,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章,圆锥曲线与方程,椭圆的简单几何性质,标准方程为,:,的椭圆的性质,让我们一起研究：,F,2,F,1,O,B,2,B,1,A,1,A,2,x,y,1,、范围,横坐标的范围,：,纵坐标的范围,：,-a,x a,-b,y b,所以,由式子 知,从而：,-a,x a,a,F,2,F,1,O,B,2,B,1,A,1,A,2,x,y,c,b,1,、范围,容易算得：,B,2,F,2,=,a,B,2,F,2,O,叫椭圆的,特征三角形。,2,、对称性,F,2,F,1,O,x,y,椭圆关于,y,轴对称。,F,2,F,1,O,x,y,椭圆关于,x,轴对称。,A,2,A,1,A,2,F,2,F,1,O,x,y,椭圆关于,原点,对称。,F,2,F,1,O,x,y,2,、对称性,椭圆关于,y,轴、,x,轴、原点对称。,为什么？,3,、顶点,O,B,2,B,1,A,1,A,2,x,y,可得,x=,a,在 中令,y=0,，,从而：,A,1,(-a,0),A,2,(a,0),同理：,B,1,(0,-b),B,2,(0,b),3,、顶点,O,B,2,B,1,A,1,A,2,x,y,线段,A,1,A,2,叫椭圆的,长轴,;,线段,B,1,B,2,叫椭圆的,短轴,。,长为,2,a,长为,2,b,4,、离心率,上面椭圆的形状有什么变化？,O,x,y,怎样刻画它们的扁平程度？,4,、离心率,O,x,y,显然，,a,不变，,b,越小，椭圆越扁。,也即，,a,不变，,c,越大，椭圆越扁。,把椭圆的焦距与长轴长的比 称为椭圆的,离心率,，用,e,表示，即,(,a,0)(0,b,),(0,a,)(,b,0),0,e,1,(,),椭圆的几何性质,-a,x a,-b,y b,-a,y a,-b,x b,椭圆方程,范围,对称性,顶点,离心率,对称轴：,x,轴、,y,轴,对称中心：原点,例,1,、求椭圆,16,x,2,+25,y,2,=400,的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,并画出它的图形,.,解：把方程化为标准方程,:,所以,:,a,=5,b,=4,c =,顶点坐标为,(-5,0),，,(5,0),，,(0,4),，,(0,-4),所以，长轴长,2,a,=10,短轴长,2,b,=8,；,离心率为,0.6,；,X,Y,O,焦点坐标为,(-3,0),(3,0),例,2,、求符合下列条件的椭圆的标准方程,:,(1),经过点,(-3,0),、,(0,-2);,解：易知,a,=3,b,=2,又因为长轴在,x,轴上,所以椭圆的标准方程为,(2),长轴的长等于,20,离心率等于,0.6,(2),由已知,2,a,=20,e,=0.6,或,因为椭圆的焦点可能在,x,轴上,也可能,在,y,轴上,所以所求椭圆的标准方程为,a,=10,c,=6,b,=8,练习,1,求适合下列条件的椭圆的标准方程,经过点,P(2,0)Q(1,1);,(2),与椭圆,4,x,2,+9,y,2,=36,有相同的焦距,且离心率为,0.8.,或,例,3,：点,M(,x,y,),与定点,F(,4,0),的距离和它到定直线,l,:,的距离的比等于常数 ，求,M,点的轨迹。,解：设,d,是点,M,到直线,l,:,的距离，,根据题意，点,M,的轨迹是集合,由此得,将上式两边平方，并化简，得,即,这是一个椭圆。,例,4,、如图，一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分。过对称轴的截口,ABC,是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点,F,1,上，片门位于另一个焦点,F,2,上，由椭圆一个焦点,F,1,发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点,F,2,。已知,AC,F,1,F,2,，,|F,1,A|=2.8cm,，,|F,1,F,2,|=4.5cm,求截口,ABC,所在椭圆的方程。,O,x,y,A,B,C,F,1,F,2,解：如图建立直角坐标系，,设所求椭圆方程为,在,Rt,AF,1,F,2,中，,由椭圆的性质知，,所以,所求的椭圆方程为,(,a,0)(0,b,),(0,a,)(,b,0),0,e,1,(,),椭圆的几何性质,-a,x a,-b,y b,-a,y a,-b,x b,椭圆方程,范围,对称性,顶点,离心率,对称轴：,x,轴、,y,轴,对称中心：原点,小结,再见,