单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2.2,离散型随机变量及其分布,2.2 离散型随机变量及其分布,1,设,X,是一个离散型随机变量，它可能取的值是,x,1,x,2,.为了描述随机变量,X,，我们不仅需要知道随机变量,X,的取值，而且还应知道,X,取每个值的概率.,一、离散型随机变量及其分布律,1离散型随机变量的定义,设,X,为一随机变量，如,X,的全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，则称随机变量,X,为离散型随机变量(,discrete random variable,)。,设X是一个离散型随机变量，它可能取的值是 x1,2,其中 (,k,=1,2,)满足：,k,=1,2,（1）,（2）,定义1：设,x,k,(,k,=1,2,)是离散型随机变量,X,所取的一切可能值，称等式,k,=1,2,为离散型随机变量,X,的概率函数或分布律，也称概率分布.,用这两条性质判断,一个函数是否是,概率函数,其中 (k=1,2,)满足：k=1,3,证明:非负性显然，下证规范性。设离散型,r.v.,X,的取值为,x,1,x,n,则事件组,X,=,x,1,，,X,=,x,n,，,构成了,的一个划分,。,分布律的性质的证明,证明:非负性显然，下证规范性。设离散型r.v.X的取值为x,4,例1已知随机变量,X,的分布律为,X 2 0 3 5,P 1/4 a 1/2 1/12,试求（1）待定系数,a,，（2）概率,PX1/2,。,即可求得,a=1/6,。,（2）,解:（1）由分布律的性质可知,例1已知随机变量X的分布律为 X 2 0 3,5,解:依据概率函数的性质:,P(,X,=,k,)0,a,0,从中解得,欲使上述函数为概率函数,应有,这里用到了常见的,幂级数展开式,例2.,设随机变量,X,的概率函数为：,k,=0,1,2,试确定常数,a,.,解:依据概率函数的性质:P(X=k)0,a0从中,6,2、表示方法,（2）公式法,（1）列表法：,分布律可以用表格的形式表示：,x,n,一般从小到大排列。,X,P,x,1,x,2,x,n,p,1,p,2,p,n,2、表示方法（2）公式法（1）列表法：分布律可以用表格的形式,7,P,X,x,1,x,2,x,k,（3）图示法:,分布律可以用图形表示,3、离散型随机变量及其分布举例,PXx1x2xk（3）图示法:分布律可以用图形表示 3、,8,例2.,某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知他每发命中的概率是,p,，求所需射击发数,X,的概率函数.,解:显然，,X,可能取的值是1,2,，,P,(,X,=1)=,P,(,A,1,)=,p,为计算,P,(,X,=,k,)，,k,=1,2,，,A,k,=第,k,发命中，,k,=1,2,，,设,于是,例2.某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知他每发,9,可见,这就是求所需射击发数,X,的概率函数.,P,(,X,=1)=,P,(,A,1,)=,p,A,k,=第,k,发命中，,k,=1,2,，,设,于是,可见这就是求所需射击发数X的概率函数.P(X=1)=P(A,10,若随机变量,X,的概率函数如上式，则称,X,具有几何分布.,不难验证:,若随机变量X的概率函数如上式，则称X具有几何分,11,例3.一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯显示的时间相等.以,X,表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求,X,的概率分布.,解:依题意,X,可取值0,1,2,3.,P,(,X,=0)=,P,(,A,1,)=1/2,A,i,=第i个路口遇红灯,i=1,2,3,设,路口3,路口2,路口1,例3.一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路,12,P,(,X,=1)=,P,(),=1/4,P,(,X,=2)=,P,(),=1/8,X,表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数,路口3,路口2,路口1,路口3,路口2,路口1,A,i,=第i个路口遇红灯,i=1,2,3,设,P(X=1)=P()=1/4 P(X=2,13,=1/8,P,(,X,=3)=,P,(),路口3,路口2,路口1,即,不难看到,X,表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数,A,i,=第i个路口遇红灯,i=1,2,3,设,=1/8P(X=3)=P()路口3,14,例4 重复独立的进行贝努力试验，直到事件A出现,r(r,1,),次为止，求试验次数,X,的分布律.,k=r,r+1,称,X,服从,Pascal,分布。当r=1时，,X,服从,几何分布。,解：设每次试验事件A出现的概率为p,若当第k次试验时，事件A出现r次，则前k-1次试验事件A出现r-1次，于是,例4 重复独立的进行贝努力试验，直到事件A出现r(r1,15,（1）已知随机变量,X,的分布律，可求出,X,的分布函数：,设一离散型随机变量,X,的分布律为,PX=x,k,=p,k,(k=1，2，),由概率的可列可加性可得,X,的分布函数为,这里的和式是所有满足,x,k,x,的,k,求和的。分布函数,F(x),在,x=x,k,(k=1,2,),处有跳跃，其跃跳值为,p,k,=Px=x,k,。,分布律与分布函数的关系,（1）已知随机变量X的分布律，可求出X的分布函数：这里的,16,已知随机变量,X,的分布律,亦可求任意随机事件的概率。,例如，求事件,XB,（,B,为实轴上的一个区间）的概率,P XB,时，只需将属于,B,的,X,的可能取值找出来，把,X,取这些值的概率相加，即可得概率,P XB,，即,因此，离散型随机变量的分布律完整地描述它的概率分布情况。,（2）已知随机变量,X,的分布函数，可求出,X,的分布律：,已知随机变量X的分布律,亦可求任意随机事件的概率,17,设一离散型随机变量,X,的分布函数为,F(x),，并设,F(x),的所有间断为,x,1,x,2,，那么，,X,的分布律为,例6:设随机变量,X,的分布律为,X,P,-1 2 3,1/4 1/2 1/4,求,X,的分布函数，并求,解:由概率的有限可加性，得所求分布函数为,设一离散型随机变量X的分布函数为F(x)，并设F,18,F（x）,的图形如下图所示，它是一条阶梯形的曲线，在,x1，2，3,处有跳跃点，跳跃值分别为,1/4，1/2，1/4,。,-1 0 1 2 3 x,P,1,F（x）的图形如下图所示，它是一条阶梯形的曲线，在x,19,于是,于是,20,1.,（01）,分布：,设随机变量,X,只可能取0与1两个值，它的分布律为,P,X=k,=,p,k,(1-,p,),1-,k,k,=0，1.(0,p,1),则称,X,服从,（01）,分布,记为,X,（01）,分布。,（01）,分布的分布律用表格表示为：,X,0 1,P,1-,p,p,易求得其分布函数为：,二、三种常用离散型随机变量的分布,1.（01）分布：X 0 1P 1-,21,2.二项分布,（binomial distribution),：,定义,：若离散型随机变量X的分布律为,其中,0,p,0 是常数,则称,X,服从参数为 的,泊松分布,记作,X,P,().,3、泊松分布的定义及图形特点 设随机变量X所有可能取,26,泊松分布的图形特点：,X,P,(),泊松分布的图形特点：XP(),27,n重Bernoulli试验模型是经常遇到的试验模型。但当试验次数,n,很大时，二项概率的计算非常麻烦，如,为解决诸如此类的问题，我们可以采用泊松分布或者正态分布进行近似计算.,事实上，这两种分布最初都是作为二项分布的近似被引入的.,n重Bernoulli试验模型是经常遇到的试验模型,28,历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于1837年由法国数学家泊松（Poisson)引入的.,二项分布的泊松近似,证明略.,历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于1837年由法国数学,29,定理的条件意味着当,n,很大时，,p,n,必定很小.因此，泊松定理表明，当,n,很大，,p,很小时有以下近似式：,其中,n,100,np,10,时近似效果就很好,实际计算中，,也就是，n很大时，,B,(,n,p,),P,(,np,),定理的条件意味着当 n很大时，pn 必定很小.,30,容易理解，当,p,不是很小，而是很大(接近于1)，可将问题略为转换一下，仍然可以应用泊松近似.,当,n,很大时，,p,不是很小，而是很大(接近于1)时，能否应用二项分布的泊松近似？,下面我们看一个应用的例子.,容易理解，当p不是很小，而是很大(接近于1),31,例7,为保证设备正常工作，需要配备适量的维修人员.设共有300台设备，每台独立工作，且发生故障的概率都是0.01。若在通常的情况下，一台设备的故障可由一人来处理，问至少应配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?,我们先对题目进行分析：,例7 为保证设备正常工作，需要配备适量的维修人员.设,32,300台设备，独立工作，出故障概率都是0.01.一台设备故障一人来处理.,问至少配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?,设,X,为300台设备同时发生故障的台数，,对300台设备工作的考察可以看成是300重贝努里试验.,X,B,(,n,p,)，,n,=300,p,=0.01,因此，,300台设备，独立工作，出故障概率都是0.01,33,300台设备，独立工作，出故障概率都是0.01.一台设备故障一人来处理.,问至少配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?,设,X,为300台设备同时发生故障的台数，,X,B,(,n,p,)，,n,=300,p,=0.01,设需配备,N,个维修人员，,则要求的是满足,的最小的,N,.,300台设备，独立工作，出故障概率都是0.01,34,解：设,X,为300台设备同时发生故障的台数，,X,B,(,n,p,)，,n,=300,p,=0.01,设需配备,N,个维修人员，,所求的是满足,P,(,X,N,),N,),n,大,p,小,np,=3,用 =,np,=3,的泊松近似,下面给出正式求解过程：,解：设X为300台设备同时发生故障的台数，XB(n,p)，,35,即至少需配备8个维修人员.,查泊松分布表得,N,+1 9,即,N,8,我们求满足,的最小的,N,.,即至少需配备8个维修人员.查泊松分布表得N+1 9,即,36,例8 设有80台设备,每台设备情况如上例。（1）若由一个人负责维修20台设备，求这80台设备发生故障，而不能及时修理的概率；（2）若由三个人共同负责维修80台，求设备发生故障不能及时修理的概率。,解：（1）设X为1个人负责的20台设备中发生故障的机器数,则XB(20，0.01)。因为一人只能修一台机器，故这20台设备发生故障不能及时维修的概率为：,故所求概率为：,例8 设有80台设备,每台设备情况如上例。（1）若由一个,37,（2）设,X,为发生故障的机器数，,XB(80，0.01),X,取值：,0，1，2，80,。,结论：,（1）（2）,，说明尽管情况,2,任务重了（一个人修,27,台），但工作质量提高了，也说明，概率方法可用来讨论国民经济中某些问题，以使达到更有效地使用人力、物力、资源的目的，这是运筹学的任务，概率论是解决运筹学问题的有力工具。,（2）设X为发生故障的机器数，XB(80，0.01),38,例9（寿险）在保险公司里有,2500,个同一年龄和同社会阶层的人参加人寿保险，其中每人在一年里死亡的概率为,0.002,，每个参加保险的人在一月一日付,12,元保险费，而死亡时家属可由保险公司领,2000,元。（1）求公司亏本的概率（2）求获利不小于,10000,元的概率。,解；（1）公司一年总收入,2500*12=30000,，,X,：一年中死亡人数。,Xb(2500,0.002),要,2000X30000,例9（寿险）在保险公司里有2500个同一