第二节 证明不等式的基本方法,第二节 证明不等式的基本方法,选修4-5-第二节-证明不等式的基本方法课件,1.,比较法证明不等式可分为,_,比较法和,_,比较法两种,求差比较法,求商比较法,理论依据,ab_,a0,_,b0,a-b=0,ab,ab,a-b,x-y.(),（,2,）已知,ab-1,则,(),（,3,）设,(ba0),，则,st.(),（,4,）证明 可用比较法证明,.(),判断下面结论是否正确（请在括号中打“”或“”）.,【,解析,】,（,1,）错误,.,若,x-y0,，则有,x+2yb-1,a+1b+10,（,3,）错误,.ba0,a-b0,st.,（,4,）错误,.,该不等式无论用求差法还是求商法都不好证明，最,好用分析法,.,答案：,（,1,）,（,2,）（,3,）,（,4,）,【解析】（1）错误.若x-y0，则有x+2yba,证明：,a,2,b+b,2,c+c,2,aba,b-a0,c-b0,c-a0,ab,2,+bc,2,+ca,2,a,2,b+b,2,c+c,2,a,即,a,2,b+b,2,c+c,2,aba,b-a0,c-b0,c-a0,【,互动探究,】,在本例题（,2,）的条件下，证明,【,证明,】,【互动探究】在本例题（2）的条件下，证明,【,拓展提升,】,比较法证明不等式的方法与步骤,1.,求差比较法的一般步骤及变形的常用方法,(1),求差比较法的一般步骤是：求差、变形、判断符号、得出结论,.,（,2,）常用的变形方法有,:,因式分解、配方、通分、拆项、添项等,.,2.,求商比较法的一般步骤及注意事项,(1),求商比较法的一般步骤是：求商、变形、判断与,1,的大小关系,得出结论,.,(2),注意事项：利用求商比较法时，要注意分母的符号,.,【拓展提升】比较法证明不等式的方法与步骤,【,提醒,】,当不等式的两边为对数式时，可用求商比较法证明，另外，要比较的两个解析式均为正值，且不宜用求差比较法时，也常用求商比较法,.,【提醒】当不等式的两边为对数式时，可用求商比较法证明，另外，,【,变式备选,】,已知,p,，,q,均为正数，且,p+q=1,试证明（,px+qy),2,px,2,+qy,2,.,【变式备选】已知p，q均为正数，且p+q=1,试证明（px+,【,证明,】,（,px+qy),2,-(px,2,+qy,2,)=p(p-1)x,2,+q(q-1)y,2,+2pqxy,p+q=1,p-1=-q,q-1=-p.,故（,px+qy),2,-(px,2,+qy,2,),=-pq(x,2,+y,2,-2xy),=-pq(x-y),2,.,由于,p,q,为正数，故,-pq(x-y),2,0,故（,px+qy),2,px,2,+qy,2,当且仅当,x=y,时，不等式中等号成立,.,【证明】（px+qy)2-(px2+qy2)=p(p-1)x,考向,2,综合法证明不等式,【,典例,2】,已知,a,bR,+,且,a+b=1,求证：,【,思路点拨,】,分析不等式左边的特点结合已知条件，利用平均,值不等式证明该不等式,.,考向 2 综合法证明不等式,【,规范解答,】,方法一：左边,=,当且仅当,a=b,时，等号成立,.,即原不等式成立,.,【规范解答】方法一：左边=,方法二：,a,，,bR,+,，且,a+b=1,当且仅当,a=b,时，等号成立,.,方法二：a，bR+，且a+b=1,【,拓展提升,】,证明不等式的方法及注意事项,(1),注意事项：运用性质时，要注意性质成立的前提条件,.,(2),在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的,.,在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件,.,【拓展提升】证明不等式的方法及注意事项,【,变式训练,】,已知,a,bR,+,且,a+b=1,求证：,【,证明,】,方法一：,a,，,b,（,0,，,+,），且,a+b=1,当且仅当,a=b,时，等号成立,.,【变式训练】已知a,bR+,且a+b=1,求证：,方法二：,当且仅当,a=b,时，等号成立,.,方法三,：,方法二：,考向,3,利用分析法证明不等式,【,典例,3】,已知,x0,y0,求证：,【,思路点拨,】,待证不等式中含有分数指数幂，不易直接证明,可考虑用分析法证明,.,两边六次方，消去分数指数幂，化为整式不等式后，再进行变形，整理证明即可,.,考向 3 利用分析法证明不等式,【,规范解答,】,要证明,只需证,(x,2,+y,2,),3,(x,3,+y,3,),2,，,即证,x,6,+3x,4,y,2,+3x,2,y,4,+y,6,x,6,+2x,3,y,3,+y,6,，,即证,3x,4,y,2,+3x,2,y,4,2x,3,y,3,x0,y0,x,2,y,2,0.,即证,3x,2,+3y,2,2xy,3x,2,+3y,2,x,2,+y,2,2xy,3x,2,+3y,2,2xy,成立，,【规范解答】要证明,【,拓展提升,】,1.,综合法与分析法的逻辑关系,（,1,）用综合法证明不等式是,“,由因导果,”,分析法证明不等式是,“,执果索因,”,，它们是两种思路截然相反的证明方法,.,（,2,）综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理、清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤,.,（,3,）分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野,.,【拓展提升】1.综合法与分析法的逻辑关系,2.,分析法的应用,当所证明的不等式不能使用比较法，且和平均值不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆,.,2.分析法的应用,【,变式训练,】,已知,a0,b0,2ca+b,求证：,【,证明,】,要证：,只需证：,只需证：,只需证：,(a-c),2,c,2,-ab,只需证：,a,2,+c,2,-2aca,2,+ab.,a0,只需证,2ca+b,由题设，上式显然成立,.,故,【变式训练】已知a0,b0,2ca+b,考向,4,用反证法证明不等式,【,典例,4】,若,a,3,+b,3,=2,，求证,:a+b2.,【,思路点拨,】,直接证明,a+b2,比较困难，可考虑从反面入手，运用反证法，导出矛盾，从而证得结论,.,考向 4 用反证法证明不等式,【规范解答】,方法一,:,假设,a+b,2,而,但取等号的条件为,a=b=0,显然不可能,a,2,-ab+b,2,0.,则,a,3,+b,3,=(a+b)(a,2,-ab+b,2,),2(a,2,-ab+b,2,),而,a,3,+b,3,=2,故,a,2,-ab+b,2,1.,1+ab,a,2,+b,2,2ab.,从而,ab,1.,a,2,+b,2,1+ab,2.(a+b),2,=a,2,+b,2,+2ab,2+2ab,4.,a+b,2.,这与假设矛盾，故,a+b2.,【规范解答】方法一:假设a+b2,方法二,:,假设,a+b,2,，则,a,2-b,故,2=a,3,+b,3,(2-b),3,+b,3,，,即,2,8-12b+6b,2,即,(b-1),2,0,，这不可能，,从而,a+b2.,方法二:假设a+b2，则a2-b,方法三,:,假设,a+b,2,则,(a+b),3,=a,3,+b,3,+3ab(a+b),8.,由,a,3,+b,3,=2,得,3ab(a+b),6.,故,ab(a+b),2.,又,a,3,+b,3,=(a+b)(a,2,-ab+b,2,)=2.,ab(a+b),(a+b)(a,2,-ab+b,2,).,a,2,-ab+b,2,ab,即,(a-b),2,0.,这不可能，故,a+b2.,方法三:假设a+b2,【,拓展提升,】,1.,适宜用反证法证明的数学命题,(1),结论本身是以否定形式出现的一类命题,.,(2),关于唯一性、存在性的命题,.,(3),结论以,“,至多,”,、,“,至少,”,等形式出现的命题,.,(4),结论的反面比原结论更具体、更容易研究的命题,.,2.,反证法常见推出的矛盾,（,1,）通过推证，得出与假设矛盾的结论,.,（,2,）通过推证，得出与已知矛盾的结论,.,（,3,）通过推证，得出自相矛盾的结论,.,【拓展提升】1.适宜用反证法证明的数学命题,【,变式训练,】,用反证法证明下列结论：,已知,0,a,1,，则,【,证明,】,假设,通分得,0,a,1,1+3a,9a(1-a).,整理得（,3a-1,）,2,0.,这与平方数不小于,0,矛盾,.,假设不成立，则,【变式训练】用反证法证明下列结论：,选修4-5-第二节-证明不等式的基本方法课件,选修4-5-第二节-证明不等式的基本方法课件,