单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第二节 数列极限,自然界中有很多量仅仅通过有限次的算术运算是计算不出来的，而必须通过分析一个无限变化趋势才能求得结果，这正是极限概念和极限方法产生的客观基础。本节中我们将介绍微积分发展史中的两个典型问题，在解决这两个问题的过程中，孕育了极限思想，并产生了微积分的两个分支-微分学和积分学。,(Limits of Sequences,),11/19/2024,1,第二节 数列极限 自然界中有很多量仅仅通过有限次,一 问题的提出,二 数列极限,第二节 数列极限,(Limits of Sequences,),三 数列极限的性质,五 思考判断题,四 内容及数学思想方法小结,11/19/2024,2,一 问题的提出二 数列极限第二节 数列极限(Lim,1 割圆术,我国古代数学家刘徽在九章算术注利用圆内接正多边形计算圆面积的方法,割圆术,，就是极限思想在几何上的应用。,一 问题的提出,(,Introduction,),11/19/2024,3,1 割圆术 我国古代数学家刘徽在九章算术注利用圆内,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,说明：刘徽从圆内接正六边形，逐次边数加倍到正,3072边形得到圆周率 的近似值为3.1416,11/19/2024,4,正六边形的面积正十二边形的面积正 形,二 数列的极限,1 数列,L,L,2,1,n,x,x,x,数列的通项,n,x,例如,x,y,O,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,(Limits of Sequences,),11/19/2024,5,二 数列的极限1 数列LL,21nxxx数列的通,注：,1）数列对应着数轴上一个点列，可看作一动点在数轴上依次取,2）数列是以自然数为定义域的函数,11/19/2024,6,注：1）数列对应着数轴上一个点列，可看作一动点在数轴上依次取,2 数列极限的定义,从前面的实例可以看出，他们具有一个共同的,属性-收敛性,。,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,抛开具体含义，抽象得到数学模型-,数列极限,。,11/19/2024,7,2 数列极限的定义从前面的实例可以看出，他们具有一个共,播放,图形演示,11/19/2024,8,播放图形演示10/7/20238,通过上面演示实验的观察:,极限的粗略定义,).,(,n,1,x,n,11/19/2024,9,通过上面演示实验的观察:极限的粗略定义).(n1xn1,一般地，,).,(,n,a,x,n,11/19/2024,10,一般地，).(naxn10/7/202310,极限的精确定义,如果对于任意给定的正数,e,(,不论它多么,小,),总存在正数,N,使得对于,N,n,时的一切,n,x,不等式,e,-,a,x,n,都成立,那末就称常数,a,是数列,n,x,的极限,或者称数列,n,x,收敛于,a,记为,lim,a,x,n,n,=,或,).,(,n,a,x,n,如果数列没有极限,就说数列是发散的.,注,但,N不是,的函数,如果对于任意给定的正数,e,11/19/2024,11,极限的精确定义如果对于任意给定的正数e(不论它多么小),总存,具有任意性，确定性,N具有存在性，相应性,4）数列的极限与前面的有限项无关,。,3）,极限的精确定义,任意,存在,11/19/2024,12,具有任意性，确定性N具有存在性，相应性4）数列的极限与前面的,3 几何解释,lim,a,x,n,n,=,11/19/2024,13,3 几何解释,limaxnn=10/7/202313,4 用数列极限的定义证明极限.,例1,证,所以,11/19/2024,14,4 用数列极限的定义证明极限.例1证所以,10/7/20,例2,证明,所以,说明,常数列的极限等于同一常数.,11/19/2024,15,例2证明所以,说明常数列的极限等于同一常数.10/7/202,例3,证,11/19/2024,16,例3证10/7/202316,1 唯一性,定理1,收敛的数列只有一个极限,.,证,由定义,故收敛数列极限唯一.,三 数列极限的性质,11/19/2024,17,1 唯一性定理1 收敛的数列只有一个极限.证由定义,故收,例4,证,由定义,区间长度为,1.,不可能同时位于,长度为1,的,区间内,.,11/19/2024,18,例4 证由定义,区间长度为1.不可能同时位于长度为1的区间内,2,有界性,例如,lim,a,x,n,n,=,11/19/2024,19,2 有界性例如,limaxnn=10/7/2023,定理2,收敛的数列必定有界,.,证,注1,有界性是数列收敛的必要条件.,注2,无界数列必定发散,.,注3,有界数列不一定收敛,.,11/19/2024,20,定理2 收敛的数列必定有界.证注1 有界性是数列收敛的,定理3,收敛的数列的保号性,.,证,11/19/2024,21,定理3 收敛的数列的保号性.证10/7/202321,4,收敛数列与其子数列的关系,.,11/19/2024,22,4 收敛数列与其子数列的关系.10/7/202322,定理4,收敛数列与其子数列的关系,.,由定义,11/19/2024,23,定理4 收敛数列与其子数列的关系.由定义,10/7/202,四 内容小结及数学思想方法,数列极限:,极限思想,精确定义,几何意义,收敛数列的性质:,有界性，唯一性.,思想方法,11/19/2024,24,四 内容小结及数学思想方法数列极限:极限思想,精确定义,几何,五 思考判断题,下列定义是否可作为数列极限的定义；,1、,对任意的,2、对任意的,11/19/2024,25,五 思考判断题下列定义是否可作为数列极限的定义；1、对任意,图形演示,11/19/2024,26,图形演示10/7/202326,图形演示,11/19/2024,27,图形演示10/7/202327,图形演示,11/19/2024,28,图形演示10/7/202328,图形演示,11/19/2024,29,图形演示10/7/202329,图形演示,11/19/2024,30,图形演示10/7/202330,图形演示,11/19/2024,31,图形演示10/7/202331,图形演示,11/19/2024,32,图形演示10/7/202332,图形演示,11/19/2024,33,图形演示10/7/202333,图形演示,11/19/2024,34,图形演示10/7/202334,图形演示,11/19/2024,35,图形演示10/7/202335,图形演示,11/19/2024,36,图形演示10/7/202336,图形演示,11/19/2024,37,图形演示10/7/202337,图形演示,11/19/2024,38,图形演示10/7/202338,