,49,第一章 行列式,1.2,行列式的性质与计算,1.2,行列式的性质与计算,三、,行列式的三个基本操作及其性质,二、几个简单的性质,四、关于代数余子式的重要性质,一、,行列式的,转置,五、行列式的计算,1.2 行列式的性质与计算 三、行列式的三个基本操作及其,特点,一、行列式的转置,定义,不妨,记为,设行列式,其,转置行列式,为,1.,转置行列式的概念与特点,P,6,特点 一、行列式的转置定义不妨设行列式,行列式与它的转置行列式相等，即,性质,一、行列式的转置,1.,转置行列式的概念与特点,2.,性质及其意义,行列式中的 “行” 与 “列” 具有,同等的地位,，,意义,因此凡是对“行”成立的性质对“列”也,同样成立,.,比如，,行列式,D,亦可依行展开，,即,P,7,性质,1,P,8,推论,(,跳过证明,?),行列式与它的转置行列式相等，即 性质一、行列式的转置1,证明,(,利用数学归纳法证明,),对,1,阶行列式，性质显然成立；,假设对于,阶行列式成立，,则对于,n,阶行列式有,同理,即性质对于,n,阶行列式也成立。,由归纳假设,证明(利用数学归纳法证明)对 1 阶行列式，性质显然成立；假,二、几个简单的性质,性质,(1),若行列式中某,行,(,列,),的,元素全为零,则其值为零,.,(2),若行列式的某,列,(,行,),的元素都是,两数之和，,行列式等于两个行列式之和，,则该,即,P8,P,10,性质,4,二、几个简单的性质性质(1) 若行列式中某行(列)的元素全为,(2),交换第,i,j,两行,(,或列,),的,所有元素，,(1),将第,i,行,(,或列,),中所有的元素,k,倍，,三、行列式的三个基本操作及其性质,1.,三个基本操作,为了方便讨论，通常用,r,i,表示第,i,行，,c,i,表示第,i,列,.,(3),将第,i,行,(,或列,),的,各元素的,k,倍加到第,j,行,(,或列,),(,或,).,记作,(,或,).,记作,对应的元素上，,记作,(,或,).,补,(2) 交换第 i, j 两行(或列)的所有元素， (1),三、行列式的三个基本操作及其性质,1.,三个基本操作,2.,相应的三个性质,将行列式的某一行,(,列,),中,所有的元素,k,倍，,性质,1,证明,只需将上式两边的行列式按第,i,行展开即可证明,.,则行列式,的值,k,倍,，,即,P8,性质,2,三、行列式的三个基本操作及其性质 1. 三个基本操作,例,形如,试证：奇数阶反对称行列式等于,0,。,的行列式称为,反对称行列式,。,证,故,D,=,0,。,所以有,由于,n,为奇数，,例形如试证：奇数阶反对称行列式等于 0。的行列式称为反对称行,例如,交换行列式中的两行,(,列,),，,行列式的值反号,.,性质,2,P8,性质,3,例如 交换行列式中的两行(列)， 行列式的值反号.,交换行列式中的两行,(,列,),，,行列式的值反号,.,性质,2,证明,(,利用数学归纳法证明,),对于,2,阶行列式,结论显然成立；,假设对于,阶行列式结论成立，,下证对于,n,阶行列式,结论也成立。,(,注意此时,),设 是行列式,D,交换第,i,j,两行后得到的行列式，,由于,因此除第,i,j,两行外还有一个第,k,行。,令 和 分别是行列式 和,D,的第,k,行的代数,由归纳假设有,于是有,余子式，,交换行列式中的两行(列)， 行列式的值反号. 性质2,证明,设行列式,D,的,第,i,行与第,j,行的,元素相同，,如果行列式中有,两行,(,列,),的对应,元素相同，则行列式,推论,1,的值为零,.,即得,将,D,的,第,i,行与第,j,行的元素交换，,由性质,2,有,P9,推论,1,证明 设行列式 D 的第 i 行与第 j 行的元素相同，,证明,若行列式中有,两行,(,列,),的元素对应,成比例，则行列式,推论,2,的值为零,.,P10,推论,3,证明若行列式中有两行(列)的元素对应成比例，则行列式推论2,即,将行列式的,某一列,(,行,),的各元素,k,倍加到另一列,(,行,),性质,3,对应的元素上，行列式的值不变，,证明,只需将上式右端行列式的第,j,列拆开即可证明,.,P11,性质,5,即 将行列式的某一列(行)的各元素 k 倍加到另一列(行),?,问,?,?,四、关于代数余子式的重要性质,引例,已知,?问 ?四、关于代数余子式的重要性质 引例 已知,证明,将行列式按第,j,行展开，有,四、关于代数余子式的重要性质,行列式任,一行,(,列,),的元素与另一行,(,列,),的对应,元素的,定理,代数余子式乘积之和等于零，,即,把 换成,可得,P9,推论,2,证明将行列式按第 j 行展开，有四、关于代数余子式的重要性质,同理,相同,同理相同,四、关于代数余子式的重要性质,综合,其中,四、关于代数余子式的重要性质综合其中,例,设,解,例设解,利用,行列式的,性质把行列式化为,上三角形行列式,。,五、行列式的计算,基本思路,(2),交换两行,(,或列,),；,(1),某行,(,或列,),k,倍；,基本操作,(3),某行,(,或列,),的,k,倍加到另一行,(,或列,),。,常用技巧,(5),高化,(,低阶化为高阶,),。,(1),用某行,(,或列,),去减其它行,(,或列,),；,(4),递归,(,高阶化为低阶,),；,(3),逐行,(,或列,),相减,；,(2),所有行,(,或列,),全部加到,某一行,(,或列,),上；,利用行列式的性质把行列式化为上三角形行列式。五、行列式的计算,例,计算行列式,解,例 计算行列式解,例,注,本例的方法适合于计算机编程实现。,例注 本例的方法适合于计算机编程实现。,例,计算行列式,解,将第,3,4,列都加到第,2,列得,例 计算行列式解将第 3, 4 列都加到第 2 列得,例,计算,n,阶行列式,解,将第,2,至,n,列都加到第,1,列得,P,13,例,7,例 计算 n 阶行列式解将第 2 至 n 列都加到第 1,将第一行,减到其它行,将第一行减到其它行,例,计算,解,逐行相减,P,12,例,5,例 计算解逐行相减P 12 例 5,例,计算行列式,(,采用“高化”方法,),第一行的,(,-,1),倍加到其它行,解,(1),当,x,=,0,或,y,=,0,时，,D,= 0,；,(2),当 时，,例 计算行列式(采用“高化”方法)第一行的 (-1) 倍,注意“鸡爪”型,行列式,的处理,注意“鸡爪”型行列式的处理,例,计算行列式,解,(,采用“高化”方法,),第一行分别乘,第,2, 3, 4,行,减到,按第一行,(,列,),展开,例 计算行列式解(采用“高化”方法)第一行分别乘第 2,按第一列展开,解,例,计算,按第一列展开解例 计算,进一步，由 递推可得：,本题可直接按,最后一行,展开。,注,进一步，由,例,计算,n,阶行列式,解,逐行相减,例 计算 n 阶行列式解逐行相减,法一,逐步递推,法二,b,c,互换,即得,(,A,),(,B,),由,(,A,), (,B,),求解得,(,渐悟,),(,顿悟,),法一逐步递推法二b, c 互换即得(A)(B)由 (A),按第,1,列展开,解,例,计算,n,阶行列式,P17,例,11,按第 1 列展开解例 计算 n 阶行列式P17 例11,考虑一个一般的两步递推式,附：,如何将两步递推转化为一步,递推,设,则有,即,a,b,是方程 的两个根。,比如，对于递推式 有,进一步可转化为,考虑一个一般的两步递推式附：如何将两步递推转化为一步递推设则,证,(,用数学归纳法证明,),例,证明,范德蒙德,(Vandermonde),行列式,因此，当,n,= 2,时结论成立。,P15,例,9,证(用数学归纳法证明)例证明范德蒙德 (Vandermond,证,从,D,n,的最后一行开始，,下面假设结论对,n,-,1,阶成立，要证结论对,n,阶也成立。,的,x,1,倍减到下一行，得,由下而上，依次将上一行,例,证明,范德蒙德,(Vandermonde),行列式,P15,例,9,证 从 Dn 的最后一行开始，下面假设结论对,按第,1,列展开，并把每列的公因子提出，就有,按第 1 列展开，并把每列的公因子提出，就有,n,-,1,阶范德蒙德行列式,由归纳法假设，即得：,n-1 阶范德蒙德行列式由归纳法假设，即得：,解,将,D,的第,1,行加到第,3,行得,试用范德蒙行列式计算,例,3,阶范德蒙德行列式,解将 D 的第 1 行加到第 3 行得试用范德蒙行列式计算例,行列式中行与列具有同等的地位，,计算行列式的常用方法：,(1),利用定义,;,(2),利用性质把行列式化为上三角形行列式，,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立。,小结,从而得到行列式的值。,行列式中行与列具有同等的地位， 计算行列式,解,补充题,1,求,设,n,阶行列式,解补充题1求设 n 阶行列式,已知,abcd,=1,，,计算,补充题,2,解,1,2,列,3,4,列,2,3,列,交,换,已知 abcd =1，计算补充题2解1, 2 列3, 4 列,提示：,按第,1,列展开。,答案：,计算,n,阶行列式,补充题,3,提示：按第 1 列展开。答案：计算 n 阶行列式补充题3,提示：,各行,(,列,),之和相等。,答案：,计算,n,阶行列式,补充题,4,提示：各行 (列) 之和相等。 答案：计算 n 阶行列式补充,提示：,将第一行的,2,、,3,、,4,倍分别减到第,2,、,3,、,4,行。,补充题,5,设函数,则方程,f,(,x,) = 0,的根的个数为,(A) 1,个,(B) 2,个,(C) 3,个,(D) 4,个,答案：,B,.,提示：将第一行的 2、3、4 倍分别减到第 2、3、4 行。,补充题,6,证明,补充题6 证明,不妨设为,证,对,D,1,作,行运算,化为下三角形行列式，,对,D,的前,k,行作,同样的行运算,得到：,即得,逐行展开,不妨设为证对 D1 作行运算 化为,轻松一下吧,轻松一下吧,谢谢观赏！,谢谢观赏！,