单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,代数系统又称为代数结构(抽象代数,近世代数),它是在一个抽象集合上定义了若干抽象代数运算后所组成的系统.,不同的数学结构常常具有相同的代数运算性质,把这些共同的性质抽象出来加以统一研究,就形成了代数系统这门学科.,代数系统的理论在逻辑电路设计,形式语言,自动机,数据结构,编码理论等的研究中有广泛的应用.,代数结构,代数系统又称为代数结构(抽象代数,近世代数),它是,1,1.代数系统,:,非空集A及其上的运算组成的系统,.,2.运,算,性,质,交换律:对,x,y,A,有,x,y=y,x,结合律:,对,x,y,z,A,有(,x,y,),z,=,x,(,y,z,),等幂律:,x,A,有,x,x,=,x,消去律:若,x,z=y,z,z,x=z,y,则,x=y,分配律:,x,y,z,A,有,x,(,y,z,)=(,x,y,),(,x,z,),(,y,z,),x,=(,y,x,),(,z,x,),吸收律:,对,x y,A,有,x,(x,y),=,x,x,(x,y),=,x,幺元,:,e,A,对,x,A,有,e,x=x,e=x.,零元:,A,对,x,A,x=x,=,逆元:,x,A,有,x,-1,A.,重点掌握的基本内容,运算,是封闭的,即对,x,y,A,有,x,y,A.,1.代数系统:非空集A及其上的运算组成的系统,2,阿贝尔群:交换律,3.群论,半群:,封闭.,可结合.,独异点,:,封闭.,可结合.有幺元.,循环群:G=a,i,|i,I,群,子群,:,有限子群,在S上封闭;,一般子群,a,b,S,有,a,b,-1,S,性质:,无零元;ax=b有唯一解;e是唯一等幂元;,消去律;运算表是置换,.,特殊群,拉格朗日定理及推论:,子群的阶整除群的阶,.,对给定集合S,及运算,判定:,封闭,可结合,有幺元,有逆元.,阿贝尔群:交换律3.群论半群:封闭.可结合.,3,4.同态同构,同态,f,:,a,1,a,2,A,有,f,(,a,1,a,2,)=,f,(,a,1,),f,(,a,2,),满同态:,b,B,a,A,使得,b,=,f,(,a,),单一同态:,若,a,1,a,2,则,f,(,a,1,),f,(,a,2,),同构,:,同态映射是满射和入射的.,性质:,设,f,是从到的同态映射。,(,a,)如果是半群,则 也是半群,(,b,)如果是独异点,则 也是.,(,c,)如果是群,则 也是群,。,设,f,是代数系统,的一个映射,4.同态同构同态 f:a1,a2A,有 f,4,格与代数系统的关系,各种格的运算性质(10个).,各种格的结构特征,5、格与布尔代数,格的判定,分配格的判定,有补格的判定,布尔格的判定,判定问题,(,通过哈斯图或定义),有限布尔代数唯一性定理的运用,格与代数系统的关系5、格与布尔代数格的判定判定问题有限布尔代,5,常考知识点,1.运算的性质,4.交换群与循环群,2.群的判定,3.子群的判定,6.判定同态同构,5.拉格朗日定理的应用,7.各种格的判定,常考知识点1.运算的性质4.交换群与循环群2.群的判定,6,例,1,设,，定义,二元运算如下：,上的两个,求运算,和,的运算表。,解：,分别是,，,的和,与积除以,5,的余数，运算表如下：,例1 设，定义 二元运算如下：上的两个求运算,7,代数系统习题课课件,8,代数系统习题课课件,9,代数系统习题课课件,10,代数系统习题课课件,11,代数系统习题课课件,12,代数系统习题课课件,13,解：,正整数集合关于数的加法运算构成半群，但没有单位元；关于数的乘法运算构成半群，有单位元1.,解：正整数集合关于数的加法运算构成半群，但没有单位元；关于数,14,代数系统习题课课件,15,代数系统习题课课件,16,代数系统习题课课件,17,代数系统习题课课件,18,代数系统习题课课件,19,代数系统习题课课件,20,代数系统习题课课件,21,代数系统习题课课件,22,代数系统习题课课件,23,练习题,1、A=n|n和5互质，则A对+封闭吗？,2、B=n|n整除30，则A对+封闭吗？,3、对减法封闭的集合对加法也封闭吗？,4、整数加法构成群（）,练习题1、A=n|n和5互质，则A对+封闭吗？,24,5、,x*y=1/2(x+y),则每个元素可逆（）,6、已知G=为半群,其中 P(a,b)为a，b的幂集，,为集合的并运算。G有幺元吗?G有零元吗?说明G为什么不是群?,7、已知,*定义为a*b=a+2b,确定是否为群。,5、,x*y=1/2(x+y),则每个元素,25,8.6阶群不可能有4阶子群.(),9.若群中每个元素以自身为逆,则是交换群.(),10.设V=,I为整数集合,为普通加法.,则命题为假的是,是群,是循环群,交换群,不是A,B,C,8.6阶群不可能有4阶子群.(),26,11.设G=为群,其运算表为_,单位元为_,b的逆元为_,12.已知G=为半群,其中,为集合的并运算,判断G是否为群?,13.设G=(a)是6阶循环群,求G的所有子群.,14.设f,g是,到的同态,*满足结合和交换律,则,H(x)=f(x),*,g(x)也是,到的同态.,11.设G=为群,其运算表为_,27,15.R=x|X,R,0,x,1,证明是格,其运算,是什么?,16.对n=4,12,给出格的哈斯图.Tn为n的因子集合.,17.求出的所有有补元素的补元.,18.在格中,若有abc,则必有:ab=bc,15.R=x|XR,0 x1,证明是格,其,28,