单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,5-1,函数的基本概念,一,.,概念,定义：,X,与,Y,集合，,f是从X到Y的关系，如果任何,xX,，,都存在唯一,yY，使得f,则称f是,从X到Y的函数，,(变换、映射)，记作,f:X,Y,或,X Y.,如果,f:X,X是函数,也称f是X上的函数.,下面给出A=1,2,3上几个关系，哪些是A到A的函数？,1,。,2,。,。,1,。,2,。,。,1,。,2,。,。,1,。,2,。,。,3,3,3,3,R,2,R,1,R,3,R,4,5-1 函数的基本概念一.概念1。2。1。2。1。2。,下面,哪些是R到R的函数？,f=|x,yRy=,g=|x,yRx,2,+y,2,=4,h=|x,yRy=x,2,r=|x,yRy=lgx,v=|x,yRy=,_,1,x,x,下面哪些是R到R的函数？_ 1xx,2.,定义域、值域和陪域,(,共域,),设,f:XY,f,的定义域,(domain),，记作,dom f,，,或,D,f,即,D,f,=dom f=x|x,Xy(yY,f,),=X,f的值域,(range),：,记作,ran f,，,或,R,f,即或,f(X),R,f,=ran f=f(X)=y|y,Yx(xX,f,),f,的陪域,(codomain,):即是Y(称之为f的陪域,),。,2.定义域、值域和陪域(共域)设f:XY,二.函数的表示方法,有 枚举法、,关系,图、关系矩阵、谓词描述法。,三.从X到,Y,的,函数的集合,Y,X,：,Y,X,=f|,f:XY,Y,X,：它是由所有的从X到,Y,函数构成的集合,例,X=1,2,3 Y=a,b,求,所有从X到,Y,函数,结论：,若,X,、,Y,是有限集合，且,|X|=m,，,|Y|=n,，则,|,Y,X,|=|Y|,|X|,=n,m,。,从,X,到,Y,的关系,=|P(X,Y)|=,2,nm,.,规定：从,到,的函数只有,f=,。,从,到,Y,的函数只有,f=,。,若,X,，则从,X,到,的函数不存在。,离散数学-函数课件,四.特殊函数,1.常值函数：函数f:XY，如果,y,0,Y,使得对,xX,有,f(x)=y,0,即,ran f=y,0,称f是常值函数。,2.,恒等函数：恒等关系,I,X,是,X,到,X,函数，即,I,X,:XX,称之为恒等函数。显然对于,x,X,，有,I,X,(x)=x,。,五,.,两个函数相等,设有两个函数,f:AB g:AB,f=g 当且仅当,对任何,xA,，有,f(x)=g(x),。,四.特殊函数 1.常值函数：函数f:XY，如果y0,六,.,函数的类型,例子：,X,1,Y,。,。,。,。,。,1,2,3,a,b,。,c,s,X,Y,。,。,。,。,。,1,2,3,a,b,4,。,。,c,g,X,1,Y,1,。,。,。,。,。,1,2,3,a,b,d,。,。,c,h,X,Y,。,。,。,。,。,1,2,3,a,b,4,。,。,c,f,R,f,=Y,R,s,=Y,R,g,Y,R,h,Y,1,一对一,一对一,X1 Y。123ab。csX,函数的类型,1.满射的：f:XY是函数，如果 ran f=Y,则称f 是满射的。,2.入射的：f:XY是函数，如果对于任何,x,1,x,2,X,如果,x,1,x,2,有,f(x,1,)f(x,2,),(,或者若,f(x,1,)=f(x,2,),则,x,1,=x,2,),则称f 是入射的，也称f 是单射的，也称f 是一对一的。,3.双射的：f:XY是函数，如果 f 既是满射的，又是,入射的，则称 f 是双射的，也称f 是一一对应的。,特别地：,：,Y,是单射；,：,是双射。,思考题：如果,f:XX是入射的函数，则必是满射的，所,以 f 也是双射的。此命题,在什么条件下,成立吗？,离散数学-函数课件,5-2,函数的复合,关系的复合：,设,R,是从,X,到,Y,的关系，,S,是从,Y,到,Z,的关系，,则,R,和,S,的复合关系记作,R,S,。定义为：,R,S=|x,X,z,Z,y(y,Y,R,S),5-2 函数的复合,函数的复合,定义：设,f:X,Y,g:W,Z,是函数,若,f(X),W,则,g,f=|x,X,z,Z,y(y,Y,f,g),称为,g,在,f,的,左边可,复合,。,函数的复合定义：设 f:XY,g:WZ是函数,若f(X,定理：两个函数的复合是一个函数。,证明：设,f:X,Y,g:W,Z,是函数,且,f(X),W,。,（,1,）对任意的,xX,，因为,f,是函数，故存在唯一的序偶,，使得,y=f(x),成立,而,f(x)f(X)W,又因为,g,是函数，故存在唯一的序偶,，使得,z=g(y),成立，根据复合定义，,g,f,即,dom,g,f=X.,（,2,）假设,g,f,且,g,f,，由复合定,义,存在,y,1,Y y,2,Y,，使得,fg f g,由于,f,、,g,为函数，所以有，,y,1,=y,2,，因而,z,1,=z,2,。,由（,1,）、（,2,）得,g,f,是,X,到,Z,的函数。,定理：两个函数的复合是一个函数。证明：设 f:XY,g:,函数的复合,一,.,定义,:f:X,Y,g:Y,Z是函数,则定义,g,f=|x,X,z,Z,y(y,Y,f,g),则称,g,f,为f与g的复合函数(左复合).,结论,:,g,f,(x)=g(f(x),二,.,复合函数的计算,计算方法同复合关系的计算,.,函数的复合一.定义:f:XY,g:YZ是函数,则定,例,f:X,Y,g:Y,Z,X=1,2,3 Y=1,2,3,4,Z=1,2,3,4,5,f=,g=,则,g,f,用关系图复合,:,三.函数复合的性质,定理,1,（满足可结合性）。,f:X,Y,g:Y,Z,h:Z,W,是函数,则,(,h,g),f=h,(g,f),。,3,。,2,。,1,。,3,。,2,。,1,。,4,X Y,Z,。,3,。,2,。,1,。,4,。,5,。,3,。,2,。,1,。,3,。,2,。,1,。,4,。,5,X Z,g,f,f,g,例 f:XY,g:YZ。3。2。1。3。2。1。,定理,2.,f:X,Y,g:Y,Z是两个函数,则,如果,f和g是,满射的，则,g,f,也是满射的；,如果,f和g是,入射的，则,g,f,也是入射的；,如果,f和g是,双射的，则,g,f,也是双射的。,证明：,设,f和g是,满射的，因,g,f,:XZ,任取,zZ,因,g:Y,Z是,满射的，所以存在,yY,使得,z=g(y),又因,f:X,Y是,满射的，所以存在,xX,使得,y=f(x),于是有,z=g(y)=g(f(x)=,g,f,(x),所以,g,f,是,满射的。,设,f和g是,入射的，因,g,f,:XZ,任取,x,1,x,2,X,x,1,x,2,，,因,f:X,Y是,入射的，,f(x,1,)f(x,2,),而,f(x,1,),f(x,2,)Y,，因,g:Y,Z是,入射的，,g(f(x,1,)g(f(x,2,),即,g,f(,x,1,),g,f(,x,2,),所以,g,f,也是入射的。,定理2.f:XY,g:YZ是两个函数,则,定理,3,如果,g,f,是满射的，则,g是,满射的；,如果,g,f,是入射的，则,f 是,入射的；,如果,g,f,是双射的，则,f是,入射的,和g是,满射的。,定理,4,f:X,Y,是函数,则,f,I,X,=f,且,I,Y,f=,f,。,离散数学-函数课件,5-3,逆函数,R,是,A,到,B,的关系，其逆关系,R,C,是,B,到,A,的关系。,R,C,=|,R,f:XY f,C,:YX,是否是函数？,。,3,。,2,。,1,。,c,。,b,。,a,。,3,。,2,。,1,。,c,。,b,。,a,f:X Y,f,C,:Y X,5-3 逆函数R是A到B的关系，其逆关系RC是B到A的关系,定理,1,若,f,是,XY,的双射，则,f,C,是,Y,X,的函数。,证明：,（,1,）对任意的,y,Y,，由,f,是双射，得,f,是满射，所以,ran f=Y,故,dom f,C,=ran f=Y,（,2,）对任意的,y,Y,，若存在,x,1,X,，,x,2,X,使,f,C,且,f,C,则,f,且,f,由于,f,是单射，有,x,1,=x,2,。,由（,1,）、（,2,），,f,C,是,Y,X,的函数。,定理1 若f是XY的双射，则fC是YX的函数。证明：（1,逆函数的定义,定义：设,f,是,X,Y,的双射函数，则称,f,C,：,Y,X,为,f,的逆函数，并记,f,-1,。,定理：,f,-1,是,Y,X,的双射函数。,证明：由于,ran f,-1,=dom f=X,，,所以，,f,-1,是满射。,对任意,x,X,，若存在,y,1,y,2,Y,使得,f,-1,且,f,-1,则,f,且,f,，,由于,f,是函数，所以,y,1,=y,2,，即,f,-1,是单射。,因此，,f,-1,是双射。,逆函数的定义定义：设f是XY的双射函数，则称fC：YX为,二,.,性质,1.,定理,1,设,f:XY,是双射的函数，则,(f,-1,),-1,=f,。,2.,定理,2,设,f:XY,是双射的函数，则有,f,-1,f=I,X,且,f,f,-1,=I,Y,。,证明：先证明定义域、陪域相等。,因为,f:XY,是双射的，,f,-1,:YX,也是双射的,，,所以,f,-1,f,:,X,X,I,X,:X,X,可见,f,-1,f,与,I,X,具有相同的定义域和陪域。,再证它们的对应规律相同：xX，因,f:XY,，,yY,使得,y=f(x),又f 可逆，故,f,-1,(y)=x，于是,f,-1,f,(x)=f,-1,(f(x)=f,-1,(y)=x=,I,X,(x),同理可证,f,f,-1,=I,Y,。,二.性质1.定理1 设f:XY是双射的函数，则(f-1)-,3.,定理,3,令,f:X,Y,g:Y,X是两个函数,如果,g,f=I,X,且,f,g=I,Y,则,g=,f,-1,。,证明：,证,f和g都可逆。因为,g,f=I,X,，,I,X,是双射的，由关系复合性质,3,得，,f是,入射的,和g是,满射的。同理由,f,g=I,Y,，得g是,入射的,和f 是,满射的。所以f和g都可逆。,显然,f,-1,和,g,具有相同的定义域和陪域。,X,Y,。,。,。,。,。,1,2,3,a,b,。,c,f,。,。,。,1,2,3,X,f,-1,。,。,。,1,2,3,X,。,。,。,1,2,3,X,I,X,X Y。123ab。cf。,证明它们的对应规律相同。,任取,yY,，,f,-1,(y)=f,-1,I,Y,(y),=,f,-1,(f,g),(y),=(,f,-1,f),g,(y),=(,I,X,g),(y)=g(y),所以,f,-1,=g,注,：,f,-1,=g 的两个条件必须同时满足，缺一不可。,4.,定理,4,令,f:X,Y,g:Y,X是两个,双射,函数,则,(g,f),-1,=f,-1,g,-1,X,Y,。,。,。,。,1,2,a,b,。,c,f,。,。,1,2,X,g,。,。,1,2,X,。,。,1,2,X,I,X,证明它们的对应规律相同。X Y。,