单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,*,公式复习,公式复习,1,由上述两公式可知,当已知一平面应力状态单元体上的应力,s,x,t,xy,和,s,yx,t,yx,(-,t,xy,)时,任一,a,截面上的应力,s,a,和,t,a,均以2,a,为参变量。从上两式中消去参变量2,a,后,即得,7.4 二向应力状态分析-图解法,由上述两公式可知,当已知一平面应力状态单元体上的应力sx,2,s,t,O,圆心位于横坐标轴上。,其坐标为,半径为,C,7.4 二向应力状态分析-图解法,由上式可见,当斜截面随方位角,a,变化时,其上的应力,s,a,t,a,在,s,t,直角坐标系内的轨迹是一个圆,其圆心位于横坐标轴(,s,轴)上,该圆习惯上称为,应力圆,或称为,莫尔,(O.Mohr),应力圆。,stO圆心位于横坐标轴上。其坐标为半径为C7.4 二向应力状,3,应力圆的作法,s,y,s,y,t,yx,t,yx,t,xy,t,xy,s,x,s,x,a,b,c,d,在,-,坐标系内,选定比例尺;,s,t,O,量取,OB,1,s,x,已知应力,s,x,t,xy,和,s,y,t,yx,(-,t,xy,);,s,x,B,1,B,1,D,1,t,xy,得,D,1,点;,量取,OB,2,s,y,B,2,D,2,t,yx,得,D,2,点;,s,y,B,2,连接,D,1,D,2,两点的直线与,轴相交于,C,点,以,C,为圆心,CD,1,或,CD,2,为半径作圆;,C,t,yx,D,2,D,1,t,xy,应力圆的作法sysytyxtyxtxytxysxsxabcd,4,s,y,s,y,t,yx,t,yx,t,xy,t,xy,s,x,s,x,a,b,c,d,该圆的圆心,C,点到坐标原点的距离为,s,t,O,s,x,B,1,D,1,t,xy,s,y,t,yx,D,2,B,2,C,半径为,该圆就是对应于该单元体应力状态的应力圆。,D,1,点的坐标为(,x,xy,),因而,D,1,点代表单元体,x,平面(即横截面)上的应力。,同样,D,2,点的坐标为(,y,yx,),因而,D,2,点代表单元体,y,平面(即横截面)上的应力。,sysytyxtyxtxytxysxsxabcd该圆的圆心C,5,利用应力圆求单元体上任一,截面上的应力,从应力圆的半径,CD,1,按方位角,的转向转动2,得到半径,CE,。,圆周上,E,点的,坐标就依次为斜截面上的正应力,切应力,。,s,a,t,a,E,2,s,t,O,s,x,B,1,D,1,t,xy,s,y,t,yx,D,2,B,2,C,利用应力圆求单元体上任一截面上的应力从应力圆的半径CD1按,6,E,点的横坐标为,F,s,t,O,s,x,B,1,D,1,t,xy,s,y,t,yx,D,2,B,2,C,E,2,s,a,t,a,2,0,E点的横坐标为FstOsxB1D1txysytyxD2B2C,7,同样可证,E,点的纵坐标为,F,s,t,O,s,x,B,1,D,1,t,xy,s,y,t,yx,D,2,B,2,C,E,2,s,a,t,a,2,0,同样可证E点的纵坐标为FstOsxB1D1txysytyxD,8,应力圆上的点与单元体上的面之间的对应关系:,单元体某一面上的应力,必对应于应力圆上某一点的坐标;,s,t,O,s,x,B,1,D,1,(,s,x,t,xy,),t,xy,s,y,t,yx,D,2,(,s,y,t,yx,),B,2,C,E,2,s,a,t,a,x,y,s,y,s,y,t,yx,t,yx,t,xy,t,xy,s,x,s,x,a,b,c,d,e,a,n,a,s,a,t,a,应力圆上的点与单元体上的面之间的对应关系:单元体某一面上的,9,从应力圆上可见,A,1,和,A,2,两点的横坐标分别为该单元体垂直于,xy,平面各截面上正应力中的最大值和最小值,在这两个截面上的切应力(即,A,1,A,2,两点的纵坐标)均等于零。,s,t,O,s,x,B,1,D,1,t,xy,s,y,t,yx,D,2,B,2,C,s,2,A,2,s,1,A,1,正应力中的最大值和最小值,从应力圆上可见,A1和A2两点的横坐标分别为该单元体垂直于,10,s,t,O,s,x,B,1,D,1,t,xy,s,y,t,yx,D,2,B,2,C,s,2,A,2,s,1,A,1,stOsxB1D1txysytyxD2B2Cs2A2s1A1,11,由于圆上,D,1,点和,A,1,点分别对应于单元体上的,x,平面和,s,1,主平面,D,1,CA,1,为上述两平面间夹角,a,0,的两倍,所以单元体上从,x,平面转到,s,1,主平面的转角为顺时针转向,按规定应为负值。因此,由应力圆可得从而解得,s,t,O,s,x,B,1,D,1,t,xy,s,y,t,yx,D,2,B,2,C,s,2,A,2,s,1,A,1,主平面方位角,由于圆上D1点和A1点分别对应于单元体上的x平面和s1主平面,12,s,t,O,s,x,B,1,D,1,t,xy,s,y,t,yx,D,2,B,2,C,s,2,A,2,s,1,A,1,2,0,主平面方位角,由,CD,1,顺时针转2,0,到,CA,1,。,所以单元体上从,x,轴顺时针转,0,(,负值)即,到,1,对应的,主平面的外法线。,0,确定后,1,对应的,主平面方位即确定。,s,y,s,y,t,yx,t,y,t,x,t,xy,s,x,s,x,a,b,c,d,x,0,s,1,s,1,s,2,s,2,stOsxB1D1txysytyxD2B2Cs2A2s1A1,13,例7-5 求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa),例7-5 求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa,14,20,s,a,t,a,o,(MPa),(MPa),C,A,B,解 ,建立应力坐标系如图,在,坐标系内画出点,、,AB,的垂直平分线与,s,a,轴的交点,C,便是圆心，以,C,为圆心，以,AC,为半径画圆应力圆,A,B,20satao(MPa)(MPa)CAB解 建立应力坐,15,A,B,1,2,0,、,主应力及主平面如图,20,s,a,t,a,o,(MPa),(MPa),C,A,B,AB 1 2 0、主应力及主平面如图20satao,16,解法2解析法：分析,建立坐标系如图,60,x,y,O,解法2解析法：分析建立坐标系如图60 xyO,17,