单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.,3,.,2,抛物线的简单几何性质（,1,）,芳草湖总场中学 孙文静,定义：在平面内，与一个定点,F,和一条定直线,l,(,l,不经过点,F,),的,距离相等,的点的轨迹叫,抛物线。,抛物线的定义及标准方程,准线方程,焦点坐标,标准方程,图 形,x,F,O,y,l,x,F,O,y,l,x,F,O,y,l,x,F,O,y,l,y,2,=-2,px,(,p,0),x,2,=2,py,(,p,0),y,2,=2,px,(,p,0),x,2,=-2,py,(,p,0),一、温故知新,范围,1,、,由抛物线,y,2,=2,px,（,p,0,）,有,所以抛物线的范围为,二、探索新知,如何研究抛物线,y,2,=2,px,（,p,0,）的几何性质,?,抛物线在,y,轴的右侧，当,x,的值增大时，,y,也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。,对称性,2,、,关于,x,轴,对称,即点,(,x,-y),也在抛物线上,故 抛物线,y,2,=2,px(p,0),关于,x,轴,对称,.,则,(-y,),2,=2,px,若点,(,x,y,),在抛物线上,即满足,y,2,=2,px,，,顶点,3,、,定义：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的,顶点,。,y,2,=2,px,(,p,0),中，,令,y=0,则,x,=0.,即：抛物线,y,2,=2,px,(,p,0),的,顶点（,0,，,0,）,.,注,:,这与椭圆有四个顶点，双曲线有两个顶点不同。,离心率,4,、,P(,x,y),抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做,抛物线的离心率。,由定义知，抛物线,y,2,=2,px,(,p,0),的离心率为,e=1,.,下面请大家得出其余三种标准方程抛物线的几何性质。,方程,图,形,范围,对称性,顶点,离心率,y,2,=2,px,（,p,0,）,y,2,=-2,px,（,p,0,）,x,2,=2,py,（,p,0,）,x,2,=-2,py,（,p,0,）,l,F,y,x,O,l,F,y,x,O,l,F,y,x,O,x,0,y,R,x,0,y,R,x,R,y,0,y,0,x,R,l,F,y,x,O,关于,x,轴对称无对称中心,关于,y,轴对称无对称中心,关于,y,轴对称无对称中心,（,0,0,）,（,0,0,）,（,0,0,）,（,0,0,）,关于,x,轴对称无对称中心,e=1,e=1,e=1,e=1,特点：,1.,抛物线只位于半个坐标平面内,;,2.,抛物线只有一条对称轴,没有,对称中心,;,3.,抛物线只有一个顶点、,一个焦点、一条准线,;,4.,抛物线的离心率是确定的,为,1;,P(x,y),A,B,A,1,P(,x,y),思考,2,：,抛物线标准方程中的,p,对抛物线开口有影响吗？,4,3,2,1,-1,-2,-3,-4,-5,-2,2,4,6,8,10,y,2,=4,x,y,2,=,x,y,2,=2,x,2,1,y,2,=,x,p,越大,开口越开阔,思考,1,：过抛物线的焦点做垂直于焦点所在轴的直线，交抛物线于,A,、,B,两点，那么,AB,=,.,2p,变式,:,顶点在坐标原点,对称轴是,坐标轴,并且过点,M(2,),的抛物线有几条,并求它的标准方程,.,例,1.,已知抛物线关于,x,轴对称，,顶点在坐标原点,并且过点,M(2,),求它的标准方程,.,三、例题讲解,例,2,、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为,x,轴，焦点在直线,3,x,-4,y,-12=0,上，那么抛物线,标准方程,是,.,变式、,已知抛物线的顶点在原点，焦点是直线,3,x,-4,y,-12=0,与坐标轴的交点，那么抛物线标准方程是,.,直线,3,x,-4,y,-12=0,与,x,轴的交点是,(4,0),抛物线的焦点是,(4,0),又因为抛物线的顶点在原点，,抛物线的标准方程为,y,2,=16,x,解：,y,2,=16,x,或,x,2,=-12,y,四、归纳总结,抛物线只位于半个坐标平面内；,抛物线只有,一条,对称轴,没有对称中心,;,抛物线的离心率是确定的，等于,e=1,；,抛物线只有,一个,顶点，,一个,焦点，,一条,准线；,抛物线的通径为,2p,2p,越大，抛物线的张口越大,.,1,、范围：,2,、对称性：,3,、顶点：,4,、离心率：,5,、通径：,五、作业布置,亲们 再见！,补充,（,1,）通径：,通过焦点且垂直对称轴的直线，,与抛物线相交于两点，连接这,两点的线段叫做抛物线的,通径,。,|PF|=,x,0,+p/2,x,O,y,F,P,通径的长度,：,2P,P,越大,开口越开阔,（,2,）焦半径：,连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的,焦半径,。,焦半径公式：,利用抛物线的,顶点,、通径的两个,端点,可较准确画出反映抛物线基本特征的草图。,（见下面）,x,y,O,F,A,B,B,A,例,2,.,斜率为,1,的直线,L,经过抛物线 的焦点,F,且与抛物线相交于,A,B,两点,求线段,AB,的长,.,y,2,=,4x,解法二,:,由已知得抛物线的焦点为,F(1,0),所以直线,AB,的方程为,y=x-1,解法 三,练习：,1,、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为,x,轴，焦点在直线,3x-4y-12=0,上，那么抛物线,通径长,是,.,2,、已知点,A,（,-2,，,3,）与抛物线,的焦点的距离是,5,，则,P=,。,4,练习,:,3.,过抛物线 的焦点,作倾斜角为,的直线,则被抛物线截得的弦长为,_,4.,垂直于,x,轴的直线交抛物线,y,2,=4x,于,A,、,B,且,|AB|=4,求直线,AB,的方程,.,y,2,=,8x,X=3,例,2,：探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源,位于抛物线的焦点处。已知灯口圆的直径为,60,cm,，灯深,40,cm,，求抛物线的标准方程和焦点位置。,x,y,O,(40,30),解,:,所在平面内建立直,角坐标系,使反射镜,的顶点与原点重合,x,轴垂直于灯口直径,.,在探照灯的轴截面,设抛物线的标准方程为,:,y,2,=2,px,由条件可得,A(40,30),代入方程得,:,30,2,=2,p,40,解之,:,p=,故所求抛物线的标准方程为,:,y,2,=,x,焦点为,(,0),2,4,l,例,3:,图中是抛物线形拱桥，当水面在,l,时，拱顶离水面,2,米，水面宽,4,米,.,水下降,1,米后，水面宽多少？,x,o,A,y,若在水面上有一宽为,2,米,高,为,1.6,米,的船只，能否安全通过拱桥？,思考题,2,B,A,（,2,2,）,x,2,=,2y,B,（,1,，,y,）,y=,0.5,B,到水面的距离为,1.5,米,不能安全通过,y=,3,代入得,例题,3,这时，直线 与抛物线只有一个公共点,.,由 即,解得,于是，当 且 时，方程（,）有,2,个解，从而，方程组（,）有两个解，这时，直线,与抛物线有,2,个公共点,.,由 即,由 即,解得,于是，当 且 时，方程（,）有,2,个解，从而，方程组（,）有两个解，这时，直线,与抛物线有,2,个公共点,.,由 即,解得,于是，当 时，方程没有实数解，从而方程组（,）没有解，这时，直线 与抛物线没有公共点,.,综上可得：,当 时，直线 与抛物线只有一个公共点,;,当 时，直线 与抛物线有两个公共点,;,当 时，直线 与抛物线没有公共点,.,你能通过作图验证这些结论吗？,判断直线与抛物线位置关系的操作程序：,把直线方程代入抛物线方程,得到一元一次方程,得到一元二次方程,直线与抛物线的,对称轴平行,相交（一个交点）,计 算 判 别 式,0,=0,0,相交,相切,相离,总结：,巩固与练习：,1),过抛物线 的焦点,作倾斜角为 的直线,则被抛物线截得的弦长为,;,2),设 是坐标原点，是抛物线,的焦点，是抛物线上的一点，与 轴正向的夹角为 则 为,;,3,）抛物线 上的点到直线,的距离的最小值是（）,16,1.(2009,年山东卷（文）,10,）设斜率为,2,的直线,过抛物线 的焦点 ，且和 轴交于点 若 的面积为,4,，则抛物线方程为（）,A,高考欣赏,:,1.,已知,M,为抛物线 上一动点，,F,为抛物线的焦点，,定点,P(3,1),则 的最小值为（）,(A)3 (B)4 (C)5 (D)6,B,.,M,.,N,.,M,.,P,