,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第六章 随机变量的函数及其分布,一维随机变量的函数及其分布,二,维,随机变量的函数的分布,棵雇垦狱喇氦喧爷玫镑膏惕韧颊辗慕哆倾鞍籍炯扎饱迸璃瘴饲毋赏姻咐辈第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布,第六章 随机变量的函数及其分布 一维随机变量的函数及其分布,1,6.1,一维,随机变量的函数及其分布,在分析问题时，经常要用到由一些随机变量经过运算或变换而得到的某些新变量,随机变量的函数，它们也是随机变量.,引 言,随机变量的函数的分布:,若X是随机变量，求Y=g(X)的分布(其中,y=g(x),是,x,的一个实值函数).,鳃爷颈毒域气侮讨柳凋护辱泽惨既眨烘僵敷案攒琼杨烛突潞钒迂将合篡巴第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布,6.1 一维随机变量的函数及其分布 在分析问题,2,6.1,一维,随机变量的函数及其分布,设X为离散型随机变量，则Y=g(X)一般也是离散型随机变量,。,一、离散型随机变量,X的分布律为,Y=g(X),P (,Y=g(x,i,),g(x,1,) g(x,2,) g(x,i,) ,p,1,p,2, p,i,g(x)是一个已知函数,，Y=g(X)是随机变量X的函数，则随机变量Y的分布律为,X,P,x,1,x,2, x,i,p,1,p,2, p,i,杂盛淋空贼洲领鸳圆希锗雪焰围刃导全咏儿垃喻骄付狄凡区妖欧特躲铱涨第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布,6.1 一维随机变量的函数及其分布 设X为离散型,3,6.1,一维,随机变量的函数及其分布,一、离散型随机变量,一般地，我们先由X的取值x,i,，i=1，2，,求出Y的取值y,i,=g(x,i,)，i=1，2,如果诸y,i,都不相同，则由PY=y,i,=PX=x,i,可得 Y的分布律；,如果诸y,i,中有某些取值相同，则把相应的X的取值 的概率相加。,注,：,瓦崩咱渣芜担揭于确邮沾凛寝侵毋赫佐圃缝芍黑恫研圆讨窜料糜钙胃绷弗第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布,6.1 一维随机变量的函数及其分布一、离散型随机变量 一,4,6.1,一维,随机变量的函数及其分布,一、离散型随机变量,例: 设离散型随机变量X的分布律为,X -1 0 1 2 5/2,P 1/5 1/10 1/10 3/10 3/10,求,(1)Y=X-1; (2)Y=-2X; (3)Y=X,2,的分布律,雷逼挚离染犊惫惜推页熔聪拢届泵坯揩虾卵鼓毒碍及铭柔能芒灵掠狰鬃畏第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布,6.1 一维随机变量的函数及其分布一、离散型随机变量例: 设,5,6.1,一维,随机变量的函数及其分布,一、离散型随机变量,P 1/5 1/10 1/10 3/10 3/10 X -1 0 1 2 5/2,解: 由X的分布律可得下表,X-1 -2 -1 0 1 3/2,-2X 2 0 -2 -4 -5,X,2,1 0 1 4 25/4,瞎狰靡嵌锻奔三坊拍嘎阴滥省轩萍坑脐溅怪篓郴垄织段具累榔眶言何剔鼠第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布,6.1 一维随机变量的函数及其分布一、离散型随机变量 P,6,6.1,一维,随机变量的函数及其分布,一、离散型随机变量,(1) Y=X-1的分布律为,Y -2 -1 0 1 3/2,P 1/5 1/10 1/10 3/10 3/10,(2) Y=-2X的分布律为,Y 2 0 -2 -4 -5,P 1/5 1/10 1/10 3/10 3/10,(3) Y=X,2,的分布律为,Y 0 1 4 25/4,P 1/10 3/10 3/10 3/10,承皖色丙袁褐燎姥芽契予弹捞贯件臼蓉蕴懒迅仁袒奠氯垫膳宠拙孔辣勇述第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布,6.1 一维随机变量的函数及其分布一、离散型随机变量(1),7,6.1,一维,随机变量的函数及其分布,一、离散型随机变量,例 设 求 的分布律,解：Y的分布律,X -1 1 2,P 1/6 2/6 3/6,Y -4 -1,P 1/2 1/2,雾震铭聪每凰别百办普近掘蓉筹脏竟享目亿毡莎澡掠灰祁定溪脐篓辊雍祈第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布,6.1 一维随机变量的函数及其分布一、离散型随机变量例 设,8,6.1,一维,随机变量的函数及其分布,二、连续型随机变量,设X为连续型随机变量，其概率密度函数为f,x,(x)，g(x)是一个已知的连续函数，Y=g(X)是随机变量X的函数，考虑求出Y的分布函数F,Y,(y)及密度函数f,Y,(y).,1一般方法,可先求出Y的分布函数F,Y,(y)：,因为F,Y,(y)=PYy=Pg(X)y，设I,g,=x|g(x)y,则,再由F,Y,(y)进一步求出Y的概率密度,郑实坚推夷猿藏喀辉邯募箩烘议荆济签惺莹阁抽盖访舔瞬瓤巴嫁讫肿悬别第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布,6.1 一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量,9,6.1,一维,随机变量的函数及其分布,二、连续型随机变量,解,例：设随机变量X服从区间(0，1)上的均匀分布.试求Y=X,2,的密度函数,.,当y0 或恒有g,(x)0的情况。此时g(x)在(-,+ )严格单调增加，它的反函数h(y)存在，且在(，)严格单调增加，可导，现在先来求Y的分布函数F,Y,(y)。,因为Y=g(X)在(，)取值，故当y时， F,Y,(y)=PYy=0；,当y时， F,Y,(y)=PYy=1；,当y0(或恒有g,(x)0)，此时,若,g,(x)12,)=1-P(X,12,),P(Y=-1)=,P(X,i,Y=,i,i,=0,1,2,3.,U的分布律为,V 0 1 2 3P 0.28 0.30 0.25 0.17,X,Y,0 1 2 3 4 5,0 0 0.01 0.03 0.05 0.07 0.091 0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.082 0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.063 0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05,U=0,U=1,U=2,U=3,稀草巾态战证茬蔚百奔摇辕噬见蛾射雷暖建胳九迸晨怯芳垫辈婚戴遵缅织第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布,(2) U=Min(X,Y)的可能取值为：0，1，2，3V,37,(3) W=X+Y的可能取值为：0,1,2,3,4,5,6,7,8.,W的分布律为,W 0 1 2 3 4 5 6 7 8 P 0 0.02 0.06 0.13 0.19 0.24 0.19 0.12 0.05,X,Y,0 1 2 3 4 5,0 0 0.01 0.03 0.05 0.07 0.091 0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.082 0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.063 0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05,W=0,W=1,W=2,W=3,W=4,W=5,W=6,W=7,W=8,矢认港银糠酝孜擦殃象肾硕艰鄙醇架硫宛太贾来诫红县臆炽蜘溺婆诽鞘血第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布,(3) W=X+Y的可能取值为：0,1,2,3,4,5,6,38,例: 设X和Y相互独立且依次服从P(,1,),P(,2,).证明 X+Y服从P(,1,+,2,).,证: X+Y可能取的值为0,1,2,从而X+Y服从P(,1,+,2,).,泊松分布的可加性,占鲍系慑麓律启中炙莆纲肆烬痪择作糠尹梧熊桌圭扫粪泪默伊永茹戊绽汹第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布,例: 设X和Y相互独立且依次服从P(1),P(2).证明,39,例: 设X和Y独立,分别服从二项分布,b,(,n,1,p,), 和,b,(,n,2,p,) (注意两个二项分布中,p,是一样的),求Z=X+Y的分布律.,解: Z的可能取值为0,1,n,1,+,n,2,，固定,k,于上述范围内,由独立性有,二项分布的可加性,肝部炳图声抿诀毯馅苑掘搐接睛浴宿栖女瘪汕沾螟眩邹淄袄琳毫竣滋舍寇第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布,例: 设X和Y独立,分别服从二项分布b(n1,p), 和b(,40,可见，,Z,b,(,n,1,+,n,2,p,),.,这个结果很容易推广至多个的情形:若X,i,b(,n,i,p,),i,=1,2,m,且X,1,X,m,独立,则X,1,+X,2,+,+X,m,b,(,n,1,+,n,2,+,+,n,m,p,)。,直观上，按二项分布的定义,若X,i,b,(,n,i,p,),则X,i,表示,n,i,次独立重复试验中事件A出现的次数,而且每次试验中A出现的概率均为,p,i,=1,2,m,而X,1,X,m,独立,可知Y=X,1,+X,2,+,+X,m,是,n,1,+,n,2,+,+,n,m,次独立试验中A出现的次数,而且每次试验中A出现的概率保持p,故可得,Y,b,(,n,1,+,n,2,+,+,n,m,p,)。,桂间空郭治划堪房凄睬琢羹境巍盈细佯恕谈忌骇均含值艳拯牲婶瓤颈隙岔第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布,可见，Zb(n1+n2,p). 桂间空郭治划堪房凄睬琢,41,6.2,二维,随机变量的函数的分布,二、(X,Y)为二维连续型随机变量,设(X,Y)为连续型随机向量,其联合概率密度,f,(,x,y,), g(x,y)是一个二元函数，Z=g(X,Y) 是二维随机变量 (X,Y)的函数.一般的方法是先求出Z的分布函数,F,z,(,z,),然后由,F,Z,(,z,)求出Z的概率密度,f,Z,(,z,).,胎加貌冉聚跌缀透乖抖胳神胳颗原桑罢沟猩洼避取雁永仟崭差酋浪坚蟹康第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布,6.2 二维随机变量的函数的分布二、(X,Y)为二维连续型随,42,例1: 设X和Y是两个相互独立的随机变量,它们的概率密度函数依次为,求 Z=X+Y的概率密度,.,解: (X,Y)的密度函数为,将上面的二重积分化为二次积分,然后作代换 y=-x 得,x,=,z,-,y,x,y,1和的分布： Z=X+Y,撰陨毖另幸纷粉毙预响概植挚厦触央古般纤花尸烈散屉李舞霖柏靛落抬涕第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布,例1: 设X和Y是两个相互独立的随机变量,它们的概率密度函数,43,再令,因此，X+Y的分布密度为,即Z服从N(0，2)分布.,似届瓤烫武胆质弃取栈哗据救僻子矩擂曳缩珐淳板蛮赦芬翠等秘贬敛屋貌第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布,再令 因此，X+Y的分布密度为 即Z服从N(0，2)分布.,44,1和的分布： Z=X+Y,设(X,Y)的概率密度为,f,(,x,y,),则Z=X+Y的分布函数为,积分区域如图,化成累次积分,得,固定,z,和,y,对上式内层积分作变量变换,令,x,=,u,-,y,得,于是,x,=,z,-,y,x,y,驹示蔷轰旭尔驰啡向犹萝漫豆服漫酵杨决痪瘩号雍挂娜芒矿停体赤独祷猴第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布,1和的分布： Z=X+Y积分区域如图,化成累次积分,得 固,45,由概率密度的定义,即得Z的概率密度为,由,x,y,的对称性,f,Z,(,z,)又可写成:,上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.,特别地,当X和Y相互独立时,设(X,Y)关于X,Y的边缘概率密度分别为,f,x(,x,),f,Y,(,y,),则两式分别为,这两个公式称为卷积公式,记为,f,x,*,f,Y,即,你蹈杭滴韦辅筒哇丸檬翘添窜汹堕忘处斡抗洞姻翠休尊杂敲享攻拙帝掠件第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布,由概率密度的定义,即得Z的概率密度为 由x,y的对称性,fZ,46,例1: 设X和Y是两个相互独立的随机变量,它们的概率密度函数依次为,求 Z=X+Y的概率密度,.,解: 由公式,令,t,=,x,-(,z,/2)，得,即Z服从N(0，2)分布.,级轴链雇燃轻健资慎僳仿方袖僻从涂乾镭私落极蜗拐它结籽意轩鞭毅莎睛第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布,例1: 设X和Y是两个相互独立的随机变量,它们的概率密度函数,47,一般地,设X,Y相互独立且X,N(,1,，,1,2,)，Y,N(,2,，,2,2,),经过计算知,Z=X+Y仍然服从正态分布,且有Z,N(,1,+,2,，,1,2,+,2,2,).,这个结论可推广到n个独立正态随机变量之和的情况,即若,X,i,N(,i,i,2,),(,i,=1,2,n),且它们相互独立,则它们的和Z=X1+X2+,+Xn仍然服从正态分布,且有Z,N(,1,+,2,+,+,n,，,1,2,+,2,2,+,.+,n,2,).,聘扯绕狭聋姬倾补白褪撇卖继皮凌伯毋政峦盔攒呆挎娇琴甩流拿洗援焰俞第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布,一般地,设X,Y相互独立且XN(1，12)，Y,48,2 M=max(X,Y) N=min(X,Y)的分布,设X,Y是两个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为Fx(x)和FY(y).现在来求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函数.,由于M=max(X,Y)不大于,z,等价于X和Y都不大于,z,故有 PM,z,=PX,z,Y,z,又由于X和Y相互独立,得到M=max(X,Y)的分布函数为,颖减围性胳坯匙淖捶吗场甜分腹品朝腿壮了蒲檄臆孔怀死辟互若绿顺矣作第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布,2 M=max(X,Y) N=min(X,Y)的分布,49,类似地,可得N=min(X,Y)的分布函数为,以上结果容易推广到n 个相互独立的随机变量的情况,设X,1,X,2,Xn是n个相互独立的随机变量.它们的分布函数分别为 ,i=1,2,n.,则M=Max(X,1,X,2,X,n,)及N=Min(X,1,X,2,X,n,)的分布函数分别为,特别,当X1,X2,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时,有,F,max(,z,)=,F,(,z,)n,F,max(,z,)=1-1-,F,(,z,)n.,棠愤蔷缔锁铲订论虎贫赶裔蝎忘温矢刁铡扣饶访月斑堂哀燥骤未男姨票涌第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布,类似地,可得N=min(X,Y)的分布函数为 以上结果,50,例: 设系统L由两个相互独立的子系统L,1,L,2,联接而成,联接的方式分别为(i)串联,(ii)并联,(iii)备用(当系统L,1,损坏时,系统L,2,开始工作),设L,1,L,2,的寿命分别为X,Y,已知它们的概率密度分别为,其中0,0且，试分别就以上三种联接方式写出L的寿命Z的概率密度.,弘谢端惯坎憋菩睡磕轴令荒翠敏委校觅炒沂刚逊陵网伞秀膊复铀娜端掷苑第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布,例: 设系统L由两个相互独立的子系统L1,L2联接而成,联接,51,解: (i)串联的情况,由于当L,1,L,2,中有一个损坏时,系统L就停止工作,所以这时L的寿命为 Z=min(X,Y)。 由指数分布X,Y的分布函数分别为,由公式得Z=min(X,Y)的分布函数为,于是Z=min(X,Y)的概率密度为,劲军廖机非汛啃刹诚拨耻泻誊耸荤切酱冷七抢垃办距并锡咎猴舵珐弘橡噬第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布,解: (i)串联的情况 由公式得Z=min(X,Y)的分布函,52,(ii)并联的情况,由于当且仅当L,1,L,2,都损坏时,系统L才停止工作,所以这时L的寿命Z为Z=max(X,Y),按公式得Z=max(X,Y)的分布函数,于是Z=max(X,Y)的概率密度为,辛冶厨热枣墅散豫凄始凯瓜侧奈狸耪伦注恤责菌乓凡床反斧纺编疵慈拉碍第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布,(ii)并联的情况于是Z=max(X,Y)的概率密度为 辛冶,53,(iii)备用的情况.,由于这时当系统L,1,损坏时系统L,2,才开始工作,因此整个系统L的寿命Z是L,1,L,2,两者寿命之和,即:Z=X+Y.,按公式,当,z,0时，Z=X+Y的概率密度为,当,z,0时,f,(,z,)=0,于是Z=X+Y的概率密度为,珐磨棒贯雾丈倾简评淮剖卡啪运涡炼智姜甩都钟矫论财补咬央歧躺拟诅怨第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布,(iii)备用的情况.当z0时,f(z)=0,于是Z=X+,54,例 若x和y独立，具有共同的概率密度,解：由卷积公式,为确定积分限，先找出使被积函数不为0的区域,库贸敬沸盯梗尝撒剐啃擅刊沿扛盘疾醛足刁别沉灶朴殊汹峦壳取伎鹃续肘第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布,例 若x和y独立，具有共同的概率密度库贸敬沸盯梗尝撒剐啃,55,例: 设(X,Y)的密度函数为,求,的密度函数.,解:,Z的分布函数为,F,Z,=P(Z,z,),当z0时，,当z,0时，,y,z,o,D,z,x,利用极坐标得,从而,的密度函数为,苔俐绑蚊略良抡墙这柳帮洗慢令幕碑康葱颠锁雪梆捉歧挺勋盲梭捍膜龙巡第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布,例: 设(X,Y)的密度函数为求的密度函数.解:Z的分布函数,56,作业,3，4，7，8，9，12,幕苑俩逗靶橱喧腐玲程流世欧锅递敏猴解谰架诱除臻簿琢如夷拓勺坛逊的第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布,作业3，4，7，8，9，12幕苑俩逗靶橱喧腐玲程流世欧锅递敏,57,