单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,学院：数学与信息科学学院,班级：20081111,学号：2008111112,姓名：孙燕飞,用,三垂线定理,作,二面角,的平面角,复习导入,1什么是二面角的平面角？,以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角,P,A,B,2作二面角的平面角主要有哪几种方法？,定义法,a,b,垂面法,A,H,B,三垂线法,以后我们还将学习,投影法,和,异面直线距离法,等方法，今天我们主要学习,用三垂线定理求二面角的大小,。,用三垂线定理作二面角的平面角的方法与步骤,1,回顾三垂线定理;,P,A,O,a,三垂线定理包含,四线一面,以后称这个平面为,基面,b,A,H,B,2方法与步骤,确定基面,在另一平面 内 选取适合的点A向基面 作垂线AH。,向棱作垂线HB，连结AB。,这其中确定 、,A,、,H,三元素是学习难点，希望努力掌握。,特别注意垂足H的正确位置。,ABH,就是二面角 的平面角。,实例分析,1如图，在长方体ABCDA,1,B,1,C,1,D,1,中，AB=2，BC=BB,1,=1，,E为D,1,C,1,的中点，求二面角EBDC的大小,A,A,1,B,B,1,C,C,1,D,D,1,E,思路分析：,找基面,平面BCD,作基面的垂线,过E作EFCD于F,F,作平面角,作FGBD于G，连结EG,G,解：,过E作EFCD于F，,于是，EGF为二面角EBDC的平面角,BC=1，CD 2=2，,而EF=1，在EFG中,所求二面角大小为,ABCDA,1,B,1,C,1,D,1,是长方体，EF平面BCD，且F为CD中点，,过F作FGBD于G，连结EG，则EGBD,（三垂线定理）,M,课堂练习,1如图，M是正方体ABCDA,1,B,1,C,1,D,1,的棱AB的中点，求二面,角A,1,MCA的大小,A,B,C,D,M,A,1,B,1,C,1,D,1,N,H,思路分析：,找基面,找基面的垂线,AA,1,作平面角,作AHCM交CM的延长线于H，连结A,1,H,平面ABCD,解：,作AHCM交CM的延长线于H，连,结A,1,HA,1,A平面AC，AH是A,1,H,在平面AC内的射影，A,1,HCM，,A,1,HA为二面角A,1,CMA的平面角,设正方体的棱长为1M是AB的中点，且AMCD，则在,直角AMN中，AM=0.5，AN=1，MN=,二面角A,1,CMA的大小为,课堂练习,2已知ABC,AB=10,BC=6,P是平面ABC 外一点,且PA=,PB=PC=AC=8,求二面角PACB的平面角的正切值.,P,A,B,C,思路分析：,找基面,找基面的垂线,作平面角,平面ABC,取AB的中点M，连结PM,M,由己知AB,2,=AC,2,+BC,2,，ACB是直角,N,取AC的中点N，连结MN、PN,MNBC，ACBC，MNAC，由三垂线定理知PNAC,MNP就是二面角PACB的平面角,将此题作为课外作业完成。,PA=PB=PC，PAMPCM,PMAM，PMCM，,PM平面ABC,连结CM，AM=BM=CM，,课时小结,求二面角的大小关键是选取恰当的位置作出二面角的平面角，而用三垂线定理求作,二面角,的平面角是最常用和最有效的方法之一，要求切实掌握。让我们再来回味用三垂线定理作二面角的平面角的步骤：,（1）在二面角的两个面内选取基面；,（2）在另一面内选点向基面作垂线，此时要注意垂足的确切位置；,（3）过垂足向二面角的棱作垂线，作出平面角。,课后作业,2已知ABC,AB=10,BC=6,P是平面ABC 外一点,且PA=,PB=PC=AC=8,求二面角PACB的平面角的正切值.,3已知C是以AB为直径的圆周上一点，ABC=30，,PA平面ABC，PBA=45，求二面角APBC的平,面角的正弦值。,1如图，直角三角形ABC的斜边AB在平面 内，AC、BC,与平面 所成角分别为 和 ，求ABC所在平面与,所成的二面角的大小,A,B,C,A,B,C,P,P,A,B,C,1题图,2题图,3题图,谢谢各位老师和同学！,再见！,