单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,C2.2 一般概念,1.欧拉运动方程,（无粘）,兰姆葛罗米柯方程,（无粘),2.欧拉积分（无粘、无旋,正压、重力、定常）,伯努利积分（无粘、无旋,不可压、重力、定常）,常数,(全流场）,常数,（全流场）,C2.2 一般概念,C,2.1 引言(,工程背景),3.斯托克斯定理,（封闭曲线、涡束）,开尔文定理,（无粘、正压、有势力）,（沿封闭流体线）,C2.2 一般概念(2-2),例C2.2.2,有自由面的势涡：无旋流伯努利方程,已知:,涡量处处为零的涡旋运动称为势涡（参见），速度分布为,v,=,v,0,=,C,/,r,，,C,为常数，,r,为径向坐标。,求：,若势涡具有自由面（例如河中的水旋，见图），,试确定自由面方程。,解：,势涡流场为无旋流场，伯努利方程在全流场成立，在任意高度的两点上流体微元的总能量,守恒。设自由面的水平边界渐近线为,z,=,z,0,，渐近线的无穷远点与自由面上的任意点有关系式,在水平边界上,r,0,，,v,0,=,c,/,r,0,0,；且在自由面上，,p,s,=,p,0,，由上式可得,将,v,=,C,/,r,代入上式可得自由面方程为旋转双曲线方程,C2.3 速度势与流函数,名称:势函数,(,x,y,),条件:无旋流,引入:,定义:,等值线:,=C,(等势线),性质:等势线与速度垂直,流函数,(,x,y,),平面不可压缩,=C,(流线）,流线与等势线正交,C2.3 速度势与流函数,例C2.3.2,90角域流的速度势和流函数(2-1),已知:,90,角域流的速度分布式为：,u,=,kx,v,=,k,y,（,k,为常数）。,求：,（1）判断该流场是否存在速度势，若存在请确定其形式并画等势线图；,（2）判断该流场是否存在流函数。若存在请确定其形式并画流线图；,解：,（1）先计算速度旋度,上式中,C,为常数。速度势函数为,说明流场是无旋的，存在速度势,(,x,y,),，由（）式,(a),等势线方程为,x,2,y,2,=,常数，在,xy,平面上是分别以第一、三象限角平分线和第二、四象限角平分线为渐近线的双曲线族，如上图中的虚线所示。,（2）再计算速度散度,说明该流场是不可压缩平面流动，存在流函数,(,x,y,),，由（）式,上式中,C,为常数，流函数为,流线方程为,xy,=,常数，在,xy,平面上是分别以,x,y,轴为渐近线的双曲线族，如上图中的实线所示。,x,y,轴也是流线，称其为零流线。流线族与等势线族正交。,(b),例C2.3.2,90角域流的速度势和流函数(2-2),平面势流,平面流,存在速度势,无旋流,不可压缩,存在流函数,C2.4 平面势流与基本解,挑选一些基本解,i,(,i,),，,叠加后若满足边界条件即是所求之解。,C2.4 平面势流与基本解,C2.4.1 均流,物理背景 全流场以等速(,U,)做平行直线流动,速度分布,势函数,流函数,C2.4.1 均流,C2.4.2 点源与点汇,物理背景,当源汇位于,A,点,当源汇位于原点,O,点源（,Q,0,）：流体从一点均匀地流向各方向;,点汇（,Q,0,）：流体从各方向均匀地流入一点。,C2.4.2 点源与点汇,C2.4.3 点涡,物理背景 与平面垂直的直涡线（强度为,）诱导的流场。,当点涡位于,A,点,当点涡位于原点,O,C2.4.3 点涡,C2.4.4 偶极子,当偶极子位于原点,等势线,=C,流线,=C,物理背景 点源点汇无限接近(,0,)形成的流场。,（偶极矩,M,=,Q,=常数,，源汇）,C2.4.4 偶极子,例C2.4.4,兰金半体绕流：均流+点源(2-1),已知:,位于原点的强度为,Q,（,Q,0,）的点源与沿,x,方向速度为,U,的均流叠,加成一平面流场。,求：,（1）流函数与速度势函数；（2）速度分布式；（3）流线方程；,（4）画出物面流线及部分流线图。,解：,（1）流函数与速度势函数的极坐标形式分别为,（2）速度分布式为,（3）流线方程为,C,取不同值代表不同流线。其中通过駐点的流线的一部分为该流场绕流,物体的轮廓线，即物面流线。,(a),(d),(c),(b),(e),通过驻点,A,（-,b,0）,的右半部分物面流线由,A,点的流函数值决定,（4）物面流线的左半支是负,x,轴的一部分（,=,），驻点,A,（,-,b,0,）由,下式决定,流线方程为,物面流线及部分流线如右上图所示，右半部分所围区域称为兰金(,Rankine,)半体，在无穷远处,0和,2,，物面流线的两支趋于平行。由（g）式可确定两支距,x,轴的距离分别为,(g),例C2.4.4,兰金半体绕流：均流+点源(2-2),C2.5,绕圆柱的平面势流,C2.5.1 无环量圆柱绕流,一、求解流场,均 流,求流函数,偶极子,同理,基本解叠加,边界条件,圆柱面为零流线,无环量圆柱绕流(2-1),无环量圆柱绕流(2-2),二、流场分析,1.速度分布,在圆柱面(,S,)上,2.圆柱面上压强分布,表面压强系数,3.压强合力,F,x,=,0,（达朗贝尔佯缪），,F,y,=,0,C2.5.2 有环量圆柱绕流,在无环量圆柱绕流流场中再叠加一个点涡（顺时针）,一、求解流场,二、流场分析,1.速度分布,在圆柱面(,S,)上,有环量圆柱绕流(2-1),有环量圆柱绕流(2-2),2.求解驻点位置(,cr,),3.表面压强系数,|,|,4,aU,无驻点(自由驻点),4.压强合力,F,y,=U,升力公式,F,x,=,0,C2.6,绕机翼的平面势流,C2.6.1 儒可夫斯基升力定理,F,L,=,U,式中,U,为来流速度矢量，,为环量矢量（按右手法则确定方向）,C2.6.2 库塔条件,绕翼型产生环量的四个阶段,运动前（,=,0,）,2)运动后（开尔文定理）,3)环量大小（库塔条件）,4)“起动涡”和“附着涡”,将有环量圆柱绕流的,升力公式,推广到对任意形状截面的绕流,C2.6 绕机翼的平面势流,C2.6.3 机翼升力,机翼升力,2.压强分布,3.翼型,C2.6.3 机翼升力(2-1),C2.6.3 机翼升力,4.升力系数,5.有限翼展,C2.6.3 机翼升力(2-2),C2.7 叶栅中的升力定理,叶栅概念,平均速度为,得,y,方向分力,环量为,由伯努利方程,得,x,方向分力,由,y,方向动量方程,合力为,2.计算叶片升力,C2.7 叶栅中的升力定理,