习题课,空间中的平行关系、垂直关系的综合应用,【问题思考】,1,.,重要关系的转化,(1),平行关系的转化,:,(2),垂直关系的转化,:,2,.,简单几何体的几何度量,(1),棱锥、棱台、棱柱的侧面积公式间的联系,(2),柱、锥、台体体积公式之间的关系,S,上,=,0,时,棱锥可以看作上底面面积为,0,的棱台,;,S,上,=S,下,时,棱柱可以看作上底面等于下底面的棱台,.,3,.,常用结论,(1),平行平面的传递性,若,则,.,(2),若两条直线与三个平行平面分别相交,则直线被平行平面截得的线段对应成比例,.,(3),如果两条平行线有一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面,.,(4),若一个四面体各个面的面积分别记为,S,1,S,2,S,3,S,4,且每个面作为底面时对应的四面体的高分别记为,h,1,h,2,h,3,h,4,则有,S,1,h,1,=S,2,h,2,=S,3,h,3,=S,4,h,4,成立,这一结论能有效地解决立体几何中的点到平面的距离问题,.,4,.,做一做,:,已知直线,m,n,和平面,则能得出,的一个条件是,(,),A.,m,n,m,n,B.,m,n,=m,n,C.,m,n,n,m,D.,m,n,m,n,答案,:,C,5,.,做一做,:,三棱锥,S-ABC,的所有顶点都在球,O,的表面上,SA,平面,ABC,AB,BC,又,SA=AB=BC=,1,则球,O,的表面积为,(,),解析,:,由题意可知,SB,BC,SA,AC,则,SC,是球的直径,.,答案,:,C,6,做一做,:,设,是两个不同的平面,l,是一条直线,给出下列说法,:,若,l,则,l,若,l,则,l,若,l,则,l,若,l,则,l,其中说法正确的个数为,(,),A.1B.2C.3D.0,解析,:,对于,若,l,则,l,或,l,故,错误,;,对于,若,l,则,l,或,l,故,错误,;,对于,若,l,则,l,故,正确,;,对于,若,l,则,l,或,l,或,l,或,l,与,斜交,故,错误,.,答案,:,A,7,.,做一做,:,一个六棱锥的体积为,2 ,其底面是边长为,2,的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为,.,答案,:,12,8,.,做一做,:,已知正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,O,是底面,ABCD,的对角线的交点,求证,:,(1),C,1,O,平面,AB,1,D,1,;,(2),A,1,C,平面,AB,1,D,1,.,证明,:,(1),连接,A,1,C,1,设,A,1,C,1,B,1,D,1,=O,1,连接,AO,1,.,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,是正方体,四边形,A,1,ACC,1,是平行四边形,A,1,C,1,AC,且,A,1,C,1,=AC.,又,O,1,O,分别是,A,1,C,1,AC,的中点,O,1,C,1,AO,且,O,1,C,1,=AO,AOC,1,O,1,是平行四边形,C,1,O,AO,1,又,AO,1,平面,AB,1,D,1,C,1,O,平面,AB,1,D,1,C,1,O,平面,AB,1,D,1,.,(2),CC,1,平面,A,1,B,1,C,1,D,1,CC,1,B,1,D,1,.,又,A,1,C,1,B,1,D,1,CC,1,A,1,C,1,=C,1,B,1,D,1,平面,A,1,C,1,C,A,1,C,B,1,D,1,.,同理可证,A,1,C,AB,1,又,D,1,B,1,AB,1,=B,1,A,1,C,平面,AB,1,D,1,.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,探究六,简单几何体的面积、体积问题,【例,1,】,(1),正三棱锥的高和底面边长都等于,6,则其外接球的表面积为,(,),A.64,B.32,C.16,D.8,(2),如图,在直四棱柱,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,点,E,F,分别在,AA,1,CC,1,上,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,探究六,解析,:,(1),如图,过正三棱锥,P-ABC,的顶点,P,作,PM,平面,ABC,于点,M,则球心,O,在,PM,上,|PM|=,6,连接,AM,AO,则,|OP|=|OA|=R,在,Rt,OAM,中,|OM|=,6,-R,|OA|=R,又,|AB|=,6,且,ABC,为等边三角形,则,R=,4,所以球的表面积,S=,4,R,2,=,64,.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,探究六,反思感悟,1,.,关于简单几何体的面积、体积问题在高考中属于必考内容,考查的角度有单纯性的体积、面积问题,与三视图相交汇的问题,利用几何体间的切接关系命题,体积、面积的考查还经常性出现在解答题中,与平行、垂直性证明问题相交汇,.,2,.,对于柱、锥、台、球的面积、体积公式要理解透公式中各个量的含义,并能在具体载体中进行应用,.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,探究六,变式训练,1,一个几何体的三视图如图所示,其左视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积是,.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,探究六,解析,:,观察三视图可知,该几何体是圆锥的一半与一个四棱锥的组合体,圆锥底面半径为,2,四棱锥底面边长分别为,3,4,它们的高均,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,探究六,立体几何中平行、垂直关系的综合证明,【例,2,】,如图所示,三棱柱,ABC-A,1,B,1,C,1,中,侧棱,A,1,A,底面,ABC,且各棱长均相等,D,E,F,分别为棱,AB,BC,A,1,C,1,的中点,.,求证,:,(1),直线,EF,平面,A,1,CD,;,(2),平面,A,1,CD,平面,A,1,ABB,1,.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,探究六,证明,:,(1),在三棱柱,ABC-A,1,B,1,C,1,中,AC,A,1,C,1,且,AC=A,1,C,1,.,连接,DE,在,ABC,中,因为,D,E,分别为,AB,BC,的中点,所以,DE= AC,且,DE,AC,又,F,为,A,1,C,1,的中点,所以,A,1,F=DE,且,A,1,F,DE,所以四边形,A,1,DEF,为平行四边形,所以,EF,DA,1,.,又,EF,平面,A,1,CD,DA,1,平面,A,1,CD,所以,EF,平面,A,1,CD.,(2),由于底面,ABC,是正三角形,D,为,AB,的中点,故,CD,AB,因为侧棱,A,1,A,底面,ABC,CD,平面,ABC,所以,AA,1,CD,又,AA,1,AB=A,所以,CD,平面,A,1,ABB,1,而,CD,平面,A,1,CD,所以平面,A,1,CD,平面,A,1,ABB,1,.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,探究六,反思感悟,证明线面平行的方法有两种,:,一是寻找线线平行,利用线面平行的判定定理,二是寻找面面平行,利用面面平行的性质,;,证明面面垂直的一般方法是利用面面垂直的判定定理,.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,探究六,变式训练,2,如图,在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,E,F,P,Q,M,N,分别是棱,AB,AD,DD,1,BB,1,A,1,B,1,A,1,D,1,的中点,求证,:,(1),直线,BC,1,平面,EFPQ,;,(2),直线,AC,1,平面,PQMN.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,探究六,证明,:,(1),连接,AD,1,由,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,是正方体,知,AD,1,BC,1,因为,F,P,分别是,AD,DD,1,的中点,所以,FP,AD,1,.,从而,BC,1,FP.,而,FP,平面,EFPQ,且,BC,1,平面,EFPQ,故直线,BC,1,平面,EFPQ.,(2),如图,连接,AC,BD,则,AC,BD.,由,CC,1,平面,ABCD,BD,平面,ABCD,可得,CC,1,BD.,又,AC,CC,1,=C,所以,BD,平面,ACC,1,.,而,AC,1,平面,ACC,1,所以,BD,AC,1,.,因为,M,N,分别是,A,1,B,1,A,1,D,1,的中点,所以,MN,BD,从而,MN,AC,1,.,同理可证,PN,AC,1,.,又,PN,MN=N,所以直线,AC,1,平面,PQMN.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,探究六,立体几何证明中的距离问题,【例,3,】,如图,三角形,PDC,所在的平面与长方形,ABCD,所在的平面垂直,PD=PC=,4,AB=,6,BC=,3,.,(1),证明,:,BC,平面,PDA,;,(2),证明,:,BC,PD,;,(3),求点,C,到平面,PDA,的距离,.,(1),证明,:,因为四边形,ABCD,是长方形,所以,BC,AD.,因为,BC,平面,PDA,AD,平面,PDA,所以,BC,平面,PDA.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,探究六,(2),证明,:,因为四边形,ABCD,是长方形,所以,BC,CD.,因为平面,PDC,平面,ABCD,平面,PDC,平面,ABCD=CD,BC,平面,ABCD,所以,BC,平面,PDC.,因为,PD,平面,PDC,所以,BC,PD.,(3),解,:,取,CD,的中点,E,连接,AE,和,PE.,因为,PD=PC,所以,PE,CD.,因为平面,PDC,平面,ABCD,平面,PDC,平面,ABCD=CD,PE,平面,PDC,所以,PE,平面,ABCD.,由,(2),知,BC,平面,PDC.,由,(1),知,BC,AD.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,探究六,所以,AD,平面,PDC.,因为,PD,平面,PDC,所以,AD,PD.,设点,C,到平面,PDA,的距离为,h,因为,V,三棱锥,C-PDA,=V,三棱锥,P-ACD,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,探究六,反思感悟,用等体积法求点到平面的距离主要是转换的思想,即先用简单的方法求出所给几何体的体积,然后算出所求高对应底面的面积,再根据三棱锥体积公式,V= Sh,求得点到平面的距离,h.,(1),求体积时,可根据条件灵活运用割补的思想和转换顶点的思想,.,(2),利用等体积法能够从侧面迂回地解决一些从正面较难入手的问题,这是数学中的一种重要思想方法,.,在利用等体积法时,我们应该在原图形中寻找到一个较容易计算出面积及其对应高的底面来,.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,探究六,变式训练,3,如图所示,直四棱柱,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,AB,CD,AD,AB,AB=,2,AD=,AA,1,=,3,E,为,CD,上一点,DE=,1,EC=,3,.,(1),求证,BE,平面,BB,1,C,1,C,;,(2),求点,B,1,到平面,EA,1,C,1,的距离,.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,探究六,(1),证明,:,过,B,作,CD,的垂线交,CD,于,F,则,BF=AD=,EF=AB-DE=,1,FC=,2,.,在,Rt,BFE,中,在,BEC,中,因为,BE,2,+BC,2,=,9,=EC,2,所以,BE,BC.,由,BB,1,平面,ABCD,得,BE,BB,1,又,BC,BB,1,=B,所以,BE,平面,BB,1,C,1,C.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,探究六,(2),解,:,连接,EB,1,则三棱锥,E-A,1,B,1,C,1,的体积,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,探究六,立体几何证明中的体积问题,【例,4,】,如图,三棱锥,P-ABC,中,平面,PAC,平面,ABC,ABC=,点,D,E,在线段,AC,上,且,AD=DE=EC=,2,PD=PC=,4,点,F,在线段,AB,上,且,EF,BC.,(1),证明,:,AB,平面,PFE,;,(2),若四棱锥,P-DFBC,的体积为,7,求线段,BC,的长,.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,探究六,(1),证明,:,由,DE=EC,PD=PC,知,E,为等腰,PDC,中,DC,边的中点,故,PE,AC.,又平面,PAC,平面,ABC,平面,PAC,平面,ABC=AC,PE,平面,PAC,PE,AC,所以,PE,平面,ABC,从而,PE,AB.,因为,ABC=,EF,BC,所以,AB,EF.,从而,AB,与平面,PFE,内两条相交直线,PE,EF,都垂直,所以,AB,平面,PFE.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,探究六,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,探究六,反思感悟,在历年的高考中,可以说大多情形都在立体几何平行、垂直的证明题中穿插体积的考查,尤其是棱锥的体积,关键是确定好底面和高,.,如果是关于体积的最值或逆向问题,一般要归结为函数或方程来解决,.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,探究六,变式训练,4,如图所示,在棱长为,2,的正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,E,F,分别为,DD,1,DB,的中点,.,(1),求证,:,EF,平面,ABC,1,D,1,;,(2),求证,:,CF,B,1,E,;,(3),求三棱锥,B,1,-EFC,的体积,.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,探究六,(1),证明,:,连接,BD,1,在,DD,1,B,中,因为,E,F,分别为,D,1,D,DB,的中点,所以,EF,为,DBD,1,的中位线,所以,EF,D,1,B.,而,D,1,B,平面,ABC,1,D,1,EF,平面,ABC,1,D,1,所以,EF,平面,ABC,1,D,1,.,(2),证明,:,连接,B,1,D,1,在等腰直角三角形,BCD,中,F,为,BD,的中点,所以,CF,BD.,又,DD,1,平面,ABCD,CF,平面,ABCD,所以,DD,1,CF.,又,DD,1,BD=D,DD,1,BD,平面,BDD,1,B,1,所以,CF,平面,BDD,1,B,1,而,B,1,E,平面,BDD,1,B,1,所以,CF,B,1,E.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,探究六,(3),解,:,由,(2),可知,CF,平面,BDD,1,B,1,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,探究六,立体几何证明中的折叠问题,【例,5,】,如图,在梯形,ABCD,中,AB,CD,E,F,是线段,AB,上的两点,且,DE,AB,CF,AB,AB=,12,AD=,5,BC=,4 ,DE=,4,.,现将,ADE,CFB,分别沿,DE,CF,折起,使,A,B,两点重合于点,G,得到多面体,CDEFG.,(1),求证,:,平面,DEG,平面,CFG,;,(2),求多面体,CDEFG,的体积,.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,探究六,(1),证明,:,因为,DE,EF,CF,EF,所以四边形,CDEF,为矩形,.,在,EFG,中,有,EF,2,=GE,2,+FG,2,所以,EG,GF.,又因为,CF,EF,CF,FG,得,CF,平面,EFG,所以,CF,EG.,所以,EG,平面,CFG,即平面,DEG,平面,CFG.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,探究六,(2),解,:,在,EGF,中,过点,G,作,GH,EF,于点,H,因为平面,CDEF,平面,EFG,得,GH,平面,CDEF,V,CDEFG,= S,CDEF,GH=,16,.,反思感悟,折叠问题是立体几何的一类典型问题,是实践能力与创新能力考查的好素材,.,解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形,并弄清折叠前后哪些发生了变化,哪些没有发生变化,.,这些未变化的已知条件都是分析问题和解决问题的依据,.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,探究六,变式训练,5,如图,(1),在平面四边形,ABCD,中,A=,90,B=,135,C=,60,AB=AD,M,N,分别是边,AD,CD,上的点,且,2,AM=MD,2,CN=ND.,如图,(1),将,ABD,沿对角线,BD,折起,使得平面,ABD,平面,BCD,并连接,AC,MN,(,如图,(2),.,(1),证明,:,MN,平面,ABC,;,(2),证明,:,AD,BC,;,(3),若,BC=,1,求三棱锥,A-BCD,的体积,.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,探究六,(1),证明,:,在,ACD,中,2,AM=MD,2,CN=ND,MN,AC,又,MN,平面,ABC,AC,平面,ABC,MN,平面,ABC.,(2),证明,:,在,ABD,中,AB=AD,A=,90,ABD=,45,在平面四边形,ABCD,中,ABC=,135,BC,BD.,又平面,ABD,平面,BCD,且,BC,平面,BCD,平面,ABD,平面,BCD=BD,BC,平面,ABD,又,AD,平面,ABD,AD,BC.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,探究六,(3),解,:,在,BCD,中,BC=,1,CBD=,90,BCD=,60,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,探究六,立体几何证明中的探究问题,【例,6,】,在如图所示的多面体中,四边形,ABB,1,A,1,和,ACC,1,A,1,都为矩形,.,(1),若,AC,BC,证明,:,直线,BC,平面,ACC,1,A,1,;,(2),设,D,E,分别是线段,BC,CC,1,的中点,在线段,AB,上是否存在一点,M,使直线,DE,平面,A,1,MC,?,请证明你的结论,.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,探究六,思路分析,:,(1),先利用线面垂直的判定定理证明,AA,1,平面,ABC,再证明直线,BC,平面,ACC,1,A,1,.,(2),由于,D,E,分别是线段,BC,CC,1,的中点,易猜想,M,应为线段,AB,的中点,只要在平面,A,1,MC,内找到一条与,DE,平行的直线即可,.,(1),证明,:,因为四边形,ABB,1,A,1,和,ACC,1,A,1,都是矩形,所以,AA,1,AB,AA,1,AC.,因为,AB,AC,为平面,ABC,内两条相交的直线,所以,AA,1,平面,ABC.,因为直线,BC,平面,ABC,所以,AA,1,BC.,又由已知,AC,BC,AA,1,AC,为平面,ACC,1,A,1,内两条相交的直线,所以,BC,平面,ACC,1,A,1,.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,探究六,(2),解,:,取线段,AB,的中点,M,连接,A,1,M,MC,A,1,C,AC,1,设,O,为,A,1,C,AC,1,的交点,.,由已知,O,为,AC,1,的中点,.,连接,MD,OE,则,MD,OE,分别为,ABC,ACC,1,的中位线,.,连接,OM,从而四边形,MDEO,为平行四边形,则,DE,MO.,因为直线,DE,平面,A,1,MC,MO,平面,A,1,MC,所以直线,DE,平面,A,1,MC.,即线段,AB,上存在一点,M,(,线段,AB,的中点,),使直线,DE,平面,A,1,MC.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,探究六,反思感悟,探究性问题常常是在条件不完备的情况下探讨某些结论能否成立,内容涉及异面直线所成的角,直线与平面所成的角,平行与垂直等方面,对于这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法来解决,.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,探究六,变式训练,6,(2016,四川高考,文,17),如图,在四棱锥,P-ABCD,中,PA,CD,AD,BC,ADC=,PAB=,90,BC=CD= AD.,(1),在平面,PAD,内找一点,M,使得直线,CM,平面,PAB,并说明理由,;,(2),证明,:,平面,PAB,平面,PBD.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,探究六,解,:,(1),取棱,AD,的中点,M,(,M,平面,PAD,),点,M,即为所求的一个点,.,理由如下,:,因为,AD,BC,BC= AD,所以,BC,AM,且,BC=AM.,所以四边形,AMCB,是平行四边形,从而,CM,AB.,又,AB,平面,PAB,CM,平面,PAB,所以,CM,平面,PAB.,(,说明,:,取棱,PD,的中点,N,则所找的点可以是直线,MN,上任意一点,),探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,探究六,(2),由已知,PA,AB,PA,CD,因为,AD,BC,BC= AD,所以直线,AB,与,CD,相交,.,所以,PA,平面,ABCD.,从而,PA,BD.,因为,AD,BC,BC= AD,所以,BC,MD,且,BC=MD.,所以四边形,BCDM,是平行四边形,.,所以,BM=CD= AD,所以,BD,AB.,又,AB,AP=A,所以,BD,平面,PAB.,又,BD,平面,PBD,所以平面,PAB,平面,PBD.,1,2,3,4,5,1,.,平面,平面,直线,a,下列四个命题,:,与,内的所有直线平行,;,与,内的无数条直线平行,;,a,与,内的任何一条直线都异面,;,a,与,无公共点,.,其中正确命题的个数是,(,),A.1B.2C.3D.4,答案,:,C,1,2,3,4,5,2,.,(2016,浙江高考,文,2),已知互相垂直的平面,交于直线,l.,若直线,m,n,满足,m,n,则,(,),A,.m,l,B,.m,n,C,.n,l,D,.m,n,解析,:,对于选项,A,=l,l,m,m,与,l,可能平行,也可能异面,故选项,A,不正确,;,对于选项,B,D,m,n,m,与,n,可能平行,可能相交,也可能异面,故选项,B,D,不正确,.,对于选项,C,=l,l,.,n,n,l.,故选,C,.,答案,:,C,1,2,3,4,5,3,.,一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面,.,已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为,底面周长为,3,则这个球的体积为,.,1,2,3,4,5,4,.,如图所示,在三棱锥,P-ABC,中,D,E,F,分别为棱,PC,AC,AB,的中点,.,已知,PA,AC,PA=,6,BC=,8,DF=,5,.,求证,:(1),直线,PA,平面,DEF,;,(2),平面,BDE,平面,ABC.,1,2,3,4,5,证明,:,(1),因为,D,E,分别为棱,PC,AC,的中点,所以,DE,PA.,又因为,PA,平面,DEF,DE,平面,DEF,所以直线,PA,平面,DEF.,(2),因为,D,E,F,分别为棱,PC,AC,AB,的中点,PA=,6,BC=,8,所以,DE,PA,DE= PA=,3,EF= BC=,4,.,又因为,DF=,5,故,DF,2,=DE,2,+EF,2,所以,DEF=,90,即,DE,EF.,又,PA,AC,DE,PA,所以,DE,AC.,因为,AC,EF=E,AC,平面,ABC,EF,平面,ABC,所以,DE,平面,ABC.,又,DE,平面,BDE,所以平面,BDE,平面,ABC.,1,2,3,4,5,5,.,如图,三棱锥,P-ABC,中,PA,平面,ABC,PA=,1,AB=,1,AC=,2,BAC=,60,.,(1),求三棱锥,P-ABC,的体积,;,(2),证明,:,在线段,PC,上,存在点,M,使得,AC,BM,并求,的值,.,1,2,3,4,5,(1),解,:,由题设,AB=,1,AC=,2,BAC=,60,(2),证明,:,在平面,ABC,内,过点,B,作,BN,AC,垂足为,N.,在平面,PAC,内,过点,N,作,MN,PA,交,PC,于点,M,连接,BM.,由,PA,平面,ABC,知,PA,AC,所以,MN,AC.,由于,BN,MN=N,故,AC,平面,MBN.,又,BM,平面,MBN,所以,AC,BM.,