0.5,，,1,）的中点 ，用计算器算得,f(0.75),0.32.,因为,f(0.5).f(0.75)0,所以,同理得,所以原函数在区间（,0,，,1,）内精确到,0.1,的零点约为,0.7.,2.,原方程即,x+lgx-3=0,，令,f(x)=x+lgx-3,用计算器算得,f(2) -0.70,，,f(3) 0.48,，于是,f(2).f(3)0,，所以这个方程在区间（,2,，,3,）内有一个解下面用二分法求方程,x=3-lgx,在区间（,2,，,3,）的近似解：,取区间（,2,，,3,）的中点 ，用计算器得,f(2.5) -0.10.,因为,f(2.5).f(3)0,，所以,再取区间（,2.5,，,3,）的中点 用计算器算得,f(2.75),0.19,因为,f(2.5).f(2.75)0,，所以,同理可得,所以方程的近似解可取为,2.5625,