单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,4.1.1,数学期望,(,均值,),的定义,即一个随机变量的平均取值，是它所有,可能取值的加权平均，权是这些可能值相应,的概率。,数字特征是由随机变量决定的一些常数，,期望与方差是其中最重要的两个特征，它们,只能刻化随机变量的部分性质。,1. 离散随机变量的数学期望,如果,X,的分布律,P ,X,=,x,k,=,p,k,k,1,满足,k,1,|,x,k,p,k,|,+,，,则,X,的数学期望定义为求和：,EX,= ,k,1,x,k,p,k,级数绝对收敛的条件是为了保证期望,不受求和顺序的影响。并不是任何随机变量,都有期望（习题第4题）。,级数绝对收敛,2. 连续随机变量的数学期望,如果,X,的密度函数,f,(,x,),满足,则连续随机变量,X,的数学期望是积分：,例,4.1.1 (,期望概念的来源,),甲、乙各出,100,元赌注，约定谁先获胜,3,局,就赢得全部,200,元，他们在每一局中输赢的机会,相同，在前,3,局比赛后赌博因故中止，此时甲,二胜一负，问他们应该如何分赌注？,解,.,两人各分,100,元显然对甲不公平；,按照,2,:,1,的比例仍然不合理。,公平的方法是：,假定赌博能够继续进行，,他们应该按照各自的“期望”所得来分。,剩下的比赛中最多再进行两局，所有可能,的情况是：甲甲，甲乙，乙甲，乙乙；其中有,3,种情况是甲赢得全部,200,元。,以,X,、,Y,分别定义甲、乙两人最终所得，,X,0 200,Y,0 200,p,0.25 0.75,p,0.75 0.25,显然,EX,= 150,，,EY,= 50,，所以公平,的办法是他们以,3,:,1,的比例分赌注。,例4.1.,2,一位射击教练将从两个候选人中挑选,一人作为他的队员，甲还是乙的成绩更好？,成绩(环数) 8 9 10,甲的概率 0.1 0.3 0.6,乙的概率 0.2 0.5 0.3,解. 以,X,、,Y,分别表示甲、乙射击一次的结果，,X,的数学期望(甲射击一次的平均成绩)是,EX,= 80.1 + 90.3 + 100.6 = 9.5 (,环)，,同理，乙射击一次的平均成绩是,EY,= 80.2 + 90.5 + 100.3 = 9.1 (,环)。,解. 以,X,记这个项目,的投资利润。,平均利润为：,EX,= 50.3 + 00.6 + (- 10)0.1 = 0.5，,而同期银行的利息是 100.02 = 0.2 ，,因此从期望收益的角度应该投资这个项目。,利润 5 0,- 10,概率 0.3 0.6 0.1,例4.1.,3,某人有 10 万元，如果投资于一项目,将有 30%的可能获利 5 万，60% 的可能不赔,不赚，但有10%的可能损失全部 10 万元；,同期银行的利率为 2% ，问他应该如何决策？,例4.1.,4,假定某人设计了如下一个赌局：,每个人从有 3 张假币的 10 张 100 元纸币中,随机地抽出 4 张。如果全是真的，则赢得,这 400元；如果这 4 张中至少有一张假币，,只输 100 元。问这种规则是否公平，或者,说你是否愿意参加？,解.,一个公平合理的赌博或博弈规则必须是,双方的平均获利都等于 0。,以,X,记每局赌博中庄家的获利 (可以为负) ，,则,X,所有可能的取值是,- 400,与 100 。,在古典概率模型中已经得到,X,的分布律,x,k,- 400 100,p,k, ,X,的数学期望，即庄家在每局赌博中,的平均获利为：,EX,= (- ) + = ,。,这种赌博对庄家有利，平均每一局,他将净赚 16.67 元。,1 5,6 6,400 500 50,6 6 3,例4.1.,5,假定乘客在公交车站等车的时间,X,(,分钟) 服从参数 5 的指数分布，,f,(,x,),=,0.2,e,- 0.2,x,，,x,0,问这个人的平均等车时间是几分钟？,解. 平均等车时间即是数学期望,EX,，,即平均需要等待 5 分钟。,例4.1.,6,有,2,个相互独立工作的电子装置，它们的寿命,X,k,服从同一指数分布,若将这,2,个电子装置串联联接组成整机，求整机寿命,N,的数学期望。,解,X,k,(,k,=1,2),的分布函数为,N,的分布函数为,两个随机变量中较小者的分布函数公式,N,的概率密度函数为,例4.1.,7,按规定，某车站每天,8:009:00,9:0010:00,都恰有一辆车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间相互独立。其规律为,到站时间,8:10 8:30 8:50,9:10 9:30 9:50,概率,1/6 3/6 2/6,一旅客,8:20,到站，求他候车时间的数学期望。,解 设旅客的候车时间为,X,，则,X,的分布率为,X,10 30 50 70 90,P,k,3/6 2/6 1/6, 1/6 1/6 3/6 1/6 2/6,当且仅当第一个车,8:30,到,当且仅当第一个车,8:10,到，而且第二个车,9:10,到,E,(,X,),=10 3/6 + 30 2/6 + 50 1/36 + 70 3/36 + 90 2/36=27.22,4.,1.2,随机变量函数的期望公式,(1) 离散随机变量,X,具有分布律：,P ,X,=,x,k, =,p,k,k,1,，,则随机变量,Y,=,g,(,X,),的数学期望是：,EY,=,E,g,(,X,) = ,k,1,g,(,x,k,),p,k,(2) 连续随机变量,X,具有密度函数,f,(,x,),，,则随机变量,Y,=,g,(,X,),的数学期望是：,EY,=,E,g,(,X,) =,证明见教材,(3) 连续随机向量,(,X,，,Y,),具有联合,密度函数,f,(,x,y,) ，,则随机变量,Z,=,g,(,X,，,Y,),的数学期望是,EZ,=,E,g,(,X,，,Y,),例4.1.,8,设随机变量,(,X,Y,),的概率密度为,求数学期望,E,(,Y,),E,(1/,XY,),解：在上面的公式中令,g,(,x,y,)=,y,得,例4.1.,9,某公司计划开发一种新产品市场，并试图确定该产品的产量，他们估计出售一件产品可获利,m,元，而积压一件产品导致,n,元损失，再者他们预测销量,Y,(,件,),服从指数分布，其概率，密度为,问若要获得利润的数学期望最大，应生产多少件产品？,解 设生产,x,件，则获利,Q,是,x,的函数：,Q,也是随机变量,Y,的函数：,4.1.3,数学期望的基本性质,即，设,a,、,b,是两个常数，则有：,E,(,a,+,bX,) =,a,+,b EX,；,1.,线性变换的期望等于期望的线性变换,2.,和的期望等于期望的和(不需要任何条件),对任意,n,个随机变量,X,1,、,X,n,，,都有：,E,(,X,1,+,X,2,+ +,X,n,) =,EX,1,+,EX,2,+ +,EX,n,3.,独立,乘积的期望等于期望的乘积,如果,X,1,、,X,2,、,X,n,相互独立,，则有：,E,(,X,1,X,2,X,n,) =,EX,1,EX,2,EX,n,例4.1.,10,设一民航送客车载有,20,位旅客自机场开出，旅客有是个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以,X,表示停车的次数，求,E,(,X,),（设每位旅客在各个车站下车是等可能的并设个旅客是否下车相互独立）。,则,习题：,6、7、8、9,4.2.1,方差的定义,如果,(,X,EX,),2,的数学期望存在，,即,E,(,X,-,EX,),2, + ,，,则称它是,X,的方差，记为,DX,或者,Var,(,X,)。,方差平方根,(,DX,),1/2,称为,X,的标准差或均方差,方差是一个随机变量在它的数学期望,附近取值的分散程度，方差越小说明这个,随机变量取值越集中于期望。,4.2,方差,1.,方差的计算公式,方差总是非负常数，期望可以是任意实数。,(1),按照表达式方差是一种特殊的随机变量,函数的期望：,DX,=,E,(,X,-,EX,),2,(2),常用公式：,DX,=,E,(,X,2, 2,XEX+,(,EX,),2,)=,E,(,X,2,) -,2,(,EX,),2,+ (,EX,),2,=,E,(,X,2,) - (,EX,),2,2.,期望与方差的概率意义,方差越小理解成随机变量的随机性越弱。,期望是一个随机变量取值的平均，方差是,随机变量在这个平均值附近取值的分散程度。,理论上可以证明，,随机变量,X,的方差为 0 的充分必要条件是，,这个随机变量取值为一个常数的概率是1 。,即,DX,= 0, P (,X,=,EX,) = 1,例4.,2.1,射击教练将从他的两名队员中选择,一人参加比赛，应该是甲还是丙更合适？,解. 这里甲、丙两人的平均成绩都是,EX,=,EZ,= 9.5,需要比较方差，简单计算后可以得到：,DX,= 0.45，,DZ,= 0.65,因此应该选择甲队员去参加比赛。,成绩(环数) 8 9 10,甲的概率 0.1 0.3 0.6,丙的概率 0.2 0.,1 0.7,练习4.2.,1,续例4.2.,1,，甲乙射击技术如下：,需要利用分布律计算并比较两个概率,P (,X,Y,)，,以及,P (,X,Y,),已经知道平均来说甲的成绩比乙好，计算,方差能发现甲的成绩也比乙稳定,(,DY,= 0.49),。,如果只射击一次，谁的成绩可能更好一些 ？,X,8 9 10,Y,8 9 10,p,0.1 0.3 0.6,p,0.2 0.5 0.3,4.2.2,方差的基本性质,与数学期望的性质比较：,E,(,a,+,bX,) =,a,+,b EX,平移改变随机变量期望，但不会改变方差,1. 随机变量线性变换的方差公式,设,a,、,b,是两个常数，则有,D,(,a,+,bX,) =,b,2,DX,；,2.,独立,和的方差等于方差的和,如果,X,1,、,X,2,、,X,n,相互独立,，则,D,(,X,1,+,X,2,+,X,n,) =,DX,1,+,DX,2,+ +,DX,n,与数学期望的性质比较：,任意随机变量和的期望等于期望的和 ；,独立随机变量乘积的期望等于期望的乘积。,3. 任意两个随机变量和的方差公式,D,(,X,+,Y,) =,DX,+,DY,+ 2,E,(,X,-,EX,)(,Y,-,EY,),若,X,、,Y,相互独立,D,(,X,+,Y,) =,DX,+,DY,假设,EX,=,，,DX,=,2,，则随机变量,Y,= ,称为是,X,的中心标准化。,X,-,随机变量的,(,中心,),标准化,4.,D,(,X,) = 0,P,X,=,C,=1,C,=,E,(,X,),例,4.2.2,假定,n,个独立随机变量,X,1,X,n,具有相同的期望,和方差,2,，定义,S,n,=,X,1,+,+,X,n,计算,S,n,的期望、方差并且把,S,n,中心标准化。,解,.,根据期望与方差的性质，,ES,n,=,n,，,DS,n,=,n,2,因此,S,n,的中心标准化为,“中心标准化” 的目的是通过线性变换,把一个随机变量的期望转化为 0 ，方差,转化为 1 。,1.,两点分布,都与这些分布的参数有关,X,只取,0,，,1,两个可能值，分布律为：,x,k,0 1,p,+,q,= 1,p,k,q,p,0,p,1,4.2.,3,常用分布期望与方差,EX,=,p,，,EX,2,=,p,，,DX,=,p-p,2,=,p,q,2. 二项分布,X,B,(,n,p,),的期望与方差,EX,=,np,，,DX,=,npq,如果按照定义，则需要计算,EX,=,k,n,=0,k,C,n,k,p,k,q,n,k,DX,=,k,n,=0, (,k,-,EX,),2,C,n,k,p,k,q,n,k,注意到二项分布可以分解成两点分布的和：,由二项分布的定义知，如果,X,B,(,n,p,) ，,则,X,表示,n,重伯努利实验中事件,A,发生的次数，构造,随机变量,则,X,=,X,1,+,X,2,+,X,n,，,n,次独立重复的试验中，随机事件,A,平均,将要发生,np,次；或者是在有放回的抽样中，,取出的,n,件产品里平均要包含,np,件次品。,这里每个,X,i,独立同分布于参数为,p,的两点分,布。,显然有,EX,i,=,p,，,DX,i,=,pq,(,q,= 1 -,p,),因此二项分布的期望与方差是,EX,=,np,，,DX,=,npq,。,3.,超几何分布,无放回取出的,n,件产品里，平均,要包含有,nM,/,N,件次品。,从包含,M,件次品的,N,件产品中无放回随机,取出,n,件产品，其中次品数,X,的分布律为：,nM,nM,M,N,-,n,N,N,N,N,- 1,EX,= ，,DX,= ( 1 - )( ),4.,几何分布,X,可能取值是一切正整数：,1,，,2,，,；,分布律为：,P ,X,=,k, =,pq,k,-1,k,1,。,这里参数,0,p,1,q,=,1,-,p,。,无穷级数求和技巧，将待求级数转化为等比级数的导数,如果一个随机事件在每次试验中发生的,都是,p,，那么平均需要做,1/,p,次随机试验，,这个事件,A,才会发生。,5. 泊松分布,X,可能取值是所有非负整数,0,，,1,，,；,分布律为：,P ,X,=,k, = ,e,-,，,k,0,这里泊松分布的参数,0,。,k,k,!,到达的乘客,(,或顾客,),平均每一批有,人，,单位时间里的电话呼叫数平均有,次等等。,6. 均匀分布,X,取值的平均就是区间,(,a,b,),的中点,，,a,x,b,f,(,x,),=,0,， 其它,1,b,a,X,服从区间,(,a,b,),上,的均匀分布，,a,+,b,(,b,-,a,),2,2 12,EX,= ，,DX,= ,7. 指数分布,X,服从参数为,的指数分布，,e,-,x,/,，,x,0,f,(,x,),=,0,， 其它,1,EX,=,，,DX,=,2,元件的平均寿命、地震平均间隔、机械,故障的平均间隔(等待时间)为,。,8. 正态分布,当,X,N,(,2,),时，密度函数为,EX,=,，,DX,=,2,由第二章引理知,Z,=(,X,-,)/,N,(0,1),奇函数在对称区间上的积分是,0,X,N,(,2,) (,X,-,)/,N,(0,1),(,X,-,)/,实际上就是正态分布的中心标准化,X,=,Z,+,EX,=,E,(,Z,+,)=,DX,=,D,(,Z,+,)=,2,D,(,Z),=,2,4.2.4,切比雪夫不等式,切比雪夫不等式说明，任意随机变量,X,在它的期望附近取值的概率都有一个下界。,假设,EX,=,，,DX,=,2,，则对于任意一个,实数,0 ，都有：,P |,X,-,|,；,或者等价地，,P |,X,-,|,1 -,。,2,2,2,2,证明 一般情况下的证明比较困难，仅就,X,为 连续随机变量时给出证明,在不等式中分别取,=,，2,，3,P |,X,-,|,0,P |,X,-,|,2,0.75,P |,X,-,|,3,0.8889,1.,切比雪夫不等式的精确度,比较正态分布的结果，,X,N,(,2,),，,P |,X,-,|,= 0.6826,，,P |,X,-,|,2,= 0.9544,，,P |,X,-,|,3,= 0.9974,。,(3) 可以证明随机事件频率的极限是概率（如大数律）。,2.,切比雪夫不等式的意义,(1),能够对任意随机变量近似地估计出概率；,只需要期望、方差，而不需要知道这个,随机变量的精确分布。,(2) 可以说明方差的概率含义；,例4.2.,3,抛掷均匀硬币,100,次，近似计算正面,出现的次数,X,介于,40 60,之间的概率。,解. 根据例题4.1.,10,的结果，有：,EX,= 50，,DX,= 50,0.,5 = 25,。,根据切比雪夫不等式 ，,P ( 40,X,60,) = P ( |,X,-,50 |,10 ),1,- = 0.75。,25,100,BINOMDIST,算出的精确值是,0.9647998,例4.2.4,从气象局资料知道沈阳地区夏季平均,温度是,22.3,，假定温度的标准差是,5.65,(,夏季极端最高温度,38.3,、最低温度,15.7,),，,近似估计夏季某一天温度超过,30,的概率。,解,.,EX,= 22.3，,DX,= 5.65,2,，因此,P ,X,30, = P ,X,- 22.3,7.7,P |,X,- 22.3 |,7.7, = 0.5384,。,5.65,2,7.7,2,练习 已知随机变量,X,的期望,E,(,X,)=3,，,P,X,4=0.7,P,X,2=0.3,试用切比雪夫不等式估计,D,(,X,)。,对应于,E,(,X,),解,P,|,X,-3|1=,P,2 ,X,4 =,P,X,4 -,P,X,2=0.4,由切比雪夫不等式,0.4=,P,|,X,-3|1,1-,D,(,X,)/1,2,所以,D,(,X,),0.6,习题 4.2,1-2.,教材,140,页 第,16,、,20,、,23,题 。,4.3,协方差与相关系数,从第二节我们知道，如果,X,、,Y,独立，则有,E,(,X,-,EX,)(,Y,-,EY,) = 0 ；,反之如果,E,(,X,-,EX,)(,Y,-,EY,),0，,那么,X,、,Y,肯定不独立，说明它们存在某种关系。,X,、,Y,之间的协方差定义成：,4.3.1,刻化变量之间关系,Cov,(,X,Y,),=,E,(,X,-,EX,)(,Y,-,EY,),1.,协方差的引进,Cov,(,X,Y,),=,E,(,XY,) - (,EX,)(,EY,),2.,协方差的计算公式,协方差实际上是两个随机变量,中心化以后,乘积的数学期望，是它们不独立关系的一种,度量。,协方差为正说明,X,、,Y,具有相同变化趋势，,即平均来说,X,相对于,EX,变大,(,或变小时,),Y,也,相对于,EY,增加,(,或减少,),，反之协方差为负则,说明,X,、,Y,具有相反的变化趋势。,3.,相关系数的定义,相关系数实际上是两个随机变量,中心标准化,以后乘积的数学期望，用来衡量它们之间线性,关系的程度。,如果两个随机变量之间的,相关系数为零，,则称它们是不相关的,。含义是这两个随机变,量之间不存在,线性,关系,(,但是不能排除它们,之间可能存在有其它的函数关系,),4.3.2,协方差与相关系数的性质,1. 协方差的基本性质,(1),Cov,(,X,Y,),=,Cov,(,Y,X,),;,(2) 设,a,、,b,是任意的两个实数，则有：,Cov,(,aX,bY,),=,ab,Cov,(,X,Y,),；,(3),Cov,(,X,1,+,X,2,Y,)=,Cov,(,X,1,Y,)+,Cov,(,X,2,Y,),。,2.,方差是特殊的协方差,DX = Cov,(,X,X,),随机变量和的方差公式,对任意,n,个随机变量,X,1,、,X,2,、,X,n,，,D,(,X,1,+,X,2,+,X,n,) =,DX,1,+,DX,2,+ +,DX,n,2,i,j,Cov,(,X,i,X,j,),3.,相关系数的基本性质,为了研究,XY,的性质,，,考虑以,X,的线性函数,a,+,bX,来近似,Y,，以均方误差,e,=,E,(,Y,-(,a,+,bX,),2,=,E,(,Y,2,)+,b,2,E,(,X,2,)+,a,2,-2,bE,(,XY,)+2,abE,(,X,)-2,aE,(,Y,) (1),来衡量近似的好坏程度，,e,越小说明近似程度越好，因此我们应取,a,，,b,使,e,取到最小值，,下求使,e,最小的,a,，,b,（2）,这一步没有将,a,0,b,0,直接代入(1)式。也没有把,a,0,b,0,全代入，而是先代入,a,0,，,整理后再代入,b,0,。,定理,(1) |,XY,|,1,即,Cov,(,X,Y,) ,2,DX DY,;,(2) |,XY,|,=,1,的充分必要条件是,存在,常数,a,、,b,，,使得,P,(,Y,=,a,+,bX,),= 1,。,证明,(1),由于,e,0,，所以,(1-,2,XY,）,D,(,Y,),0,，所以,1-,2,XY,0.,即|,XY,| 1,(2),若,|,XY,| = 1,，则,E,Y,-(,a,0,+,b,0,X,),2,=0,。从而,故有,由方差的性质知,反之，若存在,a,*,，,b,*,使,P,Y,=,a,*,+,b,*,X,=1,即,P,Y,-(,a,*,+,b,*,X,)=0=1。,所以,P,Y,-(,a,*,+,b,*,X,),2,=0=1,故,E,Y,-(,a,*,+,b,*,X,),2,=0,所以,所以,|,XY,|,=,1,4.,随机变量的不相关,按照定义即,它们之间的相关系数为,0,，,等价于协方差为,0,，因此“不相关”是比,“独立”弱的关系。即：独立一定不相关，,但不相关不一定独立。,“不相关”的等价形式,XY,= 0,Cov,(,X,Y,),= 0,E,(,XY,),=,(,EX,)(,EY,),D,(,X,+,Y,),=,DX,+,DY,例4.3.1 第三章讨论的随机取数的问题,计算,X,、,Y,的相关系数。,X,Y,1 2 3 4,1 1/4 0 0 0,2 1/8 1/8 0 0,3 1/12 1/12 1/12 0,4 1/16 1/16 1/16 1/16,p,j,25/48 13/48 7/48 3/48,p,i,1/4,1/4,1/4,1/4,E,(,XY,),= 111/4 + 211/8 + 221/8 + ,= 39/8 = 4.875,因此，协方差,Cov,(,X,Y,),=,4/8 = 0.5，,相关系数,X Y,= 0.483887 。,解.,X,、,Y,的期望与方差计算比较简单，,EX,=2.5，,DX,=1.25；,EY,=1.75,，,DY,=41/48。,对于,E,(,XY,),没有必要去求,XY,的分布律。,利用随机向量函数的期望公式，有,例,4.3.,2,二维正态分布的相关系数,(,X,Y,),N,(,1,2,;,1,2,2,2,;,),其中参数,1,2,+,;,1,2,0,;,-,1,1,已经知道两个边缘分布,X,N,(,1,1,2,)，,Y,N,(,2,2,2,) ，,可以证明,X,、,Y,的协方差,Cov,(,X,Y,),=,1,2,，,因此,X,、,Y,的相关系数就是参数,。,正态分布,的“,不相关性,”,与,“,独立性,”,等价,习题 4.3,1-2.,教材,141,页 第,24,、,25,、,26,、,27,、,29,题 。,4.4,矩,定义 设,X,，,Y,是随机变量，若,E,(,X,k,),k,=1,2,存在，称其为,X,的,k,阶原点矩，简称,k,阶矩。,若,E,X,-,E,(,X,),k,，,k,=2,3,存在，称它为,X,的,k,阶中心矩。,若,E,X,k,Y,l,，,k,l,=1,2,3,.,存在，称它为,X,和,Y,的,k,+,l,阶混合矩。,若,E,X,-,E,(,X,),k,Y,-,E,(,Y,),l,k,l,=1,2,3,.,存在，称它为,X,和,Y,的,k,+,l,阶混合中心矩。,练习,1.,设随机变量 相互独立，它们的概率密度函数分别为,求 ， 。,2.,将,3,个白球，两个红球随机放入,4,个盒子中,(,假设每个盒子可放任意多个球,),。用,X,表示有一个白球的盒子数，,Y,表示有一个红球的盒子数，求,(,X,Y,),的联合分布及,Cov,(,X,4,X,).,3.,设随机变量,X,服从正态分布，其概率密度为,且,E,(,X,)=,D,(,X,),，求,(1),A,，,B,的值,;(2),E,(,X,2,-2,x,+3);(3),D,(-2,X,+3),。,4.,设随机变量,X,Y,相互独立，且都服从均值为,0,、方差为,1/2,的正态分布，求,|,X,-,Y,|,的方差。,1.,解 显见 分别服从均匀分布和指数分布,2.X,Y,相互独立,PX=0=C,4,1,/4,3,=1/16,0 1 3,0 4/256 36/256 24/256 4/16,2 12/256 108/256 72/256 12/16,1/16 9/16 6/16,Y,X,PX=3=A,4,3,/4,3,=6/16,PX=0=1-1/16-6/16=9/16,PY=0=C,4,1,/4,2,=4/16,PY=2=A,4,2,/4,2,=12/16,Cov(X,4X)=4D(X)=279/64,三个白球放入同一个盒子中,3.(1),比较正态分布的概率密度函数与,f,(,x,),有,故,D,(,X,)=1,E,(,X,)=,B,=,D,(,X,)=1,(2),由,(1),知,X,N,(1,1),所以,E,(,X,2,-2,X,+3)=,E,(,X,2,)-2,E,(,X,)+3,=,D,(,X,)+,E,(,X,),2,+3=3,D,(-2,X,+3)=4,D,(,X,)=4,4.,解 由于,X,Y,相互独立且均服从正态分布，所以其线性组合也服从正态分布。令,Z=X-Y。,则,E(Z)=E(X)-E(Y)=0,D(Z)=D(X)+D(Y)=1,即,ZN(,01),因为,D(|X-Y|)=D(|Z|)=E(|Z|,2,)-E(|Z|),2,E(|Z|,2,)= E(Z,2,)=D(Z)+ E(Z),2,=1,所以,选择,1,若,X,Y,都服从正态分布，且它们不相关，则,A X,，,Y,一定独立,B (X,，,Y),服从二维正态分布,C X,，,Y,未必独立,D X+Y,服从正态分布,2,若,(X,Y),服从二维正态分布，则在,(1)X,Y,都服从一维正态分布,(2)X,Y,独立,(3)2X+3Y,服从一维正态分布,(4)X,Y,不相关，则独立中正确的有,A (1)(3)(4),B(2)(3)(4),C (1)(2)(4),D (1)(2)(3),